Целое число в целой степени

[Николай Лощкарёв]

Целое число - чногочлен с неопределённым числом слагаемых. Если ограничиться числами натурального ряда, то наибольшее число слагаемых равно самому числу. Определённо ясно, что наименьшее число слагаемых 2. Если иметь в виду наименьшее число слагаемых челых чисел, каждое из которых имеет степень вохводимого числа, представляющих число в целой степени, то это будет число слагаемых бинома в степени. Физическая модель:
1. Квадратная площадка может быть равновелика минимум сумме площадей двух прямоугольников. И есть такие квадратные площадки целочисленного размера стороны квадрата, что их площади равны сумме площадей двух квадратов с целочисленными сторонами каждый.
2. Трёхмерное тело, равного натурального размера по трём ортогональным осям, имеет объём, равный суммарному объёму минимум трёх ортогональных тел, натуральных размеров. В общем случае это сумма объёмов двух кубов и одного параллелепипеда. Есть такие кубы с целочисленными размерами ребра, что все три тела эквивалентнаго им объёма являются кубами с целочисленными рёбрами.
Это следует непосредственно из разложения биномов второй и третьей степени на сумму слагаемых соответствующих 2-ой и 3-ей степеней.
Нетрудно убедиться в том, что в случаях "тел" мерностей более 3-х, минимальное число суммируемых "объёмов" в сумме эквивалентной "объёму" исходному, не бывает менее трёх ортогональных "тел" равной мерности и целочисленныз размеров по всем измерениям. При "телах" четърёхмерных - слагаемых минимум 3, пятимерных 4, шестимерных 5...
Если разложение целочисленного бинома n-ой целочисленной степени имеет число целочисленных слагаемых той же степени меньшее необходимого, то оно ничто иное как число иррациональное - следствие "неполной степени" числа. Например, сумма пары целых чисел в любой целой степени, большей 2 есть неполная третья степень целого числа степени 3.
Н. А. Лошкарёв

[Brukvalub]

Николай Лощкарёв в сообщении #201509 писал(а):

Целое число - чногочлен с неопределённым числом слагаемых.

Где-то я уже такой бред читал! Только вот где?
А, вспомнил:
"А знаете ли, что у алжирского бея под самым носом шишка? (Н.В. Гоголь, Записки сумасшедшего).

[Николай Лощкарёв]

Можно попытаться целое число (a+b+c), например, возвести в квадрат. Хотя для конкретизации задачи, практичнее ограничиться биномом в любой целой степени. Ввиду неопределённости числа членов многочлена, эквивалентного целому числу.
Н. А. Лошкарёв

[gris]

$$\left( \sum\limits_1^k a_i \right )^n= \sum\limits_{i_1, i_2...i_n =1}^k \prod \limits_{j=1}^n a_{i_j}$$

Как это записать без многоточий?

[Brukvalub]

Николай Лощкарёв в сообщении #202099 писал(а):

Можно попытаться целое число (a+b+c), например, возвести в квадрат.

А зачем?

Николай Лощкарёв в сообщении #202099 писал(а):

Ввиду неопределённости числа членов многочлена, эквивалентного целому числу.

Бессмысленный набор терминов, напоминает грамматические упражнения робота, которому важно правильно построить грамматическую конструкцию, но совершенно не важен смысл.

[Профессор Снэйп]

gris писал(а):

$$\left( \sum\limits_1^k a_i \right )^n= \sum\limits_{i_1, i_2...i_n =1}^k \prod \limits_1^n a_{i_1}$$

А нет ли здесь ошибки?

[gris]

$$\left( \sum\limits_1^k a_i \right )^n= \sum\limits_{i_1, i_2...i_n =1}^k \prod \limits_{j=1}^n a_{i_j}$$

Спасибо, исправил. Но вопрос остался.

[Лиля]

gris писал(а):

$$\left( \sum\limits_1^k a_i \right )^n= \sum\limits_{i_1, i_2...i_n =1}^k \prod \limits_{j=1}^n a_{i_j}$$

Спасибо, исправил. Но вопрос остался.

Думаю что эт будет так

$$\left( \sum\limits_{i=1}^k a_i \right )^n= \sum\limits_{i_1 =1}^k \sum\limits_{ i_2=1}^k \dots\sum\limits_{i_n =1}^k \prod \limits_{j=1}^n a_{i_j}$$

но многоточия остаються:(

[gris]

Вот в многоточиях и проблема.
Мне кажется, что с многоточиями формула будет нестрогой и не годной для доказательства великих теорем:)
Но я вопрошаю совершенно серьёзно. Разумеется, это вопрос исключительно нотационный. Есть ли обозначения для подобных сумм без использования многоточий? Или можно ли как-нибудь исхитриться, хотя бы и в ущерб наглядности?

Например, есть такое обозначение

$$\sum\limits_{cycl}a^2bc = a^2bc+ab^2c+abc^2$$

.

Но как же записать сумму

$$n^k$$

произведений $k$ сомножителей?

[Профессор Снэйп]

Следующие соглашения являются достаточно стандартными.

1) Натуральное число $m$ тождественно равно множеству всех натуральных чисел, меньших $m$. В частности,

$$0 = \varnothing$$

$$1 = \{ \varnothing \} = \{ 0 \}$$

$$2 = \{ \varnothing, \{ \varnothing \} \} = \{ 0,1 \}$$

$$3 = \{ \varnothing, \{ \varnothing \}, \{ \varnothing, \{ \varnothing \} \} \} = \{ 0,1,2 \}$$

И так далее.

2) Для произвольных множеств $A$ и $B$ через $A^B$ обозначается множество всех функций из $B$ в $A$.

Теперь, если принять во внимание эти два пункта, то нужную формулу можно записать так:

$$ \left( \sum_{i=1}^k a_i \right)^n = \sum_{f \in k^n} \prod_{i=0}^{n-1} a_{f(i)+1} $$

Вроде многоточий не наблюдается

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #202433 писал(а):

Вроде многоточий не наблюдается

Во-первых, наблюдается противоречие -- Вы к мультииндексу прибавляется скаляр. Во-вторых, даже если бы и не наблюдалось, то читать было бы всё равно решительно невозможно.

[Профессор Снэйп]

А вообще не знаю, почему многоточия кого-то смущают. Ущерба для строгости от них нет никакого! Это просто значки. Точка как один из символов алфавита, используемого для записи математических выражений, ничем не хуже любого другого символа. Даже если в записи выражения встречается подслово, состоящее из трёх идущих подряд точек

Добавлено спустя 1 минуту 57 секунд:

ewert писал(а):

Во-первых, наблюдается противоречие -- Вы к мультииндексу прибавляется скаляр.

Ничего не понял, какой ещё мультииндекс? О чём это?

[ewert]

Об $f\in k^n.$

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Об $f\in k^n.$

И что Вам здесь не нравится? В каком месте я прибавляю скаляр к "мультииндексу" (честное слово, забыл, что это такое )

[Xaositect]

Да нет, все правильно.
$f$ - это функция, отображающая числа от 0 до $n-1$ в числа от 0 до $k-1$
$f(i)$ - это число от 0 до $k-1$, к нему вполне можно прибавлять единицу. Хотя если уж так писать, то лучше сразу $a_i$ нумеровать с нуля.