Равнобедренный треугольник, доказать без пятого постулата

[Lion]

Вроде простая задача, но решить никак не получается.

Доказать, НЕ ИСПОЛЬЗУЯ ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ, что если две медианы в треугольнике равны, то он --- равнобедренный.

Пожалуйста, подскажите, с чего начать решать.

[juna]

Рассмотрите треугольники ABO и DCO - они равны по двум сторонам и углу между ними (медианы пересекаются в отношении 1:2). Сам признак равенства треугольников и равенства вертикальных углов вроде не используют аксиомы о параллельных.

[Lion]

Пятый постулат используется при доказательстве того, что медианы делятся в отношении 2:1 своей точкой пересечения. Например, в геометрии Лобачевского это неверно, так что это доказательство не подойдет.

[juna]

Честно говоря, не помню, как это в школе доказывали. Мне это кажется очевидным из барицентрических соображений.

[Lion]

Барицентров в геометрии Лобачевского нет. А тот факт, что медианы в ней не делятся в отношении 2:1, легко понять, если рассмотреть, непример, модель Клейна и отодвигать вершины к абсолюту (т.е. к граничной окружности). В этом случае отношение будет стремится к бесконечности.

[juna]

А в неевклидовой геометрии Ваше искомое утверждение верно?

[Lion]

Да, но в неевклидовой геометрии я доказываю это только с использованием метрических соотношений (а именно, формулы для длины медианы).
Может быть, в каждой геометрии это утверждение верно, но доказательства в абсолютной геометрии нет? Или это бред и такого быть не может?..

[juna]

Что за абсолютная геометрия? Нет такой, какие непротиворечивые аксиомы придумаете, такую геометрию и получите. А какова она на самом деле определяют экспериментально.
Не понимаю, в каком месте барицентрические координаты противопоказаны в неевклидовой геометрии

[Someone]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Что за абсолютная геометрия?

Абсолютной геометрией называют ту часть евклидовой геометрии, которая обходится без постулата о параллельных и других эквивалентных ему аксиом. "Абсолютной" она называется потому, что одинаковая как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского, то есть, не зависит от того, принимаем мы или отвергаем постулат от параллельных.

[RIP]

А вот так правильно? Рисовать здесь не умею, нета нету, поэтому буду словами.
Пусть в $\Delta ABC$ равны медианы $AM_A=CM_C$. Обозначим: $M$ - точка пересечения отрезков $AM_A$ и $CM_C$ (хотя мне не очевидно, что они пересекаются ), $A_1$ - точка, симметричная точке $A$ относительно точки $M_A$, $C_1$ - аналогично.
Допустим, например, что $\angle MAC>\angle MCA$, тогда $\angle BA_1M>\angle BC_1M$. Учитывая, что $BA_1=BC_1=AC$, имеем $\angle BA_1C_1=\angle BC_1A_1$ (в евклидовой геометрии $=0$), поэтому $\angle C_1A_1M>\angle A_1C_1M$.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона (это вроде можно доказать без пятого постулата?), поэтому $CM>AM$ и $C_1M>A_1M$, значит, $2AM_A=AM+A_1M<CM+C_1M=2CM_C$. Противоречие.
Значит, $\angle MAC=\angle MCA$, поэтому $\Delta AA_1C=\Delta CC_1A$, т.е. $AB=A_1C=C_1A=BC$, ч.т.д.(?)

[juna]

Someone писал(а):

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Что за абсолютная геометрия?

Абсолютной геометрией называют ту часть евклидовой геометрии, которая обходится без постулата о параллельных и других эквивалентных ему аксиом. "Абсолютной" она называется потому, что одинаковая как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского, то есть, не зависит от того, принимаем мы или отвергаем постулат от параллельных.

Спасибо. Но меня больше интересует, почему барицентрические соотношения следует отменить в неевклидовой геометрии. Ну делятся медианы точкой их пересечения не 1:2, а 1:n (массу как-то по другому распыляем) - но это никак не влияет на предложенное доказательство. Или там разные медианы могут делиться точкой их пересечения в разном отношении (или вообще в разных точках пересекаться)?
RIP, по-моему, Вы немного в обозначениях напутали. А так вроде все правильно, только $\angle C_1A_1M>\angle A_1C_1M$ - не знаю, очевидное ли для неевклидовой геометрии утверждение.

[RIP]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

RIP, по-моему, Вы немного в обозначениях напутали.

Где?

Артамонов Ю.Н. писал(а):

А так вроде все правильно, только $\angle C_1A_1M>\angle A_1C_1M$ - не знаю, очевидное ли для неевклидовой геометрии утверждение.

$\angle C_1A_1M=\angle BA_1M\pm\angle BA_1C_1>\angle BC_1M\pm\angle BC_1A_1=\angle A_1C_1M$

[Lion]

К впросу об отношениях, в которых медианы делятся точкой пересечения:

Lion писал(а):

Барицентров в геометрии Лобачевского нет. А тот факт, что медианы в ней не делятся в отношении 2:1, легко понять, если рассмотреть, непример, модель Клейна и отодвигать вершины к абсолюту (т.е. к граничной окружности). В этом случае отношение будет стремится к бесконечности.

Артамонов Ю.Н., Ваши соображения о барицентрах для точки пересечения медиан используют тот факт, что точка пересечения медиан делит треугольник на три треугольника равной площади. Однако в геометрии Лобачевского это неверно (об этом написано в моей статье, которая выйдет в "Математическом просвещении" в феврале).

RIP, браво! Супер!
Большое спасибо!

Добавлено спустя 1 час 17 минут 6 секунд:

Интересно, может быть, в абсолютной геометрии можно доказать и теорему Лемуса-Штейнера: если в треугольнике две биссектрисы равны. то он --- равнобедренный?