Районная олимпиада школьников по математике 2008-2009 уч. г.

[voroninv]

2 (районный) этап Всероссийской олимпиады школьников по математике 2008-2009 уч. г.
12 декабря 2008 года.

10 класс.

1. Найти все значения параметра $p$, при которых уравнение

$$(1-p) \cdot x^2 + 2 p x-p-2=0$$

имеет 2 различных положительных корня.
2. Числа $2^{2008}$ и $5^{2008}$ записаны в строчку одно за другим. Определите количество цифр в написанном таким образом числе.
3. Пять различных окружностей вписаны в угол так, что первая из них касается второй, вторая - первой и третьей, третья - второй и четвёртой, четвёртая - третьей и пятой, а пятая - четвёртой. Радиус первой окружности равен 16 см., пятой - 81 см. Найти радиус третьей окружности.
4. Имеется 2 сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй - 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг. первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определить сколько кг. олова содержится в получившемся новом сплаве.
5. Найти сумму

$$6+66+666+\ldots+\underbrace{666 \ldots 6}_{n}$$

.
6. На каждом из 10 листов бумаги написано несколько степеней двойки. Суммы чисел на всех листах одинаковы. Докажите, что какая-то из степеней двойки встречается на этих листах не менее 6 раз.

[TOTAL]

voroninv писал(а):

2. Числа $2^{2008}$ и $5^{2008}$ записаны в строчку одно за другим. Определите количество цифр в написанном таким образом числе.

Можно сразу на апелляцию подавать.

[voroninv]

TOTAL в сообщении #167035 писал(а):

Можно сразу на апелляцию подавать.

А что так?

[TOTAL]

Количество цифр в чем предлагаете считать?

1) В фигуре $2^{2008}5^{2008}$? Тогда 10 цифр.
2) В произведении $2^{2008}\cdot5^{2008}$? Тогда 2009 цифр.
3) В числе, которое получается, если за десятичной записью числа $2^{2008}$ написать десятичную запись числа $5^{2008}$? Тогда не знаю.

Именно о последнем варианте я сразу и думал.

[voroninv]

TOTAL писал(а):

Количество цифр в чем предлагаете считать?
3) В числе, которое получается, если за десятичной записью числа $2^{2008}$ написать десятичную запись числа $5^{2008}$?
Именно о последнем варианте я сразу и думал.

По-моему, тут довольно однозначно написано, что как раз в нём.

Вот в шестой не указано какие написаны степени - натуральные, целые, дробные, действительные. Я когда решал, посчитал, что целые. Хотя, может это утверждение верно для произвольных степеней?

[TOTAL]

voroninv писал(а):

TOTAL писал(а):

Количество цифр в чем предлагаете считать?
3) В числе, которое получается, если за десятичной записью числа $2^{2008}$ написать десятичную запись числа $5^{2008}$?
Именно о последнем варианте я сразу и думал.

По-моему, тут довольно однозначно написано, что как раз в нём.

Я бы явно указал про десятичную запись. Иначе как не засчитать решения для первых двух формулировок?

Для произвольных степеней утв в задаче 6 не верно.

[вздымщик Цыпа]

Вторая задачa:

$([2008 \log_{10} 2] + 1) + ([2008 \log_{10} 5] + 1) =$ $[2008 \log_{10} 2] + [2008 - 2008\log_{10} 2] + 2 =$ $2008 + 2 - (\{2008 \log_{10} 2\} + \{2008 - 2008\log_{10} 2\}) =$ $2008 + 2 -1 = 2009$

[voroninv]

TOTAL писал(а):

1) В фигуре $2^{2008}5^{2008}$?

Что такое фигура, не очень понятно. Как я понял, вы предлагаете посчитать количество разных цифр в этом числе, которое будет равно 10 (хотя я вот не могу сходу это показать). Да, это неоднозначность в условии.

TOTAL писал(а):

2) В произведении $2^{2008}\cdot5^{2008}$?

Ну произведение - этого в условии точно нету.

TOTAL в сообщении #167054 писал(а):

Для произвольных степеней утв в задаче 6 не верно.

Это я не подумав сказал

вздымщик Цыпа писал(а):

Вторая задачa:

А я рассмотрел произведение этих чисел (равное $10^{2008}$) и показал, что в нём столько же цифр, сколько в том, что нам надо.

[TOTAL]

voroninv писал(а):

TOTAL писал(а):

2) В произведении $2^{2008}\cdot5^{2008}$?

Ну произведение - этого в условии точно нету.

В условии сказано, что надо записать одно за другим. Вот записываю $2^{2008}5^{2008}.$
Ну и сколько же цифр в числе $2^{2008}5^{2008}?$ Ровно $2009.$

[voroninv]

Ну может быть, не буду спорить

[вздымщик Цыпа]

voroninv писал(а):

вздымщик Цыпа писал(а):

Вторая задачa:

А я рассмотрел произведение этих чисел (равное $10^{2008}$) и показал, что в нём столько же цифр, сколько в том, что нам надо.

Можно подумать, я сделал что-то другое

[voroninv]

вздымщик Цыпа в сообщении #167208 писал(а):

Можно подумать, я сделал что-то другое

Ну да, у вас тоже неплохое решение. Я сначала на калькуляторе посчитал логарифмы и понял, что ответ 2009. А потом начал думать, как это доказать. Даже в голову не пришло, что это можно сделать через те же логарифмы

Скажите, я правильно понимаю, что в 6 задаче можно показать, что какая-то из степеней двойки встречается на этих листах не менее 10 раз?

[вздымщик Цыпа]

voroninv в сообщении #167232 писал(а):

Скажите, я правильно понимаю, что в 6 задаче можно показать, что какая-то из степеней двойки встречается на этих листах не менее 10 раз?

Нет. Eсть контрпример:
$\{4\}, \{4\}, \{4\}, \{4\}, \{4\}, \{4\}, \{2, 2\}, \{2, 2\}, \{2, 2\}, \{1, 1, 1, 1\}$.

[Батороев]

voroninv писал(а):

3. Пять различных окружностей вписаны в угол так, что первая из них касается второй, вторая - первой и третьей, третья - второй и четвёртой, четвёртая - третьей и пятой, а пятая - четвёртой. Радиус первой окружности равен 16 см., пятой - 81 см. Найти радиус третьей окружности.

$ r_1r_3 = r_2^2 $

$ r_2r_4 = r_3^2 $

$ r_3r_5 = r_4^2 $

Откуда после преобразований получаем:

$ r_3 = \sqrt {r_1r_5} = \sqrt {16\cdot 81} = 36 $ см.

Добавлено спустя 1 час 41 минуту 16 секунд:

Re: Районная олимпиада школьников по математике 2008-2009 уч. г.

voroninv писал(а):

5. Найти сумму

$$6+66+666+\ldots+\underbrace{666 \ldots 6}_{n}$$

.

$$6+66+666+\ldots+\underbrace{666 \ldots 6}_{n} = \dfrac {2}{3} (9+99+999+\ldots+\underbrace{999 \ldots 9}_{n}) $$

$$ = \dfrac {2}{3} (10+100+1000+\ldots+1\underbrace{000 \ldots {0}}_{n} - n) $$

$$ = \dfrac {2}{3} (\underbrace{11111 \ldots {1}}_{n}0 - n) $$

[Imperator]

voroninv писал(а):

5. Найти сумму

$$6+66+666+\ldots+\underbrace{666 \ldots 6}_{n}$$

.

$S_{0}=6+66+666+...+666...6=6*[1+11+111+...+111...1]=$
$=6*[10^{0}+(10^{1}+10^{0})+(10^{2}+10^{1}+10^{0})+...+(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10^{1}+10^{0})]=$
$=6*[n*10^{0}+(n-1)*10^{1}+...+2*10^{n-2}+1*10^{n-1}]=$
$=6*\sum_{i=0}^{n-1}{(n-i)*10^{i}}=6*n*\sum_{i=0}^{n-1}{10^{i}}-6*\sum_{i=1}^{n-1}{i*10^{i}}.$


$S_{n-1}(x)=\sum_{i=0}^{n-1}{x^{i}}=\frac{x^{n}-1}{x-1}.$


$S_{n-1}^{'}(x)=\sum_{i=0}^{n-1}{i*x^{i-1}}=\frac{(n-1)*x^{n}-n*x^{n-1}+1}{(x-1)^{2}}.$


$S_{0}=6*n*S_{n-1}(10)-60*S_{n-1}^{'}(10)=$
$=\frac{2*n}{3}(10^{n}-1)-\frac{2*[(n-1)*10^{n+1}-n*10^{n}+10]}{27}.$