Две равные медианы в треугольнике

[Sasha2]

Вот есть такая задача:
Доказать, что треугольник, имеющий две равные медианы, является равнобедренным.
Решается то она просто, если воспользоваться теоремой о том, что точка пересечения медиан делит их в отношении 1:2, считая от соответствующего основания.
Но можно ли ее решить, опираясь только на 3 признака равенства трегольников?

[AKM]

Просто из формулы для длины медианы, например.

[Sasha2]

Да нет. Такое решение не устраивает. До формулы еще добраться нужно. Вопрос относится не к получению ответа, а к нахождению метода решения на основе ТОЛЬКО ТРЕХ ОСНОВНЫХ ПРИЗНАКОВ РАВЕНСТВА ТРЕГОЛЬНИКОВ. То есть на основе фактически самого начального материала по элементарной геометрии.

[Cave]

Стандартно: из конца одной медианы, лежащей на середине стороны, проводим отрезок, параллельный другой медиане и равный ей (до пересечения с продолжением основания). Дальше равенство углов равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, равенство двух треугольников по второму признаку и, наконец, определение медианы.

[Sasha2]

Ну до равнобедренного треугольника понятно, а дальше, где там вертикальные углы?

Да кстати Ваше "проводим отрезок, параллельный другой медиане и равный ей (до пересечения с продолжением основания)." тоже вообще то подлежит доказательству.

[RIP]

Была чем-то похожая тема
topic6012.html

[Архипов]

Sasha2 в сообщении #219756 писал(а):

Вопрос относится не к получению ответа, а к нахождению метода решения на основе ТОЛЬКО ТРЕХ ОСНОВНЫХ ПРИЗНАКОВ РАВЕНСТВА ТРЕГОЛЬНИКОВ.

Одна сторона у них - общая (основание), боковые стороны - равные (половины равных бедер), углы между основанием и бедрами - равные. Вывод - тругольники равны, следовательно медианы (стороны этих теугольников) тоже равны.

Жаль, что геометрия традиционно начинается с аксиом о точках, отрезках, треугольниках.
В введение в геометрию желательно бы включить понятия о движениях симметрии: перенос, поворот, подобие, отражение. Они включены в середине учебника, а надо бы - в начале.
Для чего? Для формирования основных геометрических представлений в построении и преобразовании фигур.
Обсуждаемая задача решается в терминах симметрии буквально в четырех словах: образовавшиеся треугольники - зеркальное отражение друг друга..
Для наглядного доказательства проводим в заданном тругольнике ось симметрии. Всё. Без использования названий сторон, углов и их обозначений. По методу педагога Шаталова.

[Sasha2]

Снова не понимаю, откуда такой вывод, что стороны у них равные. Если так, то доказывать уже дальше нечего. На самом деле это (ну или равенство двух углов, вот кстати ну нехожу ни одного) и нужно доказать.

-- Пт июн 05, 2009 05:07:13 --

Вот если из каждой вершины основания провести по отрезку равному медиане и параллельно другой медиане, то получим два параллелограмма с соответственно равными сторонами и следовательно с равными диагоналями. (равными половинам сторон, в которые эти медианы упираются). Дальше уже ерунда. Однако опять же это слишком далеко от 3 основных признаков равенства треугольников. Неужели это нельзя доказать без того, чтобы использовать параллельность?

[Sasha2]

Слито с дублем. АКМ.

Еще раз хочу вернуться к задаче про док-во равнобедренности треугольника по двум равным медианам (да и по биссектрисам тоже).
Вопрос вот какой, сами эти утверждения доказываются очень легко, если пользоваться параллельностью, я вот, например, не смог найти ни одного док-ва, которые опирались бы только на признаки равенства треугольников.

К сожадению, я не знаком с геометрией Лобачевского.
Просто хотелось бы, чтобы знающие люди с ходу ответили, возможно ли в этой (или в какой-либо другой геометрии), что медианы или биссектрисы равны, а треугольники не равнобедренные.

Просто хочется понять, почему не удается доказать эти утверждения (вроде бы очень простые) без построения вспомогательных параллелограммов.

[Gortaur]

Могу предложить такой пример - некоторая поверхность, искривленная в одном направлении больше, чем в другом. Тогда зафиксировав поверхность на границе треугольника (т.е. зафиксировав неравенство или равенство сторон) мы можем как угодно варьировать разность медиан (т.о. получая равенство или неравенство медиан соответственно) - надо только подходящую метрику подобрать для контрпримера.

[Sasha2]

Не совсем понял Вашего рассуждения, но все же в чем тут контрпример?
Короче можно ли утверждать, что два треугольника с равными медианами (биссектрисами) являются равнобедренными именно потому, что через точку, взятую вне прямой к этой прямой можно провести одну и только одну параллельную линию, или же нельзя?

[Gortaur]

Контрпример в том, что равенство сторон треугольника в нееквлидовом пространстве вообще говоря не зависит от равенства медиан и биссектрис.

Хотя я четкого не приводил, так что вполне в моих рассуждениях может быть ошибка.

[Sasha2]

А этот вопрос (на который Вы пытаетесь ответить) и не задавался.
Вопрос задавался именно о том, что равенство сторон, вытекающее из равенства медиан или биссектрис, есть следствие пятого постулата.
А у Вас я так понял контрпример состоит в том, что при равных сторонах могут быть медианы или биссектрисы неравны. Интресный вывод. Может быть и так, но сходная теорема в Евклидовом пространстве доказывается с полпинка. У любого равнобедренного треугольника медианы и биссектрисы равны. Заметьте, что вот это предложение доказывается очень легко без привлечения параллельности.

[BVR]

Вот то, что медианы (биссектрисы) пересекаются в одной точке - это факт абсолютной геометрии (той, что не использует 5-й постулат). То, что высоты пересекаются в одной точке - эквивалентно 5-му постулату.
А вот про признаки равнобедренного треугольника, о которых Вы говорите, - не нашёл. Но вот про равенство биссектрис, всё, что нашёл, так или иначе использует, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам ( то есть, фактически, 5-й постулат).

[Sasha2]

Ну пока остановимся на том, что действительно равенство сторон треугольника, как следствие равенства медиан, следует относить на 5 постулат.

Но вот что касается пересечения медиан в одной точке, то мне вот почему то кажется, что вообще то не факт, что они все всегда будуьт пересекаться. Ну вот так на глаз, такой если взять приплюснутый треугольник.