Является ли функция примитивно рекурсивной?

[TypucT]

Забавно получается, если поставить внешне похожий вопрос: является ли функция $h(x)$ непрерывной? Здесь ответ очевиден (или нет? ).

Вот два возражения тем, кто утверждает, что функция не примитивно рекурсивная:
1. Завтра кто-то докажет или опровергнет гипотезу Гольдбаха и $h(x)$ тут же станет примитивно рекурсивной
2. Из того, что примитивная рекурсивность функции не доказана, не следует, что она не примитивно рекурсивна.

Более строго доказательство примитивной рекурсивности функции $h(x)$ можно провести так. Пусть $\Gamma$ обозначает высказывание "Гипотеза Гольдбаха истинна", тогда $\overline{\Gamma}$ обозначает "Гипотеза Гольдбаха ложна". Пусть $A$ обозначает "Функция $h(x)$ примитивно рекурсивна". Очевидно, $\Gamma$ влечет $A$ и $\overline{\Gamma}$ влечет $A$. Поскольку истинно $\Gamma\vee\overline{\Gamma}$, то истинно $A$. То есть функция $h(x)$ примитивно рекурсивна.

Я склоняюсь к варианту, что таки да, функция $h(x)$ является примитивно рекурсивной.

PS
Другое дело, если бы было что-то вроде

$$ g(x)= \left\{ \begin{array}{cl} 1, & $если $ x $ не удовлетворяет гипотезе Гольдбаха$,\\ 0, & $иначе$. \end{array} \right. $$

[Nxx]

Цитата:

Вот два возражения тем, кто утверждает, что функция не примитивно рекурсивная:
1. Завтра кто-то докажет или опровергнет гипотезу Гольдбаха и $h(x)$ тут же станет примитивно рекурсивной Smile
2. Из того, что примитивная рекурсивность функции не доказана, не следует, что она не примитивно рекурсивна.

Согласен со вторым утверждением. Эта функция может оказаться как примитивно-рекурсивной, так и нет.

Цитата:

Очевидно, $\Gamma$ влечет $A$

Нет. Не влечет.

[Dandan]

Ну я уж не знаю как объяснить. Попробуем так.

Рекурсивность функции - это свойство её описания, а не свойство самой функции. Ваше первоначальное описание функции h никак не подходит под понятие примитивной рекурсивности. Но, возможно функцию h можно описать по другому - так, что её описание будет рекурсивным. В случае, если проблему Гольдбаха решат - функцию h, очевидно, можно будет описать рекурсивным образом.
Рекурсивность это абсолютно конструктивное понятие.

[Nxx]

Цитата:

В случае, если проблему Гольдбаха решат - функцию h, очевидно, можно будет описать рекурсивным образом.

Это уже будет другая функция.

[Dandan]

почему другая? Из описания h, следует, что h - константа, равная либо 1, либо 2, просто нам пока не известно чему именно. А когда станет известно - её можно будет описать по нормальному - примитивно рекурсивно

[Nxx]

Цитата:

Из описания h, следует, что h - константа, равная либо 1, либо 2, просто нам пока не известно чему именно.

Ну если уж на то пошло, из описания h следует, что у нее в качестве аргумента выступает истинность гипотезы Гольдбаха

[TypucT]

Nxx писал(а):

Цитата:

Очевидно, $\Gamma$ влечет $A$

Нет. Не влечет.

Если гипотеза Гольдбаха истинна, то $h(x)=2$, и, следовательно, $h(x)$ примитивно рекурсивна. То есть $\Gamma$ влечет $A$.

Добавлено спустя 13 минут 20 секунд:

Dandan писал(а):

Рекурсивность функции - это свойство её описания, а не свойство самой функции. Ваше первоначальное описание функции h никак не подходит под понятие примитивной рекурсивности. Но, возможно функцию h можно описать по другому - так, что её описание будет рекурсивным. В случае, если проблему Гольдбаха решат - функцию h, очевидно, можно будет описать рекурсивным образом.
Рекурсивность это абсолютно конструктивное понятие.

Класс примитивно рекурсивных функций - вполне определенное понятие. Он состоит из функций, обладающих свойством "быть примитивно рекурсивной" (а не из описаний). Различных описаний одной и той же функции больше одного, в том числе совсем не "рекурсивные" описания, но принадлежность функции к определенному классу от этого не зависит. Например, $f(x)=(1-1)/1$ - примитивно рекурсивная функция.

[MaximKat]

а функция

$$ r(x) = \left\{ \begin{array}{сl} 2, & $если 19.02.2009 в Караганде будет дождь$,\\ 1, & $если 19.02.2009 в Караганде не будет дождя$. \end{array} \right. $$

какая?

[Nxx]

Цитата:

Если гипотеза Гольдбаха истинна, то $h(x)=2$

Именно, что "если". А оператора "если" в наборе разрешенных элементов для рекурсивных функций нет.

[TypucT]

Nxx писал(а):

Цитата:

Из описания h, следует, что h - константа, равная либо 1, либо 2, просто нам пока не известно чему именно.

Ну если уж на то пошло, из описания h следует, что у нее в качестве аргумента выступает истинность гипотезы Гольдбаха

Если уж на то пошло, то истинность гипотезы Гольдбаха константа и этот "аргумент" ни на что не влияет

[Nxx]

MaximKat писал(а):

а функция

$$ r(x) = \left\{ \begin{array}{сl} 2, & $если 19.02.2009 в Караганде будет дождь$,\\ 1, & $если 19.02.2009 в Караганде не будет дождя$. \end{array} \right. $$

какая?

В данном случае, как и в случае с гипотезой Гольдбаха, в завуалированной форме в функцию вводится параметр.

[TypucT]

MaximKat писал(а):

а функция

$$ r(x) = \left\{ \begin{array}{сl} 2, & $если 19.02.2009 в Караганде будет дождь$,\\ 1, & $если 19.02.2009 в Караганде не будет дождя$. \end{array} \right. $$

какая?

Примитивно рекурсивная.

[Nxx]

TypucT писал(а):

Если уж на то пошло, то истинность гипотезы Гольдбаха константа и этот "аргумент" ни на что не влияет

Функция сама про эту константу ничего не знает. Какая сегодня погода на Марсе - тоже константа, но если эту константу не передать в качестве аргумента в функцию, она ее вычислить не сможет.

[Xaositect]

TypucT писал(а):

MaximKat писал(а):

а функция

$$ r(x) = \left\{ \begin{array}{сl} 2, & $если 19.02.2009 в Караганде будет дождь$,\\ 1, & $если 19.02.2009 в Караганде не будет дождя$. \end{array} \right. $$

какая?

Примитивно рекурсивная.

А если ночью 18.02.2009 Караганду переименуют, или вогоны сотрут с Землю с лица Галактики?
Хотя сказать, что ф-я рекурсивна, можно и в этом случае - либо 1, либо 2, либо не определена.
С гипотезой Гольбаха проще - она либо верна, либо неверна в стандартной интерпретации арифметики.

[маткиб]

Dandan писал(а):

Ну я уж не знаю как объяснить. Попробуем так.

Рекурсивность функции - это свойство её описания, а не свойство самой функции. Ваше первоначальное описание функции h никак не подходит под понятие примитивной рекурсивности. Но, возможно функцию h можно описать по другому - так, что её описание будет рекурсивным. В случае, если проблему Гольдбаха решат - функцию h, очевидно, можно будет описать рекурсивным образом.
Рекурсивность это абсолютно конструктивное понятие.

Рекурсивность - это свойство именно функции, а не описания. И не нужно это путать с программистским понятием рекурсивности (где функция - это фрагмент программы, а рекурсивная - это которая содержит вызов себя). По крайней мере, у программистов такого понятия как "примитивная рекурсивность" просто нет.

Добавлено спустя 5 минут 51 секунду:

To Nxx: если Вы не дадите определение, что по-Вашему является примитивно рекурсивной функцией, то разговор бессмысленен. Бытие конструктивистом не осовобождает от обязанности давать определения. Когда дадите определение, тогда и можно будет увидеть расхождение с учебниками.