Районная олимпиада школьников по математике 2008-2009 уч. г.

[voroninv]

Батороев писал(а):

$$6+66+666+\ldots+\underbrace{666 \ldots 6}_{n} = \dfrac {2}{3} (9+99+999+\ldots+\underbrace{999 \ldots 9}_{n}) $$

$$ = \dfrac {2}{3} (10+100+1000+\ldots+1\underbrace{000 \ldots {0}}_{n} - n) $$

$$ = \dfrac {2}{3} (\underbrace{11111 \ldots {1}}_{n}0 - n) $$

Это же можно ещё дальше преобразовать, хотя бы по формуле суммы геометрической прогрессии

$$=\frac{2}{27}(10^{n+1}-10-9n)$$

Ответ Imperator'а благополучно преобразуется к этому.

[Батороев]

Наверное, необходимо представить ответ к 5-й задаче в таком виде:
$ S_0 = \dfrac{2}{27}[10(10^n-1) - 9n] $

Добавлено спустя 1 минуту 16 секунд:

Вы, voroninv, случаем, не экстрасенс?!
А то пока печатал...

[voroninv]

Батороев писал(а):

Вы, voroninv, случаем, не экстрасенс?!

Да вроде нет, не практикую этого. Но дело-то прибыльное, надо задуматься...

[voroninv]

Кстати, а кто-нибудь решил шестую задачу? Опубликуйте, пожалуйста, решение, или хотя бы указание к решению

[Юстас]

От противного.
Пусть $n$ - максимальная из написанных степеней двойки. Тогда сумма всех написанных чисел как минимум $10\cdot 2^n$. А с другой стороны она не больше $5\cdot2^n+5\cdot 2^{n-1}+\ldots+ 2\cdot 5+5\cdot 1=10 \cdot2^n$. Однако, единиц не может быть нечетное число, поэтому получаем противоречие.

[voroninv]

Как просто

[Ars11]

попозже обещаю задания за 11 класс

[voroninv]

я тоже (может быть) в понедельник или во вторник за 11 класс достану

[вздымщик Цыпа]

Юстас в сообщении #167446 писал(а):

От противного.
Пусть $n$ - максимальная из написанных степеней двойки. Тогда сумма всех написанных чисел как минимум $10\cdot 2^n$. А с другой стороны она не больше $5\cdot2^n+5\cdot 2^{n-1}+\ldots+ 2\cdot 5+5\cdot 1=10 \cdot2^n$. Однако, единиц не может быть нечетное число, поэтому получаем противоречие.

Вообще-то $5\cdot2^n+5\cdot 2^{n-1}+\ldots+ 2\cdot 5+5\cdot 1=10 \cdot2^n = 10\cdot 2^n - 5$
Так что, нечетность количества единиц тут неважна. Важнее то, что нижняя оценка больше верхней.

[Профессор Снэйп]

Юстас писал(а):

От противного.
Пусть $n$ - максимальная из написанных степеней двойки. Тогда сумма всех написанных чисел как минимум $10\cdot 2^n$. А с другой стороны она не больше $5\cdot2^n+5\cdot 2^{n-1}+\ldots+ 2\cdot 5+5\cdot 1=10 \cdot2^n$. Однако, единиц не может быть нечетное число, поэтому получаем противоречие.

Про нечётное число единиц не понял.

Пусть $s$ --- сумма всех написанных чисел. Тогда, с одной стороны, $s \geqslant 10 \cdot 2^n$, а, с другой стороны, $s \leqslant 5 \cdot 2^n + \cdots + 5 \cdot 1 = 5(2^{n+1}-1) = 10 \cdot 2^n - 5$. Противоречие в том, что $5 \leqslant 0$, а не в чётности или нечётности какого-то там числа единиц.

[TOTAL]

Если двоичное представление суммы чисел на листе содержит $K$ единиц, то найдётся $K$ наборов по $6$ одинаковых чисел.

[voroninv]

Профессор Снэйп в сообщении #167665 писал(а):

Про нечётное число единиц не понял.

Ой, я просто посчитал (вслед за Юстасом), что $1+2+2^2+ \ldots +2^n=2^{n+1}$, а не $2^{n+1}-1$. Тогда (если так ошибиться) можно получить противоречие $1 \leqslant 0$, если заметить, что единиц не может быть нечётное число (иначе на каком-то листе будет чётная сумма, а на каком-то нет), тогда их максимум 4 и $s \leqslant 5 \cdot 2^n + \cdots + 5 \cdot 2^2+ 4 \cdot 1 = 5 \cdot 2^{n+1}-1 = 10 \cdot 2^n - 1$.

[Профессор Снэйп]

voroninv писал(а):

Тогда (если так ошибиться) можно получить противоречие $1 \leqslant 0$, если заметить, что единиц не может быть нечётное число (иначе на каком-то листе будет чётная сумма, а на каком-то нет)...

Вы же сами (если я не ошибаюсь) писали, что утверждение задачи справедливо не только для натуральных, но и для целых степеней двойки. То есть для случая, когда записанные числа имеют вид $2^z$, где $z \in \mathbb{Z}$.

Доказательство, связанное с оценкой суммы всех записанных чисел, остаётся в силе. В то же время все разговоры о чётности и нечётности при таком допущении становятся бессмысленными!

Более того, можно даже предполагать, что количество записанных чисел не обязательно конечно. Лишь бы суммы были корректно определены (для чего достаточно, чтобы суммы всех конечных подмножеств записанных чисел были ограничены сверху).

Кстати, останется ли отверждение задачи верным, если целые степени заменить на рациональные? То есть если считать, что записанные числа имеют вид $2^q$, где $q \in \mathbb{Q}$.

Добавлено спустя 8 минут 7 секунд:

TOTAL писал(а):

Если двоичное представление суммы чисел на листе содержит $K$ единиц, то найдётся $K$ наборов по $6$ одинаковых чисел.

Предположим, что на каждом листе записано число $1$. Тогда сумма всех записанных чисел равна $10$ или $1010_2$. И что? Два набора по 6 одинаковых чисел, безусловно, найдутся, но всего их будет не $2$, а $C^6_{10} = 210$. Или Вы имели в виду, что найдётся не ровно $K$, а как минимум $K$ одинаковых наборов?

[voroninv]

Профессор Снэйп в сообщении #167925 писал(а):

Доказательство, связанное с оценкой суммы всех записанных чисел, остаётся в силе. В то же время все разговоры о чётности и нечётности при таком допущении становятся бессмысленными!

Можно поделить все числа на наименьшую степень двойки среди них и задача для целых степеней сводится к задаче для натуральных степеней (ну и нулевых степеней, тут я считаю что ноль не натуральное число). Теперь на листах только натуральные числа и можно говорить о чётности-нечётности. После деления на листах может быть только чётное число единиц.
Вот для рациональных степеней не соображу что делать Надо подумать.

Добавлено спустя 5 минут 23 секунды:

TOTAL в сообщении #167818 писал(а):

Если двоичное представление суммы чисел на листе...

Профессор Снэйп в сообщении #167925 писал(а):

Предположим, что на каждом листе записано число 1. Тогда сумма всех записанных чисел...

Вы о разных задачах говорите

[RatChat]

Имеется 2 сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй - 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг. первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определить сколько кг. олова содержится в получившемся новом сплаве.

Как решить такую задачу?