2-ой постулат, мир Минковского и Логунов

[TRINITI]

Может быть, кто-то сможет объяснить каким образом термин "метрика" прижился в неметрических пространствах (известно, что пространство Минковского не является метрическим пространством)? Отсюда нагромождение терминологических нелепиц типа "собственно евклидово пространство" и тому подобное.

[ewert]

Я думаю, что изначально это слово принадлежало собственно евклидовым пространствам (или, шире, римановым). А потом -- просто расползлось по противоположным направлениям. С одной стороны -- в направление псевдоевклидовости. С другой -- в сторону абстрактных метрических (в точном смысле слова) пространств. Вот так его смысл и раздвоился; что ж тут поделаешь, всяко бывает.

[Munin]

TRINITI в сообщении #240268 писал(а):

Отсюда нагромождение терминологических нелепиц типа "собственно евклидово пространство" и тому подобное.

Из мозгов igorelki. Все остальные понимают термин соответственно тому предмету, о котором говорят, и вполне друг друга понимают.

-- 03.09.2009 20:16:29 --

ewert в сообщении #240275 писал(а):

Я думаю, что изначально это слово принадлежало собственно евклидовым пространствам (или, шире, римановым).

Скорее, всё-таки, римановым. В евклидовых оно собственно не нужно: можно систему аксиом нагромоздить.

[ewert]

Munin в сообщении #240291 писал(а):

В евклидовых оно собственно не нужно: можно систему аксиом нагромоздить.

Так оная система в себя скалярное произведение (в классическом понимании) в качестве некоторого поднабора аксиом и включает; оно, собственно, и есть метрика. На многообразиях -- это всего лишь надстройка; в смысле -- многообразия суть лишь надстройка над просто евклидовым пространством.

[Munin]

Как хотите. Я про слово говорил, а не про то, где то же понятие можно вообразить себе в неявном виде.

[ewert]

Как хотите. В линейном пространстве скалярное произведение -- ровно и есть метрика. Т.е. есть оно -- есть и метрика; ну а нет -- так уж и извините.

(т.е. возможна, конечно, и метрика, не связанная со скалярным произведением, но это уж -- откровенно некоторое уродство)

[PapaKarlo]

igorelki в сообщении #239566 писал(а):

PapaKarlo в сообщении #239154 писал(а):

Опять у нас взаимоНЕпонимание.

Если вы ответите на мой вопрос, то, наверно, я смогу ответить на Ваш.
Хорошо, давайте возмем гиперболические координаты (рассматриваем двухмерный случай с $(x,t)$), из центра координат проведем вектор $B$ координаты начала вектора $x_0$ и $t_0$, конца вектора $x_b$ и $t_b$. Вектор $B$ -не нулевой (т.е. у него есть координаты отличные от нуля) его размер $b$. Угол между осью $x$ и $B$ назовем $\alpha$.
Напишите чему равны координаты конца вектора $x_b$ и $t_b$.

1) Случай, когда $(x,t)$ есть гиперполические координаты.
Координаты конца вектора равны $x_b$ и $t_b$ соответственно.

2) Случай, когда $(x,t)$ есть декартовы координаты.
Координаты конца вектора $\zeta_b=x_b^2-t_b^2$ и $\xi_b=2x_bt_b$ соответственно. Подразумевается следующая связь декартовых и гиперболических координат: $\zeta=x^2-t^2,\;\xi=2xt$.

Два случая приведены потому, что я не понял однозначно Ваше условие. На неясность с $x_0$ и $t_0$ уже указывал ewert. Также мне пока непонятно, какое значение для нахождения координат конца вектора имеет угол $\alpha$ и то, что вектор ненулевой. Кроме того, гиперболические координаты - штука, конечно, коничсская , но отображение гиперболических координат в декартовы двузначное. Зачем оно нам надо - чтобы запутаться в рассуждениях?

Надеюсь, я ответил на Ваш вопрос - теперь жду ответа на мой.

[Munin]

ewert в сообщении #240336 писал(а):

В линейном пространстве скалярное произведение -- ровно и есть метрика.

Моя знает, да... там где-то ещё требования к конечности пробегали...

ewert в сообщении #240336 писал(а):

(т.е. возможна, конечно, и метрика, не связанная со скалярным произведением, но это уж -- откровенно некоторое уродство)

А что, из такой метрики по теореме косинусов нельзя восстановить скалярного произведения?

[Nik_Svan]

ewert в сообщении #240336 писал(а):

Как хотите. В линейном пространстве скалярное произведение -- ровно и есть метрика. Т.е. есть оно -- есть и метрика; ну а нет -- так уж и извините.

(т.е. возможна, конечно, и метрика, не связанная со скалярным произведением, но это уж -- откровенно некоторое уродство)

А вы Вейля "Пространство, время, материя" читали?

[PapaKarlo]

Nik_Svan в сообщении #240369 писал(а):

А вы Вейля "Пространство, время, материя" читали?

Не подскажете ссылку на электронную версию?

[Nik_Svan]

PapaKarlo в сообщении #240382 писал(а):

Nik_Svan в сообщении #240369 писал(а):

А вы Вейля "Пространство, время, материя" читали?

Не подскажете ссылку на электронную версию?

У меня в наличии книжка (2004 год). Как я понял, ewert - математик, поэтому его и спросил.

[TRINITI]

ewert в сообщении #240275 писал(а):

А потом -- просто расползлось по противоположным направлениям. С одной стороны -- в направление псевдоевклидовости. С другой -- в сторону абстрактных метрических (в точном смысле слова) пространств. Вот так его смысл и раздвоился; что ж тут поделаешь, всяко бывает.

Да-а-а, кто-то напортачил ..., а теперь каждому новому потоку студентов приходится строгие вещи объяснять как в сценке у Райкина "девять пишем, два на ум пошло". И тут уж как повезет. Кто-то схватит, а у кого-то мимо мозгов пролетит ...

Еще мне интересно, как объяснить появление групповых свойств у оси времени. Просто сказать вообразите прямую размерности "время на скорость" звучит как-то неубедительно. Вообразить-то мы можем, но имеем ли право?

[ewert]

Munin в сообщении #240367 писал(а):

А что, из такой метрики по теореме косинусов нельзя восстановить скалярного произведения?

Можно -- тогда и только тогда, когда метрика (точнее, порождающая её норма) удовлетворяет тождеству параллелограмма. А это вовсе не обязательно.

Nik_Svan в сообщении #240369 писал(а):

А вы Вейля "Пространство, время, материя" читали?

Не помню (название-то знакомо, конечно).

[Nik_Svan]

ewert в сообщении #240411 писал(а):

Munin в сообщении #240367 писал(а):

А что, из такой метрики по теореме косинусов нельзя восстановить скалярного произведения?

Можно -- тогда и только тогда, когда метрика (точнее, порождающая её норма) удовлетворяет тождеству параллелограмма. А это вовсе не обязательно.

Nik_Svan в сообщении #240369 писал(а):

А вы Вейля "Пространство, время, материя" читали?

Не помню (название-то знакомо, конечно).

Это книга по ОТО. Например, Эйнштейн положительно об этой книге отозвался.

[Munin]

ewert в сообщении #240411 писал(а):

Можно -- тогда и только тогда, когда метрика (точнее, порождающая её норма) удовлетворяет тождеству параллелограмма. А это вовсе не обязательно.

Да. Не врубился. Ну, с другой стороны, это не такое уж уродство, а, например, метрика на римановом пространстве (не дифференциальная метрика, а "макроскопическая") именно так и устроена.