Исследовать на сходимость!

[ozhigin]

$x(n+1)=1+6/x(n)$

(n) -ну это понятно номер члена[/math]

[Jnrty]

Как насчёт того, чтобы записать формулы в соответствии с правилами форума? Первые советы.
1) Вокруг формул следует писать знаки доллара: $x(n+1)=1+6/x(n)$.

$x(n+1)=1+6/x(n)$

2) Дробь кодируется как \frac{числитель}{знаменатель} (если числитель или знаменатель содержит только один символ, фигурные скобки не обязательны): $x(n+1)=1+\frac 6{x(n)}$.

$x(n+1)=1+\frac 6{x(n)}$

Jnrty:

Подробнее прочтёте в темах "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [mаth]."

Если будете писать формулы как придётся, отправлю тему в "Карантин" до исправления. Это касается и других Ваших тем.

[Brukvalub]

1. Можно посмотреть графически, используя график функции $y = 1 + \frac{6}{x}$, но это будет, скорее, эвристика.
2. Лучше всего отдельно рассмотреть подпоследовательности членов с четными и с нечетными номерами.

[ewert]

Запишите рекуррентное соотношение как $x_{n+1}=f(x_n)$ и докажите, что отображение $y=f(f(x))$ -- сжимающее

(при положительных иксах, а если начинать с отрицательных, то там возможны неприятности)

[ozhigin]

Вот мне репетитор это же объяснял, кошмар такое и на первом курсе,когда это на 3 -ем пеподают

[Brukvalub]

ozhigin в сообщении #171248 писал(а):

Вот мне репетитор это же объяснял, кошмар такое и на первом курсе,когда это на 3 -ем пеподают

Ну и что?

[ozhigin]

у нас не просто надо сдать , а ещё и всё объяснить,объяснить так как будто ты преподаватель и университет три раза закончил, стараемся вот.

[gris]

Здесь одна точка устойчивого равновесия (3), а другая неустойчивого (-2), если можно в данном случае такие термины применять. Последовательность сходится к 3 с любым начальным условием, кроме 0 и -2. Наверное, есть стандартные приёмы для таких задач, а хочется рисовать фазовые портреты...

[ewert]

gris в сообщении #171257 писал(а):

Последовательность сходится к 3 с любым начальным условием, кроме 0 и -2.

нет

[gris]

Кстати, это уж не совет, а вопрос. Нельзя ли эту задачу связать с уравнением
$y' = \frac {6 + y - y^2} {y} $

Добавлено спустя 12 минут 59 секунд:

ewert, вроде бы сходится, но не монотонно к 3. Отовсюду, кроме 0, естественно и -2. -2 это стационарная точка. ( В excel проверял )

Добавлено спустя 6 минут 48 секунд:

Вблизи -2 страшно колбасит, но потом всё успокаивается.

[ewert]

и даже от -6? (ну и там другие аналогичные)

[gris]

Упс...
Кроме -6; -6/7 и ещё кучи точек, болтающихся около -2.
Интересная задачка. Но мне помнится, раньше там было начальное условие -3? Тогда за семь шагов дело переводится в область (2;4), а там уже можно рассуждать о сжимающем отображении?