число решений уравнения бесконечно

[Sonic86]

Как решать такую задачу:
Докажите, что число решений уравнения $\sin x + \sin (\sqrt{2} x) + \sin (\sqrt{3} x)=0$ бесконечно на $\mathbb{R}$.

[MaximKat]

а где собственно уравнение?

[Sonic86]

Я исправил и ненужный текст выкинул.
Модераторам: спасибо, что перенесли.

Попробую так сформулировать:
Докажите или опровергните, что функция $f(x) = \sum\limits_{k=1}^n \sin (\alpha_k x)$ имеет бесконечно много нулей, $\alpha_k \in \mathbb{R}_{+}$.

[Brukvalub]

Функция непрерывна, поэтому достаточно поискать бесконечную последовательность, на которой значения функции знакочередуются.

[Sonic86]

Хе! Я нашел ужасно простое доказательство!

От противного: пусть функция имеет конечное множество нулей. Тогда начиная с некоторого момента ее знак постоянный. Значит, интеграл от этой функции с некоторого момента - монотонная функция и стремится к бесконечности. Но если проинтегрировать, то получим линейную комбинацию косинусов, которая ограничена - противоречие. Значит нулей бесконечно много.

Brukvalub! Вы это говорите, в смысле решение знаете? Как бы поподробнее хотелось бы, а то мне непонятно.

Еще задачи
1. Доказать или опровергнуть, что для любого $A: -n<A<n $ уравнение $f(x)=A$ имеет решение.
2. Доказать или опровергнуть:
$\sup f(x)=n, \inf f(x) = -n$ а максимума или минимума на $\mathbb{R}$ не существует.

[TOTAL]

Sonic86 писал(а):

Хе! Я нашел ужасно простое доказательство!

От противного: пусть функция имеет конечное множество нулей. Тогда начиная с некоторого момента ее знак постоянный. Значит, интеграл от этой функции с некоторого момента - монотонная функция и стремится к бесконечности.

Почему стремится к бесконечности?

[gris]

кстати из-за несоизмеримости чисел 1 и $\sqrt 2$ (в рациональном смысле), будет нелегко или невозможно явно задать знакопеременную последовательность. ( это для первоначальной постановки задачи).
Может быть стоит доказать, что
$\forall t \exists x_1 > t, x_2 > t: f(x_1) >0, f(x_2) < 0$

[TOTAL]

Sonic86 писал(а):

Докажите, что число решений уравнения $\sin x + \sin (\sqrt{2} x) + \sin (\sqrt{3} x)=0$ бесконечно на $\mathbb{R}$.

Очевидно, $f(x)=-\sin x - \sin (\sqrt{2} x)/2 - \sin (\sqrt{3} x)/3$ имеет бесконечное число нулей,
поэтому $f''(x)=\sin x + \sin (\sqrt{2} x) + \sin (\sqrt{3} x)$ имеет бесконечное число нулей.

[Полосин]

Как вам такое рассуждение: пусть для определенности $\alpha_k$ упорядочены во возрастанию модулей, причем $\alpha_1=1$. Тогда при некотором достаточно большом $m$ знак $m$-й первообразной функции $\pm(\sin x + ...)$ или $\pm(\cos x + ...)$ (только синусы или косинусы, без свободных членов) в экстремальных точках первого слагаемого определяется знаком первого слагаемого, а стало быть, эта первообразная имеет бесконечное число нулей. Осталось заметить, что между соседними нулями функции лежит нуль производной, и применить это правило $m$ раз.

[TOTAL]

Sonic86 писал(а):

Еще задачи
1. Доказать или опровергнуть, что для любого $A: -n<A<n $ уравнение $f(x)=A$ имеет решение.
2. Доказать или опровергнуть:
$\sup f(x)=n, \inf f(x) = -n$ а максимума или минимума на $\mathbb{R}$ не существует.

Все утверждения легко опровергаются.

[ИСН]

С попарно несоразмерными $\alpha_i$, однако, всё похоже на правду.

[gris]

TOTAL писал(а):

Очевидно, $f(x)=-\sin x - \sin (\sqrt{2} x)/2 - \sin (\sqrt{3} x)/3$ имеет бесконечное число нулей,

Изящно. А как быть в общем случае? $f(x) = \sum\limits_{k=1}^n \sin (\alpha_k x) /\alpha_k ^2$?
Например, для уравнения$f(x)=\sin x +\sin (\sqrt{2} x) +\sin (\sqrt{3} x)+\sin (\sqrt{4} x)$
Для него я чего-то не вижу очевидность бесконечности корней

[TOTAL]

То же самое: у первообразной достаточно высокого порядка бесконечно много корней.

[gris]

Я думал мы всегда только 2 раза интегрируем.
А в чем тогда, кстати, очевидность, что
$f(x)=-\sin x - \sin (\sqrt{2} x)/2 - \sin (\sqrt{3} x)/3$ имеет бесконечное число нулей?
Я предполагал в том, что $1 > \frac 1 2 + \frac 1 3$
Или нет?

[Brukvalub]

gris в сообщении #176413 писал(а):

Я предполагал в том, что $1 > \frac 1 2 + \frac 1 3$

Именно в этом суть.