Неунитарные операторы эволюции

[Munin]

Нет, не так.

[AlexDem]

Munin в сообщении #180294 писал(а):

Нет, не так.

Если не трудно, напишите, как бы всё сделали Вы.

[Munin]

Я бы честно рассмотрел эволюцию матрицы плотности.

[ИгорЪ]

Неунитарность - это несохранение вероятности, а незамкнутость системы - как раз даёт место куда пропала недостающая вероятность. Смысл примера я пока не понимаю.

[AlexDem]

В общем, здесь получилось, что невозможно ввести нелинейную функцию на множестве векторов состояний (даже если нам известны все детали взаимодействия). Ввести я её пробовал аналогично тому, как сделал здесь.

[ИгорЪ]

правомерно ли разложение $c$ в линейную комбинацию 4-векторов и действие на неё оператором, который действует, вообще говоря на прямом произведении двух 2-векторов?

[AlexDem]

Не вижу проблемы. Оператор действует на векторах, ему в принципе безразлично, разлагаются ли они в прямое произведение или нет - это ясно из его описания (но он не является всюду определённым - на неразложимых аргументах он неопределён, это здесь не мешает). При этом сперва этот оператор предполагается линейным, для него разложение аргумента в линейную комбинацию правомерно. Потом выясняется, что такого линейного оператора $F$ существовать не может. Значит, если он вообще существует, то он - нелинейный. Но он - также не существует, поскольку результирующий вектор $U|c>$ - как правило неразложим в прямое произведение, и конечного состояния $U_a|a>$ у нас просто нет.

В то же время, из других примеров нам известно, что линейные операторы на векторах - вполне себе существуют и имеют определённый физический смысл. А вот нелинейные - получается, что нет. Хотя это всё не очень строго

-- Пн дек 14, 2009 15:26:09 --

Попутно - вопрос. Какие аналоги несепарабельности (неделимости системы на части) есть в КТП? Я читал, что поле в определённых условиях можно рассматривать как пространство квантовых осцилляторов. Всегда ли мы там знаем состояние любой области такого пространства (в координатном представлении)?

[AlexDem]

ИгорЪ в сообщении #271306 писал(а):

Метрика нужна при квантовании теории поля, например коммутатор операторов пропорционален метрике минковского, отсюда следуют гадкие состояния с отрицательной вероятностью. Про запутанные состояния я что то такое слыхал, но это отдельная большая тема с интерпретацией КМ, "телепортациями" и т.д. . Может попробовать завести её отдельно?

Что-то у меня сложилось такое ощущение, что в КТП принят подход, аналогичный тому, как если бы мы здесь использовали матрицу плотности для описания "состояния" "системы" $a$ после взаимодействия. Матрица плотности уже содержит классические вероятности в себе (а не только амплитуды), то есть в некотором смысле туда уже частично впихнуто измерение. Конечно, это не помогло бы задать оператор $F$, ведь матрица плотности задаёт состояние при неполной информации, то есть фактически там сидит некоторое множество состояний с вероятностями появления каждого из них. Нашёл вот такое утверждение на форуме:

Цитата:

>> Можно построить релятивистскую теорию измерений в КТП
> Уже прогресс, в прошлый раз Вы утверждали, что это невозможно.
Утверждал, и сейчас утверждаю. Были, например, гнесколько статей Aharonov at al, Phys.Rev. где-то в 80-е годы. Там приведено много парадоксов, связанных с различными попытками как-то ввести измерение в релятивистскую квантовую теорию.

Здесь же я имею ввиду такую теорию измерения. В нерелятивизме можно построить измерение, если в фейнмановском итеграле ограничить пути, по которым ведется интегрирование. Это в общем-то эквивалентно проекторам фон Неймана. Можно аналогично все это записать для релятивистских полей. Поскольку в интеграл входит релятивистски инвариантный лагранжиан, то получается теори изерений, которая лоренц-инвариантна, по крайней мере, формально. При вычислении интеграла получается амплитуда, но это амплидуда данной конфигурации поля.
На опыте мы же никогда полей не измеряем. Поэтому я и говорю, что получается теоретический изыск, из которого ничего посчитать нельзя. Но все это довльно свежие работы, может из этого что и выйдетю

Несепарабельность не имеет отношения к интерпретациям КМ, она - следствие стандартного формализма и к измерениям имеет довольно опосредованное отношение. Если будет интересно - войти в курс дела мне помогли статьи: Менский - "Квантовая механика. Новая формулировка старых вопросов" (за исключением многомировой интерпретации), Доронин - "Мера квантовой запутанности чистых состояний" ("квантовая магия" Доронина здесь ни при чём) и Баргатин, Гришанин, Задков - "Запутанные квантовые состояния атомных систем". Про матрицу плотности: Блум - "Теория матрицы плотности и ее приложения".

[ИгорЪ]

Всё таки с действием опреатора $F$, что то не так. Кроме того не надо ли писать так $F(c)=a\otimes(0,0)$?

-- Вт дек 15, 2009 14:22:43 --

AlexDem в сообщении #271338 писал(а):

поле в определённых условиях можно рассматривать как пространство квантовых осцилляторов

невзаимодействующих! - это первый шаг в КТП

ИгорЪ в сообщении #271637 писал(а):

Матрица плотности уже содержит классические вероятности в себе (а не только амплитуды), то есть в некотором смысле туда уже частично впихнуто измерение

про измерение не понял

[AlexDem]

ИгорЪ в сообщении #271637 писал(а):

Всё таки с действием опреатора $F$, что то не так. Кроме того не надо ли писать так $F(c)=a\otimes(0,0)$?

Если имелся в виду вектор $(0, 0)$, то скорее всего здесь должен стоять $(1, 0)$, иначе мы получим нулевой вектор $(0, 0, 0, 0)$. Нет, вектор $(a_1, a_2) \otimes (1, 0) = (a_1, a_2, 0, 0)$ не эквивалентен вектору $(a_1, a_2)$, они задают разные квантовые системы. Предложенная Вами запись (если именно это имелось в виду) означала бы, что мы задаём оператор $F$ как функцию, отображающую множество аргументов во множество результатов, такое, в котором подсистема $b$ имеет состояние $(1, 0)$.

Мы здесь просто между разными гильбертовыми пространствами прыгаем, чего обычно не делается (хотя, оператор $\otimes$ делает то же самое). Рассматриваем множество всех возможных векторов, на нём задаём оператор. Вектора имеют разную размерность, в зависимости от сложности квантовой системы. Видимо, это Вам здесь и не нравится?

Про матрицу плотности - лучше немного почитать, у Блума хорошее изложение, у Доронина или Баргатина - краткое. Но если совсем вкратце - она способна описать классическую смесь (на что вектор состояния не способен), то есть, например, пучок частиц без интерференции, в котором часть из них имеют измеренный спин вниз, а другая часть - вверх. Но это описание - классически статистическое, некий приём, позволяющий производить вычисления.

-- Вт дек 15, 2009 14:14:18 --

Вектор состояния примерно соответствует волновой функции, если так будет понятней, а матрице плотности соответствия у Шрёдингера нет. Прямому произведению соответсвует представимость волновой функции в виде произведения $\varphi(x,y) = \psi(x)\phi(y)$

[ИгорЪ]

На этом языке
$\varphi(x,y) = \psi(x)\phi(y)$[/quote]можете написать ваш пример?
Мне кажется $F$ не оператор эволюции, это или проектирование или редукция. просто отрезается кусок гильбертова пространства

[AlexDem]

Если оператор эволюции понимать в математическом смысле: $UU^{*} = E$, то у нас здесь скалярное произведение не определено между векторами разной размерности, поэтому сопряжённый оператор $<F^{*}x|y> = <x, Fy>$ для $F$ (когда мы его ещё линейным подразумеваем) определить так просто не получится. В заголовке темы он был назван эволюционным больше по смыслу, когда мы интересуемся какой-то частью полной системы после некоторого времени её эволюции. На проекционный он не похож, именно потому, что $(a_1, a_2, 0, 0) \ne (a_1, a_2)$, тем более, что он ещё и не линейный (был бы, если бы существовал). Редукция - да, похожа, но ведь оператора редукции нет, есть лишь правило, в соответствии с которым оператор измеряемой действует на вектор состояния недетерминированным образом. А кроме как в этом случае, в КМ вероятностей нет нигде (амплитуды - не в счёт, это просто некоторые числа). Нас же здесь не интересуют результаты измерения (по-моему, я их вообще никогда нигде не рассматриваю), только состояния, поэтому вероятности здесь возникать не могут. Хотя, как называется этот оператор - не суть важно, раз нелинейность не существует ни в каком виде, кроме как при измерении системы нами, и она всегда сопряжена с вероятностью.

На языке волновых функций - если неформально, то быстро, если формально - не уверен, что смогу, надо копаться, в этой области я встречал только матричный вариант КМ. Неформально: в рассмотренном примере везде фигурирует спин, то есть волновая функция будет дискретной, её можно задать таблично - что почти и представляет собой вектор состояния - таблицу волновой функции. С той только разницей, что вектора-функции у нас здесь не меняются во времени (меняются операторы, а у Шрёдингера - наоборот).

[ИгорЪ]

http://arxiv.org/abs/hep-th/9810032 давайте попробуем на вот этом примере переформулируем ваш сюжет, достаточно первые три пункта прочесть, на конкретной задаче (3узла-в 2узла) всегда понятней. Хотя я не представляю как записать ваш оператор.

-- Ср дек 16, 2009 11:06:01 --

Кстати, в вашем примере системы невзаимодействующие, это значит, что ни одна ни вторая просто не заметит удаления подруги, так что оператор$F$ производит ненаблюдаемые действия.

[AlexDem]

Хорошо, я почитаю чуть позже, не сегодня, и постараюсь что-нибудь сделать. А пока нужно с головой уйти в работу...

-- Ср дек 16, 2009 10:43:13 --

В данном конкретном примере они не взаимодействуют, иначе мы свойства оператора $F$ не получим. Только в таких точках он и считается, но по этим точкам можно обычный линейный оператор задать ($U_a(a)$). А вот если включить взаимодействие (то есть рассмотреть ряд других примеров с этим же оператором $F$), как раз и получится, что там, где должна получаться нелинейность - она не существует.

[AlexDem]

ИгорЪ в сообщении #271714 писал(а):

На этом языке
$\varphi(x,y) = \psi(x)\phi(y)$можете написать ваш пример?

Не, я нашёл, как это примерно делается - здесь (со слов: "Этот гамильтониан имеет важное свойство: он индуцирует переходы только между триплетными подуровнями РП", - где "РП" = "спин-коррелированная радикальная пара"), здесь нестационарное УШ будет вроде, сложно, только путаться.

ИгорЪ в сообщении #271946 писал(а):

http://arxiv.org/abs/hep-th/9810032 давайте попробуем на вот этом примере переформулируем ваш сюжет, достаточно первые три пункта прочесть, на конкретной задаче (3узла-в 2узла) всегда понятней. Хотя я не представляю как записать ваш оператор.

Посмотрел работу, но ничего нового в формализме не нашёл, не совсем понимаю, чем то изложение понятней? У меня тоже взят конкретный вектор, правда оператор нельзя выписать в матричном виде. Насчёт того, как можно записать оператор $F$ - сейчас сообразим...

Рассмотрим операцию $\otimes$: $y = a \otimes x$. Расставим скобки в уравнении следующим образом: $y = [a \otimes] x$ и назовём оператором $D_a$ часть выражения в скобках: $D_a = [a \otimes]$, тогда можно будет записать $y = D_a x$, то есть операция $\otimes$ задаёт некоторое множество линейных операторов повышения размерности $D = \{D_a, D_b, ...\}$ (так же, как, например, неопределённый интеграл задаёт множество операторов с точностью до константы). По аналогии с интегралом обозначим этот оператор просто $D$, только будем помнить о том, что он задан "с точностью до константы".

Мы теперь задаёмся целью - раз есть операторы повышения размерности, должен быть и оператор её понижения (аналог дифференциального оператора в случае с интегралом). Это и есть рассматриваемый $F$, в случае нормированных векторов он единственен для каждой результирующей размерности (то есть, понизить размерность до, скажем, 2 можно не более чем одним способом). В области значений оператора $D$ оператор $F$ выступает как линейный и $F = D^{-1}$. Но дело в том, что вообще-то область определения у него шире, чем область значений оператора $D$ (потому что он действует из пространства большей размерности), и в этой расширенной области определения оператор $F$ не является линейным - что я, как мне кажется, доказал. Ситуация напоминает сечение графика нелинейной функции графиком линейной - в точках пересечения нелинейная функция может выступать в качестве линейной, если соответствующим образом ужать её область определения.

Если это понятно - давайте искать ошибки дальше (если интересно)

-- Пт дек 18, 2009 15:00:02 --

AlexDem в сообщении #272726 писал(а):

вообще-то область определения у него шире, чем область значений оператора $D$ (потому что он действует из пространства большей размерности), и в этой расширенной области определения оператор $F$ не является линейным

Пожалуй, стоит переформулировать так:

Цитата:

вообще-то область определения у него потенциально шире, чем область значений оператора $D$ (потому что он действует из пространства большей размерности), и в этой расширенной области определения оператор $F$ не может быть доопределён до линейного

Вот, так вроде верно. Ну, а чуть выше я уже приводил вывод о том, что как раз в этой дополнительной области $F$ и не может быть доопределён:

AlexDem в сообщении #271338 писал(а):

Но он - также не существует, поскольку результирующий вектор $U|c>$ - как правило неразложим в прямое произведение, и конечного состояния $U_a|a>$ у нас просто нет.