Комплексный интеграл и функциональное уравнение...

[Nxx]

Не знаю, как это решить:

$$f(x)=\ln f(x)-\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz$$

[neo66]

Что еще требуется от функции $f(z)$?

[Nxx]

Да больше ничего особенного.

[ewert]

Без ничего особенного -- ничего особенного и не выйдет.

Скорее всего, имелось в виду, что функция аналитична и ограничена в правой полуплоскости. Тогда получается функциональное уравнение $f(x+1)=\ln f(x)-{1\over2}f(x).$ Из которого тоже ничего особенно хорошего не усматривается; во всяком случае, функция точно не будет вещественно-аналитической.

[Nxx]

Как вы это уравнение получили?

Добавлено спустя 6 минут 21 секунду:

А если

$$f(x)=\exp f(x)+\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz$$

[ewert]

По теореме о вычетах -- замыкая сколь угодно большой отрезок мнимой оси в контур соответствующей правой полуокружностью.

Правда, перепутав при этом направление обхода. Правильная версия:

$$f(x+1)={3\over2}f(x)-\ln f(x).$$

Всё равно чего-то не радует. Хотя для глаза маленько и приятнее.

[Nxx]

А если

$$f(x)=\exp f(x)+\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz$$

?

[ewert]

Соответственно, $f(x+1)=e^{f(x)}-{1\over2}f(x).$

Я вообще-то не знаю, как следует подходить к такого рода уравнениям. Но подозреваю, что для корректности задачи функция должна быть постоянной (причём комплексной и трансцедентной).

[Nxx]

ewert писал(а):

Соответственно, $f(x+1)=e^{f(x)}-{1\over2}f(x).$

Как это получено? Можно поподробнее? Точно тут нет ошибки?

[ewert]

$$f(x)=e^{f(x)}+\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz;$$

$$f(x)=e^{f(x)}-{1\over2}\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z=0}\frac{f(z+x)}{z(z-1)}-\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z=1}\frac{f(z+x)}{z(z-1)};$$

$$f(x)=e^{f(x)}+{1\over2}f(x)-f(1+x).$$

[Nxx]

Res - это что?

Вот так не будет правильно?

$$\Delta[f(x)]=-\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz$$

[ewert]

Nxx в сообщении #199601 писал(а):

Res - это что?

Res - это вычет.

Nxx в сообщении #199601 писал(а):

Вот так не будет правильно?

Вряд ли. Точнее сказать нельзя, поскольку совершенно непонятно, что означает левая часть в этом выражении.

[Nxx]

Цитата:

Вряд ли. Точнее сказать нельзя, поскольку совершенно непонятно, что означает левая часть в этом выражении.

Оператор дельта. f(x+1)-f(x) Формулу взял вот отсюда:

http://en.wikipedia.org/wiki/N%C3%B6rlu ... e_integral

[ewert]

а-а, мне показалось, что Вы переписали исходное уравнение, а речь, оказывается, только об интеграле. Тогда это похоже на правду, но всё же не правда. Дело в том, что левая часть получается интегрированием по контуру, относительно которого оба полюса (0 и 1) лежат внутри. В Вашем же интеграле точка 0 лежит на контуре, поэтому вклад от неё вдвое меньше.

[Nxx]

Ага, значит, правильно будет вот так:

$$\Delta[f(x)]=-\frac{1}{2\pi i}\int_{-1-i\infty}^{-1+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz$$

?