посчитать определитель

[ozhigin]

$$\left| \begin{array}{cccccc} x+1 & x & x & x & \ldots & x \\ x & x+a & x & x & \ldots & x \\ x & x & x+a^2 & x & \ldots & x \\ \hdotsfor{6} \\ x & x & x & x & \ldots & x+a^n \end{array} \right|$$

n-ого порядка
можно значит первый столбец расписать как x+1 x+0 ..X+0 и разбить на сумму определителей первый определитель можем посчитать там вроде
x*a^(((n+1)*n)/2) + и тут надо реккурентные соотношения применять,как не знаю,помогите...

[Jnrty]

Определитель набирается так:

$$\left|\begin{array}{cccccc} x+1&x&x&x&\ldots&x\\ x&x+a&x&x&\ldots&x\\ x&x&x+a^2&x&\ldots&x\\ \hdotsfor{6}\\ x&x&x&x&\ldots&x+a^n\end{array}\right|$$

[math]$$\left| \begin{array}{cccccc}
x+1 & x & x & x & \ldots & x \\
x & x+a & x & x & \ldots & x \\
x & x & x+a^2 & x & \ldots & x \\
\hdotsfor{6} \\
x & x & x & x & \ldots & x+a^n
\end{array} \right|$$[/math]

(Пробелы и разбивка на строки в большинстве случаев не обязательны.)

Этот определитель имеет порядок не $n$, как Вы пишете, а $n+1$.

Jnrty:

Как записывать другие формулы - посмотрите в темах "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [mаth]."

Если в дальнейшем будете писать формулы как попало, перенесу тему в "Карантин", где она будет находиться до исправления формул.

[TOTAL]

$$A=\left(\begin{array}{cccccc} x&x&x&x&\ldots&x\\ x&x&x&x&\ldots&x\\ x&x&x&x&\ldots&x\\ \hdotsfor{6}\\ x&x&x&x&\ldots&x\end{array}\right), \;\; B=\left(\begin{array}{cccccc} 1& 0&0&0&\ldots&0\\ 0&a&0&0&\ldots&0\\ 0&0&a^2&0&\ldots&0\\ \hdotsfor{6}\\ 0&0&0&0&\ldots&a^n\end{array}\right)$$

Отсюда найдёте

$$det(A+B)=a^{\frac{n(n+1)}{2}}\left( 1+x\left( \frac{1}{a^0}+\frac{1}{a^1} + \ldots + \frac{1}{a^n} \right) \right)$$

[ozhigin]

Добавлено спустя 2 минуты 9 секунд:

TOTAL
а так мы можем разложить?
на A и B

и насчёт произведения детерминантов я знаю, что det(*)= Det()*det()
а суммой что?

[TOTAL]

Потренируйтесь на определителях маленькой размерности.
Сначала разбейте первую строку:

$$det\left(\begin{array}{cc} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\\ \end{array}\right)= det\left(\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\\ \end{array}\right)+ det\left(\begin{array}{cc} b_{11}&b_{12}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\\ \end{array}\right). $$

Затем у каждого определителя разбейте вторую строку.

[hihika]

Помогите, пожалуйста посчитать определитель порядка n

$$\left| \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & -n \\ 1 & 1 & 1 & -n & \ldots & 1 \\ 1 & 1 &-n & 1 & \ldots & 1 \\ \hdotsfor{6} \\ -n & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \end{array} \right|$$

[Bulinator]

Прибавьте к первой строке все строки начиная со второй . Что получится??

[paha]

hihika в сообщении #381447 писал(а):

Помогите, пожалуйста посчитать определитель порядка n

$$\left| \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & -n \\ 1 & 1 & 1 & -n & \ldots & 1 \\ 1 & 1 &-n & 1 & \ldots & 1 \\ \hdotsfor{6} \\ -n & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \end{array} \right|$$

Очевидно, этот определитель равен $\pm D$, где

$$D=\left| \begin{array}{cccccc} 1-x & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 1-x & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \hdotsfor{6} \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1-x \end{array} \right|$$

при $x=n+1$ (про знак перед определителем нетрудно сообразить)
Ясно также, что $D$ является многочленом степени $n$ от $x$, причем $x=0$ является его корнем кратности $n-1$: $D=x^{n-1}\cdot (ax+b)$
Теперь осталось подумать, чему равно $ax+b$ при $x=n+1$

[hihika]

paha, только $1-$х по диагонали справа налево,да?
или я тогда не очень поняла, как мы получили $D$

$ax + b$- это коэффициент при $1-x$, т.е. минор порядка $n-1$?

[paha]

hihika в сообщении #381660 писал(а):

paha, только $1-$х по диагонали справа налево,да?

поменяли местами первую строку с последней, потом вторую с предпоследней и т.д. И обратная диагональ перешла в обычную диагональ.
При перестановке двух строк определитель знак как-то меняет -- надо проследить

hihika в сообщении #381660 писал(а):

$ax + b$- это коэффициент при $1-x$, т.е. минор порядка $n-1$?

разумеется, нет

[hihika]

Спасибо!

[paha]

Вычислили?

[hihika]

я еще думаю, потом отпишусь или спрошу ещё что:)

[Bulinator]

А я предлагал прибавить все строки к первой и получить строку состоящую из -1. Потом, получив такое мощное оружие, убить все единички в остальных строках прибавляя к ним первую. В итоге получится определитель сосотоящий из -1 в первой строке и -n-1 на побочной диагонали(кроме первой строки). Разложив его по последнему столбцу получим, собственно решение.

[hihika]

Bulinator в сообщении #381889 писал(а):

А я предлагал прибавить все строки к первой и получить строку состоящую из -1. Потом, получив такое мощное оружие, убить все единички в остальных строках прибавляя к ним первую. В итоге получится определитель сосотоящий из -1 в первой строке и -n-1 на побочной диагонали(кроме первой строки). Разложив его по последнему столбцу получим, собственно решение.

кстати,да...