2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Комплексный интеграл и функциональное уравнение...
Сообщение28.03.2009, 10:55 
Не знаю, как это решить:
$$f(x)=\ln f(x)-\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz$$

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 12:19 
Что еще требуется от функции $f(z)$?

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 13:09 
Да больше ничего особенного.

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 13:17 
Без ничего особенного -- ничего особенного и не выйдет.

Скорее всего, имелось в виду, что функция аналитична и ограничена в правой полуплоскости. Тогда получается функциональное уравнение $f(x+1)=\ln f(x)-{1\over2}f(x).$ Из которого тоже ничего особенно хорошего не усматривается; во всяком случае, функция точно не будет вещественно-аналитической.

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 13:53 
Как вы это уравнение получили?

Добавлено спустя 6 минут 21 секунду:

А если

$$f(x)=\exp f(x)+\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz$$

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 13:53 
По теореме о вычетах -- замыкая сколь угодно большой отрезок мнимой оси в контур соответствующей правой полуокружностью.

Правда, перепутав при этом направление обхода. Правильная версия:

$$f(x+1)={3\over2}f(x)-\ln f(x).$$

Всё равно чего-то не радует. Хотя для глаза маленько и приятнее.

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 14:12 
А если


$$f(x)=\exp f(x)+\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz$$ ?

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 14:27 
Соответственно, $f(x+1)=e^{f(x)}-{1\over2}f(x).$

Я вообще-то не знаю, как следует подходить к такого рода уравнениям. Но подозреваю, что для корректности задачи функция должна быть постоянной (причём комплексной и трансцедентной).

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 15:17 
ewert писал(а):
Соответственно, $f(x+1)=e^{f(x)}-{1\over2}f(x).$


Как это получено? Можно поподробнее? Точно тут нет ошибки?

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 15:28 
$$f(x)=e^{f(x)}+\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz;$$

$$f(x)=e^{f(x)}-{1\over2}\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z=0}\frac{f(z+x)}{z(z-1)}-\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z=1}\frac{f(z+x)}{z(z-1)};$$

$$f(x)=e^{f(x)}+{1\over2}f(x)-f(1+x).$$

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 15:31 
Res - это что?

Вот так не будет правильно?

$$\Delta[f(x)]=-\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz$$

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 15:35 
Nxx в сообщении #199601 писал(а):
Res - это что?

Res - это вычет.

Nxx в сообщении #199601 писал(а):
Вот так не будет правильно?

Вряд ли. Точнее сказать нельзя, поскольку совершенно непонятно, что означает левая часть в этом выражении.

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 15:41 
Цитата:
Вряд ли. Точнее сказать нельзя, поскольку совершенно непонятно, что означает левая часть в этом выражении.


Оператор дельта. f(x+1)-f(x) Формулу взял вот отсюда:

http://en.wikipedia.org/wiki/N%C3%B6rlu ... e_integral

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 15:50 
а-а, мне показалось, что Вы переписали исходное уравнение, а речь, оказывается, только об интеграле. Тогда это похоже на правду, но всё же не правда. Дело в том, что левая часть получается интегрированием по контуру, относительно которого оба полюса (0 и 1) лежат внутри. В Вашем же интеграле точка 0 лежит на контуре, поэтому вклад от неё вдвое меньше.

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 15:58 
Ага, значит, правильно будет вот так:

$$\Delta[f(x)]=-\frac{1}{2\pi i}\int_{-1-i\infty}^{-1+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz$$

?

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group