Целое число в целой степени

[Виктор Ширшов]

PAV писал(а):

Ваши текстовые формулировки без формул и точных условий я обсуждать не буду. Возможная строгая формулировка звучала бы, например, так.

Цитата:

Рассмотрим целое число $k>1$. Рассмотрим произвольные натуральные числа $y_1,\ldots,y_k$. Обозначим $x=y_1+\cdots+y_k$. Тогда для любого целого $n\ge 2$ выполнено неравенство $x^n>y_1^n+\cdots+y_k^n$.

Это - строгая формулировка. Само утверждение при этом совершенно тривиально и ни у кого сомнений не вызывает.

.
С этим Вы согласились, значит, согласитесь и с тем, что в целых числах $z^n \ne x^n + y^n $ при n>1, если $x+y \leqslant z$ $<$х+у и, если х, у, z - не пифагоровы тройки.

[gris]

Если $x+y \leqslant z<$х+у, то х, у, z - не может быть даже пифагоровой тройкой. Это будет Ширшова тройка, извините за откровенную лесть.

[AD]

gris писал(а):

Если $x+y \leqslant z<$х+у, то х, у, z - не может быть даже пифагоровой тройкой.

Про элементы пустого множества можно говорить всё, что угодно. В частности, все они являются пифагоровыми тройками

[gris]

-Э-э-э, - сказали мы с Виктором Ширшовым

Вы, AD, невнимательны. Левая часть неравенства написана совершенно другим шрифтом, нежели правая. А это уже можно трактовать.
По Вашему, неравенство

$$5\leqslant z <5$$

не имеет решений в натуральных числах. Да, не имеет. А вот такое неравенство как Вам? 5

$$\leqslant z <$$

5

[AD]

gris, обращаюсь как к специалисту. Вот мы пишем: $2^2$. А какой он, этот квадрат, как он расположен - вот так: $2^\square$ - или вот так: $2^\diamond$?

[ewert]

Ни тот, ни другой. Квадрат должен быть вокруг двойки.

[AD]

ewert в сообщении #203637 писал(а):

Квадрат должен быть вокруг двойки.

Эх, как же я не догадался
Ну все равно - как он повернут должен быть? ${{}^2}\!\!\!\!\!\text{\large{$\square$}}$ или ${{}^{\text{\tiny{2}}}}\!\!\!\!\text{\LARGE{$\diamond$}}$?

[Алексей К.]

Ну, ежели параллелограмм, как уже известно, --- не трапеция, то может и ромбик давно не квадрат? Т.е. наоборот...

[gris]

Давно на форуме ребусов не было...

[Николай Лощкарёв]

Предлагая возвести в квадрат целое число (a+b+c), я хотел обратить внимание на то, что число членов в сумме зависит от числа слагаемых многочлена, возводимого в степень. Минимальное их число при любой целой степени будет при возведении в целую степень бинома. Что любое целое число есть бином пары целых чисел сомнительно? Что полная степень целого числа в степени, представленная минимальным числом слагаемых бинома в целой степени определена степенью сомнительно? Что неполная степень целого числа есть та же степень числа иррационального, тоже сомнительно? У меня нет оснований сомневаться, что сумма пары чисел, в любой целой степени каждое, при степенях 3 и более есть иррациональное число в той же степени. Только при степени 2 эта сумма может представлять целое число в степени 2, будучи полной второй степенью целого числа.
Суть моих вопросов не сложна и хотелось бы услышать ваши ответы на них, господа.
Н. А. Лошкарёв

[Prorab]

[mod]gris, не плодите оффтоп.

Николай Лощкарёв, замечание за неправильное использование математических терминов ("многочлен", "бином") и за невнятные формулировки. Я не понимаю ни одной фразы из Вашего поста. Если кто-либо из участников их понимает, то пусть переведет на нормальный математический язык, либо сделайте это сами. Если в теме не появятся строгие и однозначно понятно сформулированные математические утверждения, то тема будет закрыта без права начинать аналогичную новую. Напоминаю выдержку из правил форума

Цитата:

3.1. Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны.

[/mod]

[gris]

Понял, исправлюсь.

Насчёт сообщения Николая Лощкарёва.

Даже мне всё понятно и сомнений нет. Утверждение, что уравнение $x^n+y^n=z^n$ при $n>2$ не имеет решений в положительных рациональных числах, эквивалентно теореме Ферма.

И эквивалентно утверждению, что при натуральных $x$ и $y$ число $z$ может быть только иррациональным.

Мне понятно, что количество членов до приведения подобных в выражении

$$(a_1+...+a_k)^n$$

будет равно

$$k^n$$

, а это выражение строго монотонно возрастает при увеличении натуральных $n$ и $k$.

Я также понимаю, что любое натуральное число можно разложить в сумму натуральных чисел огромным числом способов, исчисляемых только с помощью Комбинаторики.

Но мне непонятно, как изпоследних двух утверждений получить первые два.

[Николай Лощкарёв]

Спасибо Вам, уважаемый!
Вы единственный, удовлетворившийся "великим и могучим" и мне, русскому человеку приятно.
По сути вашего вопроса:
Возможность представления целого числа в целой степени "скрыта" тем, что оно не просто многочлен из суммы единиц, а и суммы "частных их сумм", называемых целыми числами - числами натурального ряда. Всегда определённо, что наименьшее число целочисленных слагаемых, из которых "состоит" целое число 2. Этот двучлен |админ запретил мне называть его иностранным словом "бином"|, будучи возводим в целую степень, всегда представлен |админ возражает против термина "многочлен"?| суммой слагаемых, каждое из которых имеет одинаковую степень |в которую возводится двучлен| и число которых определяется степенью. Есть понятие "неполная степень" и ею является, в частности, неполная сумма слагаемых в разложении двучлена в целой степени. Такой сумме целых чисел в целой степени нет целого числа в той же степени, равного неполной сумме. Помните "детский "неполный квадрат" и т. п. Введённое понятие "иррационального числа" разрешает неприятное "нет", на есть "на острове где то там"... Извините за удачную шутку великого писателя!
Ещё раз благодарю и, если Вам угодно, вышлю в Ваш адрес заметку с формулами.
К. т. н., доцент Н. А. Лошкарёв

[Алексей К.]

Николай Лощкарёв в сообщении #203964 писал(а):

Этот двучлен |админ запретил мне называть его иностранным словом "бином"|

Ложь! Весьма, впрочем, характерная для (к.) т. н. альтов:

Prorab в сообщении #203663 писал(а):

Лощкарёв, замечание за неправильное использование математических терминов ("многочлен", "бином") и за невнятные формулировки.

Николай Лощкарёв в сообщении #203964 писал(а):

вышлю в Ваш адрес заметку с формулами.

gris, поторгуйтесь, может деньгами дадут?

[gris]

Ув. Николай Лощкарёв!

Мне действительно нравится ритмичное и благозвучное построение Ваших текстов. Они завораживают. Вы, по-видимому, опытный лектор.
Я некогда делал такой эксперимент - начитывал тексты по математике (конкретно - ТФКП) для их прослушивания учениками через плеер вместо дурацкой музыки.

Вот и при прочтении Ваших текстов мне слышится спокойный мягкий голос и хочется "верить сказкам и мечтам", по словам нашего великого писателя, но формат форума не способствует усвоению новых понятий. Более искушённые участники, конечно, разобрались в неполных суммах и скобочных операторах, но я, исчиркав полтетрадки, так и не смог применить эти понятия для доказательства ВТФ хотя бы в каком-нибудь конкретном случае.

Возможно, прослушав аудиокурс, я бы смог усвоить материал, но, к сожалению, такая форма изложения непопулярна среди математиков. Хотя, мне кажется, что аудиолекции пользовались бы бОльшим успехом, чем сухие записи. Но я понимаю, что на это у Вас, вероятно, нет времени.

Ещё я прошу Вас ответить на один личный вопрос. Мне тут как-то пришла такая мысль. Верно ли то, что для $x<y<z$ обязательно существет такая степень $a$, не обязательно целая, что $x^a+y^a=z^a$? Ведь если показать, что эта степень не может быть натуральным числом, большим двух, то можно приблизится к разгадке Великой Теоремы. Стоит ли ковырять в том направлении, или этот путь бесперспективен?
Спасибо.