число решений уравнения бесконечно

[gris]

Понял. Да и Полосин уже написал. Но меня смущает, что коэффициенты могут быть и меньше 1.

Добавлено спустя 3 минуты 41 секунду:

В общем случае сказано, что $a_k \in \mathbb R_+$

[ИСН]

Какая разница. Один из них меньше прочих, он-то и вылезет наверх.

[gris]

Вот было бы, что $a_1=1$ и $a_k>1$ при $k>1$...

Разобрался:)

[Sonic86]

Спасибо за варианты доказательства! Прикольно!
TOTAL! Что Вы имели ввиду, спрашивая почему стремится к бесконечности. Я неправильно употребляю терминологию?

Контрпримеры нашел.
Для 1 и 2 будет достаточно, если $\alpha_j$ будут несоизмеримы (но не необходимо).
$\alpha$ несоизмеримо с $\beta \Leftrightarrow (\forall q \in \mathbb{Q}) \alpha \neq q \beta$.
1 и 2 доказываются через существование последовательности $x_r: f(x_r) \to n$ (аналогично для $y_r: f(y_r) \to n$).
1. Так как есть $x_r: f(x_r) \to n$, то для любого $\epsilon$ начиная с некоторого R для $r>R f(x_r)> n - \epsilon$. Кроме того, $f(x)$ имеет неограниченную последовательность нулей $z_r$ и непрерывна, поэтому по т. Вейерштрасса всегда будет бесконечное число $x: f(x)=A, 0<A<n- \epsilon$ имеет бесконечно много решений (второй случай аналогично).
2. sup и inf по определению, а из легко несоизмеримости коэффициентов следует, что максимум и минимум $f(x), x \in \mathbb{R}$ не существует.
Докажем существование $x_r$. Возьмем $\epsilon > 0$ и найдем решение системы неравенств вида $\sin (\alpha _k x) > 1 - \epsilon, k=1,..,n$. (проблемы были тут - надо точно описать).
Рассмотрим решения уравнений $\sin (\alpha _k x)=1$:
$x= \pi \alpha _k^{-1}(\frac 1 2 + n_k)$. Мы имеем n арифметических прогрессий с попарно несоизмеримыми коэффициентами. Надо показать, что в них есть энки сколь угодно близких точек.
Задача 3.$\alpha _k$ несоизмеримы, поэтому $\pi \alpha _k^{-1}$ несоизмеримы. Все решения этой серии образуют арифметическую прогрессию с несоизмеримыми коэффициентами. Поэтому должен будет существовать такой сколь угодно малый интервал, в который попадут числа из каждой такой серии.
Помогите описать это. Это видно, но языка не хватает.

[TOTAL]

Sonic86 писал(а):

Спасибо за варианты доказательства! Прикольно!
TOTAL! Что Вы имели ввиду, спрашивая почему стремится к бесконечности. Я неправильно употребляю терминологию?

Я имел в виду, что Вы не доказали, что будет стремиться к бесконечности.

[Sonic86]

А! Понял! Может возрастать, но быть ограниченной.
Так это тогда мое доказательство кривое...

Как насчет 3?

[Sonic86]

Докажем, что для любого $\epsilon >0$ можно найти такую энку точек (по одной из каждой
последовательности решений уравнения $\sin (\alpha _k x)=1$), что их диаметр их множества меньше $\epsilon$. Возьмем в качестве опорной последовательности последовательность натуральных чисел. Пусть дробь $q_k$ - достаточно точное прибижение к $\beta _k = \alpha _k / \pi$ с погрешностью $\varepsilon _k$ (мы его можем сделать сколь угодно малым). Используя, например, цепные дроби, можно найти хотя бы два $n_k: \beta ^{-1}(1/2+n_k)$ отличаются от некоторого натурального числа не более чем на $\delta _k >0$, причем, используя цепные дроби, $\delta _k$ можно сделать сколь угодно малым. Возьмем теперь k
арифметических прогрессий, у которой первые 2 члена - соответствующие два числа $n_k$, взятые по порядку, обозначим ее как $s_k (t) = a_k + t b_k, t \in \mathbb{N}$, $b_k$ - знаменатели дробей $q_k$. Подставляя $t=1,2,3,...$ мы получим k последовательностей точек $s_k (t)$, которые отличаются от некоторых натуральных чисел не более чем на $t|\varepsilon _k + \delta _k|$. Теперь, если у этих последовательностей есть общий член S (общие члены образуют тоже арифметическую прогрессию), то взяв его в качестве всех $n_k$ мы получим энку точек, диаметр множества которых не больше наибольшего из чисел $t_k|\varepsilon _k + \delta _k|$, где $t_k: s_k(t_k)=S$. Ввиду того, что погрешности $\varepsilon _k, \delta _k$ можно сделать сколь угодно малыми, мы можем сделать диаметр сколь угодно малым, в том числе и меньше $\epsilon$. Таким образом, остается доказать существование S. Оно, например, обязательно существует при попарно взаимно простых $b_k$. Но это так не очевидно. С другой стороны, у нас есть произвол в выборе опорной последовательности.
Существование S. По индукции. База. Пусть мы взяли некоторые знаменатели $b_1$ и $b_2$ дробей $q_1$ и $q_2$. Если $b_2$ не взаимно просто с $b_1$, мы можем взять другое $q_2'$, более точное, чем предыдущее $q_2$ уже с другим $b_2'$. Теперь опять проверяем взаимную простоту $b_1$ и $b_2'$. Если они опять не взаимно просты, то находим $q_2''$ и $b_2''$ и т.д. Если хотя бы один $b_2^{(i)}$ будет, то мы его берем в качестве коэффициента для $s_2(t)$. В противном случае мы получаем утверждение о том, что существует такое действительное число $r$, у которого начиная с некоторого номера знаменатели $b_k$ цепных дробей не взаимно просты (какие?). Таких действительных чисел по свойству цепных дробей нет. Значит у нас уже есть $b_1$ и $b_2$.
Шаг индукции. Повторяем рассуждения. Пусть есть дроби $q_1,...,q_j$ и соответствующие взаимно простые знаменатели $b_1,...,b_j$. Мы таким же образом начинаем искать $b_{j+1}$. Оно должно быть взаимно просто каждому из $b_1,...,b_j$, что равносильно тому, что $b_{j+1}$ взаимно просто $lcm(b_1,...,b_j)$ - некоторому числу. Опять же в силу свойств цепных дробей такое число $b_{j+1}$ должно быть найдено.
По индукции доходим до n, получаем, что существует энка взаимно простых $b_1,...,b_n$, а значит S.