Математика других вселенных

[AlexDem]

Nxx в сообщении #215306 писал(а):

В частности, была предложена гипотеза, что в альтернативных вселенных может быть разрешима проблема останова, и благодаря этому, можно построить гиперкомпьютер.

О чём-то подобном я вроде даже читал недавно в журнале "В мире науки". Но чтобы не затевать старые песни о главном, приведу цитату из "Тени разума", в которой некто Пенроуз утверждает следующее:

Цитата:

Существуют, однако, и друrие подходы к проблемам вычислений в случае непрерывных систем; например, такие, в которых непрерывные системы рассматриваются как самостоятельные математические структуры со своим собственным понятием "вычислимости" - понятием, обобщающим идею вычислимости по Тьюринry С дискретных величин на непрерывные(12). При таком подходе исчезает необходимость в аппроксимации непрерывной системы дискретными параметрами с целью применить к ней традиционную концепцию вычислимости по Тьюринry. Такие идеи вызывают определенный интерес с математической точки зрения; к сожалению, им, как нам представляется, не достает пока той неотразимой естественности и уникальности, которые присущи стандартному понятию вычислимости по Тьюринry для дискретных систем. Более того, вследствие определенной непоследовательности данноrо подхода, формально "невычислимыми" оказываются и некоторые простые системы, в применении к которым подобная терминолоrия выrлядит как-то не совсем уместно (даже такие, например, как известное всем из физики простое "волновое уравнение"; см. [314] и НРК, с. 187-188). С друrой стороны, следует упомянуть и об одной сравнительно недавней работе ([328]), в которой показано, что теоретические аналоrовые компьютеры, объединяемые в некоторый достаточно обширный класс, не могут выйти за рамки обычной вычислимости по Тьюринry. Я надеюсь, что дальнейшие исследования должным образом осветят эти безусловно интересные и важные темы. Пока же у меня нет оснований полаrать, что работы в этом направлении в целом уже достиrли той стадии завершенности, чтобы их результаты можно было применить к рассматриваемым здесь проблемам.

AD в сообщении #215303 писал(а):

Ну в смысле доказать существование других миров, прежде чем интересоваться, какая в них математика. Желательно, разумеется, пример привести

Ну вот многие в загробный мир верят... А доказать - вряд ли, потому как если мы его будем способны ощущать, то это уже будет наш мир.

[gris]

Любой достаточно продвинутый студент, особливо интересующийся историей и философией математики, знает, что десятичная система потомучто 10 пальцев, что знак интеграла произошёл от первой буквы слова Summa, что первоначальные геометрические знания были обусловлены практическими потребностями.
Но математика ушла далеко от первичных представлений. Современный математик совершенно осознано оперирует абстрактнейшими понятиями. Я не верю, что подсознательно он привязан к нашему реальному трехмерному миру. Математики совершенно осознанно создавали альтернативные(пардон) теории, курочили логику, как угодно, изобретали самые дичайшие с точки зрения здравого смысла структуры.
Но пока никакой другой математики не создано. Неужели дело в том, что у математиков плохая фантазия? Или что они не могут вырваться из плена устоявшихся представлений?
Фантасты могут какие угодно миры создать. А математики для этих миров не могут ничего придумать? Не могут влезть в шкуру "ёжика в тумане?" Может быть причина в том, что другой математики просто не существует?

[Schraube]

Цитата:

Может быть причина в том, что другой математики просто не существует?

Может быть причина в том, что других нас просто не существует?

[Nxx]

Чтобы привести пример того, как физические законы влияют на вычислимость, можно упомянуть о квантовых компьютерах. Хотя квантовые компьютеры не могут решать неразрешимые (в строгом смысле слова) по Тьюрингу задачи, тем не менее, использование законов квантовой механики позволяет перевести некоторые задачи в существенно другой класс сложности и сделать их практически разрешимыми, даже в том случае, когда классические компьютеры (как дискретные, так и аналоговые) справиться не могут.

Можно привести и другой пример: использование случайных чисел в недетерминированном компьютере тоже делает возможным изменить класс сложности многих задач, которые имели бы более высокий класс сложности, если бы мы жили в детерминированном мире.

Это привело некоторых исследователей к мысли, что используя некоторые гипотетические законы природы можно было бы построить гиперкомпьютеры - машины, которые могли бы не просто ускорить вычисления, а решать задачи, которые находятся за пределами даже потенциальных возможностей машины Тьюринга (т.е., делать сверхтьюринговые вычисления). Это также означало бы возможность доказать некоторые теоремы, которые считаются недоказуемыми и принимаются как аксиомы современной математикой. Тем не менее, все предложенные варианты "гиперкомпьютеров" требуют использования физических принципов, которые противоречат современным физическим представлениям.

[Macavity]

PAV в сообщении #215188 писал(а):

Может быть, мы сочтем ее действия за неживую, но просто неблагоприятную внешнюю среду, которую надо обуздать. И они, в свою очередь, сочтут наши действия каким-то особым внешним воздействием.

...и дадут адекватный ответ.

[AlexDem]

gris в сообщении #215318 писал(а):

Может быть причина в том, что другой математики просто не существует?

А что бы Вы посчитали "другой" математикой? Вот были числа и арифметические операции над ними, потом открыли группы - и разных алгебр оказалась тьма. Но как только их открыли, так сразу они стали "этой" математикой.

Nxx в сообщении #215320 писал(а):

Это привело некоторых исследователей к мысли, что используя некоторые гипотетические законы природы можно было бы построить гиперкомпьютеры - машины, которые могли бы не просто ускорить вычисления, а решать задачи, которые находятся за пределами даже потенциальных возможностей машины Тьюринга (т.е., делать сверхтьюринговые вычисления).

Вы, по-моему, всё же пересказываете статью На что способны квантовые компьютеры? из журнала "В мире науки". И всё же вопрос остаётся - зачем задумываться о квантовых и даже компьютерах, работающих во вселенных с другими законами, когда даже с аналоговыми вычислениями ничего не ясно - может быть можно создать такой физический девайс-приставку к компьютеру с переваливающимися в нём шариками, которое и будет вычислять эту функцию, соответствующую решению проблемы останова?

[Pi]

AlexDem в сообщении #215328 писал(а):

gris в сообщении #215318 писал(а):
Может быть причина в том, что другой математики просто не существует?

А что бы Вы посчитали "другой" математикой? Вот были числа и арифметические операции над ними, потом открыли группы - и разных алгебр оказалась тьма. Но как только их открыли, так сразу они стали "этой" математикой.

А откуда ей взятся? Математика она по определению одна. Если вы придумали какую-то "другую" математику, и она непротиворичива хоть с какой-то точки зрения, то она становится тут же "этой" математикой.
Другое дело что школьная и обычная математики может быть ддругой. Преподование и использование ее в практических целях может быть другим.

[Nxx]

Даже не читал эту статью. Скорее это они пересказывают общеизвестные факты

Цитата:

когда даже с аналоговыми вычислениями ничего не ясно - может быть можно создать такой физический девайс-приставку к компьютеру с переваливающимися в нём шариками, которое и будет вычислять эту функцию, соответствующую решению проблемы останова?

С этим как раз все ясно. Для создания компьютеров, способных решать проблему останова требуется существенное изменение законов природы.

-- Вт май 19, 2009 20:41:20 --

Цитата:

и она непротиворичива хоть с какой-то точки зрения,

Вопрос в том, может ли понятие о непротиворечивости отличаться в разных вселенных.

[Macavity]

Nxx в сообщении #215320 писал(а):

Тем не менее, все предложенные варианты "гиперкомпьютеров" требуют использования физических принципов, которые противоречат современным физическим представлениям.

Вот это непонятно. Почему это эти принципы противоречат современным физическим представлениям? Насколько я понимаю они полностью соостветствуют квантовой механике. Может они противоречат обыденным представлениям...

[Nxx]

Macavity в сообщении #215334 писал(а):

Nxx в сообщении #215320 писал(а):

Тем не менее, все предложенные варианты "гиперкомпьютеров" требуют использования физических принципов, которые противоречат современным физическим представлениям.

Вот это непонятно. Почему это эти принципы противоречат современным физическим представлениям? Насколько я понимаю они полностью соостветствуют квантовой механике. Может они противоречат обыденным представлениям...

На основе законов квантовой механики построить гиперкомпьютер невозможно.

[AlexDem]

Nxx в сообщении #215332 писал(а):

Для создания компьютеров, способных решать проблему останова требуется существенное изменение законов природы.

Можно начать с того, что если набор возможных входных данных конечен - что и имеет место в реальных компьютерах - то таковой проблемы останова просто не существует. В этом случае всегда можно сказать, зависнет программа или нет. Поэтому требование "иных законов физики" для создания реального, а не теоретического компьютера, выглядит странным. Однако, если речь идёт о теоретическом устройстве - где можно посмотреть доказательство того, что для его "работы" требуется существенное изменение законов природы?

Nxx в сообщении #215337 писал(а):

На основе законов квантовой механики построить гиперкомпьютер невозможно.

Вот это - кем доказано и когда?

[Macavity]

Nxx в сообщении #215337 писал(а):

Macavity в сообщении #215334 писал(а):

Nxx в сообщении #215320 писал(а):

Тем не менее, все предложенные варианты "гиперкомпьютеров" требуют использования физических принципов, которые противоречат современным физическим представлениям.

Вот это непонятно. Почему это эти принципы противоречат современным физическим представлениям? Насколько я понимаю они полностью соостветствуют квантовой механике. Может они противоречат обыденным представлениям...

На основе законов квантовой механики построить гиперкомпьютер невозможно.

Его как раз и пытаются сейчас создать на основании законов квантовой механики, но созданные экземпляры (D-Wave Systems) расчитаны на ограниченное количество кубитов (идея же компьютера построена именно на идее быстрого роста размерности пространства кубитов при добавлении новых элементов).

[gris]

Pi, это я и имею в виду. Что если существа из совершенно разных миров заинтересуются исследованием каждые своего мира, если они будут способны к мышлению и обмену знаниями, и у них будет развиваться наука, то они рано или поздно начнут развивать математику. Первоначальные подходы наверняка будут отличаться. Но при достаточном развитии этой науки они обязательно придут и к общей алгебре, и к математической логике, и к функциональному анализу. Только в других терминах и обозначениях.

А вот компьютер, возможно, они вообще не создадут. Не из чего.

[Nxx]

Цитата:

Его как раз и пытаются сейчас создать на основании законов квантовой механики, но созданные экземпляры (D-Wave Systems) расчитаны на ограниченное количество кубитов (идея же компьютера построена именно на идее быстрого роста размерности пространства кубитов при добавлении новых элементов).

Не путайте квантовый компьютер и гиперкомпьютер.

-- Вт май 19, 2009 21:17:11 --

Цитата:

Вот это - кем доказано и когда?

Любая квантовая система может быть (хотя и неэффективно) симулирована на обычном компьютере.

[Macavity]

Nxx в сообщении #215346 писал(а):

Цитата:

Его как раз и пытаются сейчас создать на основании законов квантовой механики, но созданные экземпляры (D-Wave Systems) расчитаны на ограниченное количество кубитов (идея же компьютера построена именно на идее быстрого роста размерности пространства кубитов при добавлении новых элементов).

Не путайте квантовый компьютер и гиперкомпьютер.

Извините. Тогда поподробнее объясните, что имеется ввиду под гиперкомпьютером.

-- Вт май 19, 2009 21:24:58 --

Nxx в сообщении #215346 писал(а):

Любая квантовая система может быть (хотя и неэффективно) симулирована на обычном компьютере.

Это неправда. Размерность пространсва квантовой системы растет настолько быстро, что обычный компьютер не справляется. Там вообще другая физика, другая математика.