Производная суммы не равна сумме производных

[unnihilator]

Процессы, имеющие вид:
1. $n\cdot f(x)=m\cdot f(x)+(n-m)\cdot f(x)$
$n\cdot f'(x)=m\cdot f'(x)+(n-m)\cdot f'(x)$
2. $f(x)=\frac{ f_1(x)} n$;
$p\cdot f(x)-(p-n)\cdot f(x)=(\frac km)f(x)+(\frac{m-k}m)\cdot f(x)$
$\frac{f_1'(x)} n=p\cdot f'(x)-(p-n)\cdot f'(x)=(\frac km)\cdot f'(x)+(\frac{m-k}m)\cdot f'(x)$
описываются правилом:"Производная произвольной части равна такой же части производной".
А процессы, имеющие, например, вид:
1. $x^2+\pi r^2=X^2=\pi R^2$
$2x + 2\pi r\not= 2X \not= 2\pi R$
2. $3(4/3)\pi r^3 = (4/3)\pi R^3$
$3\cdot 4\pi r^2\not= 4\pi R^2$
должны, по идее, описываться правилом: "Производная СУММЫ не равна сумме производных".
Каково ВАШЕ мнение по этому вопросу?
-------------------------------------------------
1.$\int[2\sqrt(x^2+C)]d(\sqrt(x^2+C))=x^2+C$
2. $\int 2xdx=x^2+C$
Какой из этих двух вариантов верный?
----------------------------------------------------
О чем говорит:
1.$ x\cdot \frac1x=ln/x/-ln/x/$ $(U*V=\int UdV+\int VdU$, где $ U=x;V=\frac1x)$;
$1=0$.
2. $(x_2\cdot {\frac1{x_2}})-(x_1\cdot \frac1{x_1})=\int_{x1}^{x2}(\frac1x)dx$+

$$\int_{\frac1{x_1}}^{\frac1{x_2}} xd(\frac1x)$$

;
$ 0=0$?

[Лиля]

unnihilator в сообщении #190604 писал(а):

$x^2 + \pi*r^2 = X^2 = \pi*R^2$

во первых вы должны определиться какую производную вы ищите это либо $\frac{\partial (x^2 + \pi*r^2) }{\partial x}=\frac{\partial (X^2)}{\partial x}=\frac{\partial (\pi*R^2) }{\partial x} $
либо
$\frac{\partial (x^2 + \pi*r^2 ) }{\partial r}=\frac{\partial (X^2)}{\partial r}=\frac{\partial (\pi*R^2) }{\partial r} $
у вас же не ясно: одну часть вы непонятно как деференцируете с другую по чему то по $X$ а третию по $R$. обычно все деференцируеться одинаково

по этому производные к выводу, что из формулы выше следует

unnihilator в сообщении #190604 писал(а):

$2x + 2pi*r$ не равно $2X$ не равно $2\pi*R$

ни какого отношения не имеют

[gris]

unnihilator, тема интересная, но из-за совершенной нечитабельности текста вряд ли привлечёт внимание общественности.
Напишите формулы в таком виде:

$nf(x)=mf(x)+(n-m)f(x)$

$nf'(x)=mf'(x)+(n-m)f'(x)$


Если хочется выделять знак умножения, то не употребляйте *, а используйте \cdot: $n\cdot f'(x)=m\cdot f'(x)+(n-m)\cdot f'(x)$

Формулы окружайте знаками $.

[unnihilator]

Я не ищу производную. Я складываю две функции площади: S1(x)=x^2 и S2(r)=pi*r^2. Суммарную площадь интегрирую двумя вариантами:
- по "X";
-по "R".

[gris]

$uv=\int udv+\int vdu$ - формула интегрирования по частям.
Пусть $u=x; \, v=\frac1x$. Тогда $du=dx$, а $dv=\frac{-1}{x^2}dx$. Подставляем.

$x\cdot \frac1x=\int x\frac{-1}{x^2}dx + \int \frac1xdx$ Совершенно верно.

$1=-\ln|x|+\ln|x|+C$

$1=C$ - ну да, 1 это константа.

Из того, что $(\ln 13x)' =(\ln 7x)'$ не следует, что $\ln 13x =\ln 7x$ и 13=7

[Brukvalub]

unnihilator в сообщении #190604 писал(а):

должны, по идее, описываться правилом: "Производная СУММЫ не равна сумме производных".
Каково ВАШЕ мнение по этому вопросу?

Мое мнение: вы мне очень напомнили Незнайку из сказок Носова. В одной из этих сказок Незнайка увидел что-то незнакомое на небе и криком "от Солнца оторвался кусок и сейчас упадет на Землю" переполошил весь город коротышек.
Конечно, потом всё разъяснилось, и всем было очень смешно, но сначала коротышки очень перепугались.
А вот сейчас смешно с самого начала.

[Jnrty]

Jnrty:

unnihilator, обратите внимание на надпись наверху страницы, прямо над названием темы, а также прочтите тему "Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться" и не удивляйтесь, что тема оказалась в указанном там месте.

Как писать формулы, подробно объясняется в темах "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [mаth]." Способы цитирования - в теме "Цитирование и формулы."

Когда исправите все формулы в соответствии с правилами, напишите об этом в теме "Сообщение в карантине исправлено", и Ваша тема будет возвращена в раздел "Дискуссионные темы (М)".

[Jnrty]

Jnrty:

Возвращаю.

[unnihilator]

Для Лили:
$S_1=x^2$, $S_2=\pi r^2$, $S'_1=2x$, $S'_2=2\pi r$.
$S_1+S_2=S_3$. $S'_3=?$;
Беру всего два варианта:
1. $\int_{r}^{R} (2\pi r)dr=x^2$, тогда $S'_3=2\pi R$. $2\pi R\not=2x+2\pi r$.
2. $\int_{x}^{X} (2x)dx=\pi r^2$, тогда $S'_3=2X$. $2X \not=2x+2\pi r$
Для случая $3\cdot(\frac43 \pi r^3)$ формула поиска производной суммарной функции выглядит так:: $(3\cdot(\frac43 \pi r^3))' = 4\cdot\pi R^2$, где $R$ находится из $\int_r^R(4\cdot\pi r^2)dr=3\cdot(\frac43 \pi r^3)$

[gris]

Ув. unnihilator,

$S_1=x^2$, $S_2=\pi r^2$, $S'_1=2x$, $S'_2=2\pi r$.
$S_1+S_2=S_3$. $S'_3=?$;

$S_3$ это функция двух переменных $x$ и $r$. Для функции нескольких переменных не определено понятие ни общей производной, ни производной "вообще". Существуют частные производные, производные по направлению.
Скорее всего, Вы имеете ввиду понятие дифференциала. Дифференциал функции, если он существует, может быть выражен через частные производные, которые Вы посчитали совершенно правильно.

В Вашем случае

$dS_3= \frac {\partial S_3}{\partial x}dx+\frac {\partial S_3}{\partial r}dr=2xdx+2\pi rdr$

Интересно бы получить аналогичные выражения для суммарного объёма двух шаров, шара и прямого цилиндра и для других фигур и их комбинаций.

[unnihilator]

Для gris:
В формуле интегрирования по частям "C" нет.
1. Для начала, чтобы Вы сами смогли удостовериться в "глубине" своего понимания сути "Интегрально-Дифференциального Исчисления (ИДИ)", давайте применим его аппарат в планиметрии и стереометрии примерно по такому алгоритму: " Производная площади круга по радиусу есть длина описаной окружности (планиметрический аналог формул $f(r)=\pi r^2$, $f'(r)=2\pi r$). Кстати, вначале рассмотрим возникновение понятия "производная" применительно к функции $f(x)=x^2$:
Для этого чертим для наглядности процесса тензор 2-го ранга (т.е.две оси "OX" перпендикулярно друг другу - аналогом является первая четверть осей координат при построении графиков функций $y=f(x)$, только по оси абсцисс и оси ординат откладываете "x"). Теперь на произвольном расстоянии от "0" откладываете по обеим осям "$x_1$" и "$x^2$ и, соединяя их попарно (я думаю разберетесь КАК) получаете два квадрата: $x_1 ^2$ и $ x_2 ^2$. Сам тензор и будет $f(x)=x^2$ а два полученных Вами квадратика - это два значения $f_1=f(x_1)=x_1 ^2$ и $f_2=f(x_2)=x_2 ^2$. Теперь рассматриваем процесс: $\lim\limits_{x_1->x<-x_2}\frac{(x_2^2)-(x_1^2)}{x_2-x_1}=\lim\limits_{x_1->x<-x_2}\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{x_2-x_1}=\lim\limits_{x_1->x<-x_2}(x_2+x_1)=x+x=2x.$ Одновременно следим по нашему "рисунку", как мысленно устремляя два квадратика друг к другу, мы получаем два отрезка $2x$, т.е. полупериметр, который и есть производная площади квадрата. Так вот, если Вы хорошо усвоили ИДИ, то Вам без труда удастся ответить на следующие вопросы (наподобие того, что производная кинетической энергии по скорости есть импульс):
1. В виде какой планиметрической фигуры выглядит производная равнобедренного прямоугольного треугольника по его катету?
2. В виде какой стереометрической фигуры выглядит интеграл площади круга по радиусу?
3. В виде какой планиметрической фигуры выглядит производная объема цилиндра по высоте?
4. В виде какой стереометрической фигуры выглядит интеграл площади поверхности шара по радиусу?.
Теперь насчет "C". Вы прочитали в первом посте мой второй вопрос? Попробуйте на него ответить.
На Ваш второй пост я отвечу так: "Решим простую задачку: Чему равна длина окружности, описанной вокруг круга, имеющего площадь, суммарную от сложения площади круга, равной $pi25$ и площади квадрата, равной 9? Будет ли она равна сумме длины окружности, описанной вокруг $\pi25$ и длины полупериметра квадрата $3^2$?".

[gris]

К сожалению, я освоил только "Начала Евклидового Планиметрического Интегрально-Зонального Дифференциального Исчисления"

Но у Вас очень любопытная теория. Только вот непонятно производная от площади круга по радиусу есть длина окружности или же производная от круга есть окружность?

С помощью тензора я нашёл ответ на Ваши задачи:
1. В виде какой планиметрической фигуры выглядит производная равнобедренного прямоугольного треугольника по его катету? В виде катета. Или гипотенузы...
2. В виде какой стереометрической фигуры выглядит интеграл площади круга по радиусу? Наверное, просто интеграл круга? В виде тора?
3. В виде какой планиметрической фигуры выглядит производная объема цилиндра по высоте? Неужели круг?
4. В виде какой стереометрической фигуры выглядит интеграл площади поверхности шара по радиусу?. Шар?

в общем вопросов море. А можно ли дифференцировать круг по окружности? А окружность по кругу?

[unnihilator]

Для Brukvalub.
Не хотелось мне сейчас писать этого, ввиду понятно предполагаемого скепсиса некоторых "товарищей", но видно придется...
По информационному каналу, о котором говорил Тесла и которым пользовались Шредингер, Энштейн, Архимед, Менделеев и т.д., я получил такое определение математики: "Математика - часть естествознания, которая, используя значки, символы, линии и правила пользования ими, создает такой универсальный абстрактный аппарат (в частности в виде формул) на основе результатов опытов (в том числе и физических), который позволяет получать истинные ответы на частные вопросы (ответ на которые находится в компетенции этого аппарата). Я сам не математик, меня интересовали иные вопросы, но этот информационный канал через меня пытается передать тем, кто "занимается" математикой то, что в этой науке несколько веков назад некоторыми ребятами при создании науки "математика" было выхолащено понятие"структуры", которое должно было стоять наряду с понятием "число". Тогда был передан через Пьера Ферма "контрольчик" в виде известной теоремы, остающийся и по сей день непонятым. А если бы тогда на него обратили внимание, то $b^n=c^n-a^n$ сумели бы восстановить до $(x\cdot y\cdot\sqrt[n]4)^n=(p^2)^n-(k^2)^n$ и $\sqrt[n]4$ все бы объяснил. А Бином Ньютона имел бы вид $(a+b)^n$=

$$\sum\limits_{i=1}^m(a^n)^{(m)}b^{[m-1]}$$

, а Паскалю для понимания появления биномиальных коэффициентов не надо было бы изобретать треугольник. Приведу пример:
$(a+b)^5= a^5\cdot1+5a^4\cdot b+20a^3\cdot\frac{b^2}2+60a^2\cdot\frac{b^3}6+120a\cdot\frac{b^4}{24}+120\cdot\frac{b^5}{120}$. Тейлор ведь эту информацию получил!
А еще мне хотелось бы Вам предложить верить в истинность принимаемой Вами теории не на основе массовости ее приверженцев и "поливать" ее критика в предвкушении массового оголтелого улюлюканья в его адрес, а на основе совпадения ее теоретических выкладок с результатами практического опыта. Если Вы знаете, то в свое время в том, что Солнце вращается вокруг Земли были убеждены ВСЕ. Но..

[Xaositect]

Простите меня, я не смог удержаться. Ниже идет бред, не имеющий никакого отношения к производным.

У пифагорейцев математика была основой их мистического учения. "Все есть число" -- для познания мира необходимо изучать математические законы.
Из истории известно, что кружок пифагорейцев распался. На самом деле это не так. Последователи пифагора ушли в подполье. На протяжении более 25 веков математики образуют тайную организацию. Крупнейшие университеты мира служат для выявления талантов, которые достойны вступить в круг наследников Пифагора, а некоторым великим удалось через открытие математических истин прийти к невиданному могуществу.
Любая тайная организация жестоко карает отступников и тех, кто случайно узнал о ней. Таковы большинство "ферматистов": они были подвергнуты специальным изменениям в психике, и теперь обречены вечно думать над одной проблемой(А еще ранее для этого служили три великих неразрешимых задачи - удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга). Но есть особо стойкие еретики, с которыми приходится работать другими методами...

[unnihilator]

Для gris:
"...непонятно производная от площади круга по радиусу есть длина окружности или же производная от круга есть окружность?..." - Вы сможете легко понять, если усвоите для себя такие элементарные вещи:
-Площадь круга $S(r)=\pi r^2$ - есть функция радиуса.
-Длина окружности $L(r)=2\pi r$ - есть функция радиуса.
-Производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента, т.е. $\frac{dS}{dr} =L$
-круг не есть функция, а суть геометрическая фигура, как и окружность
Ответы:
1. Длина катета.
2. Объем конуса с высотой, равной радиусу.
3. Площадь круга.
4. Объем шара.
А иронично насчет тензора - это Вы зря-я-я...Допустим, все возможные варианты разложения по частям, к примеру, интеграла $\int\frac{U(x)V(x)Q(x)}{M(x)N^3(x)}dx$ без рассмотрения тензора седьмого ранга Вам и не снились, т.к. в учебниках по математике Вы найдете разложение только по тензору второго ранга в двух видах: $(UV)= \int(U)dV+\int(V)dU$ и $(U\cdot\frac1V)=\int(U)d(\frac1V)+\int\frac1VdU$ и то второй вид разложения только как:
$$(U\cdot\frac1V)'=\frac{d(\int(U)d(\frac1V))}{dx}+\frac{d(\int\frac1VdU)}{dx}$; $(\frac UV)'=U\cdot(-\frac1{V^2})\cdot V'+\frac1V\cdot U'$; $(\frac UV)'=-\frac {UV'}{V^2}+\frac {U'}V=\frac{U'}V-\frac{UV'}{V^2}=\frac{UV'-U'V}{V^2}$
А если бы Вы еще разложили тензор третьего ранга $(x\cdot x\cdot x)$ как $(x^2\cdot x)$ то, получив в результате разложения по частям $(x^2\cdot x)=\int(x^2) dx+\int(x) d(x^2)$ интегральную плоскость $x^2\sqrt 2$, делящую тензор третьего ранга $x^3$ на два интеграла $\frac 13\cdot(x^3)$ и $\frac 23\cdot(x^3)$ и разобравшись в том, что эта плоскость( $x^2\sqrt 2$) при разложении тензора второго ранга (UV) - площади прямоугольника UV, где $U=x^2$, а $V=x$ делит площадь этого прямоугольника, в виде интегральной линии, на две интегральные площади $\frac 13\cdot(x^3)$ и $\frac 23\cdot(x^3)$, так вот, разобравшись в том, что эта площадь " обзывается" как "график функции $y=x^2$ и что некоторые ученые мужи изучают угловые коэффициенты касательной к ней, всякие там разрывы, линии перегибов и прочие всякие глупости пришли бы в восторг от некоей фантазии ребят, баловавшихся таким образом с функцией $x^2\sqrt 2$ как с функцией $x^2$ несколько столетий назад!


.