Тангенсальное ускорение...

[Ont]

Вопрос насчет тангенсального ускорение

Тангенсальное ускорение это модуль изменения скорости, чтобы его найти нужно найти dV/dt
Вопрос: Как найти тангенсальное ускорение если дан вектор скорости и ускорение в виде двух точек в пространстве? т.е. V=X+Y+Z, W=X1+Y1+Z1 ?
И как найти радиус кривизны этой траектории

[Munin]

Во-первых, тангенциальное (от латинского tangenta - касательная). Во-вторых, это изменение модуля скорости, а не модуль изменения скорости. Модуль изменения скорости называется модулем полного ускорения, или просто ускорения.

Далее, вам даны не две точки, а два вектора. Вам нужно один вектор разложить на две части, перпендикулярную второму вектору, и коллинеарную второму вектору.

Дано: $\mathbf{a},\,\,\mathbf{b}$
Нужно получить: $\mathbf{a}=\mathbf{a}_\parallel+\mathbf{a}_\perp,\,\,\mathbf{a}_\parallel\parallel\mathbf{b},\,\,\mathbf{a}_\perp\perp\mathbf{b}$
Выражаем нужные свойства на языке векторных операций:
$\lvert\mathbf{a}_\parallel\cdot\mathbf{b}\rvert=a_\parallel b$
$\mathbf{a}_\perp\cdot\mathbf{b}=0$
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=(\mathbf{a}_\parallel+\mathbf{a}_\perp)\cdot\mathbf{b}=\pm a_\parallel b+0=\pm a_\parallel b$
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\pm a_\parallel b$ - значит, нам известен модуль вектора $\mathbf{a}_\parallel,$ а направление задаёт вектор $\mathbf{b},$ который нужно поделить на собственный модуль, чтобы он стал единичным:

$$a_\parallel=\left|\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{b}\right|$$

$$\mathbf{a}_\parallel=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{b}\frac{\mathbf{b}}{b}=\frac{(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}$$

Перпендикулярную часть можно получить из коллинеарной:

$$\mathbf{a}_\perp=\mathbf{a}-\mathbf{a}_\parallel=\mathbf{a}-\frac{(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}$$

С умножением векторов, заданных координатами, справитесь?

Радиус кривизны находится по формуле

$$a_\perp=\frac{v^2}{r}$$

[Ont]

Munin писал(а):

Во-первых, тангенциальное (от латинского tangenta - касательная). Во-вторых, это изменение модуля скорости, а не модуль изменения скорости. Модуль изменения скорости называется модулем полного ускорения, или просто ускорения.

Далее, вам даны не две точки, а два вектора. Вам нужно один вектор разложить на две части, перпендикулярную второму вектору, и коллинеарную второму вектору.

Дано: $\mathbf{a},\,\,\mathbf{b}$
Нужно получить: $\mathbf{a}=\mathbf{a}_\parallel+\mathbf{a}_\perp,\,\,\mathbf{a}_\parallel\parallel\mathbf{b},\,\,\mathbf{a}_\perp\perp\mathbf{b}$
Выражаем нужные свойства на языке векторных операций:
$\lvert\mathbf{a}_\parallel\cdot\mathbf{b}\rvert=a_\parallel b$
$\mathbf{a}_\perp\cdot\mathbf{b}=0$
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=(\mathbf{a}_\parallel+\mathbf{a}_\perp)\cdot\mathbf{b}=\pm a_\parallel b+0=\pm a_\parallel b$
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\pm a_\parallel b$ - значит, нам известен модуль вектора $\mathbf{a}_\parallel,$ а направление задаёт вектор $\mathbf{b},$ который нужно поделить на собственный модуль, чтобы он стал единичным:

$$a_\parallel=\left|\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{b}\right|$$

$$\mathbf{a}_\parallel=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{b}\frac{\mathbf{b}}{b}=\frac{(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}$$

Перпендикулярную часть можно получить из коллинеарной:

$$\mathbf{a}_\perp=\mathbf{a}-\mathbf{a}_\parallel=\mathbf{a}-\frac{(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}$$

С умножением векторов, заданных координатами, справитесь?

Радиус кривизны находится по формуле

$$a_\perp=\frac{v^2}{r}$$

Получилось % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaWGHb % Gaeyypa0JaamyyamaaBaaaleaacqGHLkIxaeqaaOGaey4kaSIaamyy % amaaBaaaleaacaGG8bGaaiiFaaqabaGccqGH9aqpcaWGHbGaeyOeI0 % IaamyyamaaBaaaleaacaGG8bGaaiiFaaqabaGccqGHRaWkcaWGHbWa % aSbaaSqaaiaacYhacaGG8baabeaakiabg2da9iaadggaaeaacaWGHb % Gaeyypa0Jaamyyaaaaaa!4D5C! \[ \begin{array}{l} a = a_ \bot + a_{||} = a - a_{||} + a_{||} = a \\ a = a \\ \end{array} \]

Я думаю вы согласитесь, что это бред...

[Парджеттер]

Ont писал(а):

Получилось

\[ \begin{array}{l} a = a_ \bot + a_{||} = a - a_{||} + a_{||} = a \\ a = a \\ \end{array} \]

Я думаю вы согласитесь, что это бред...

Во-первых, речь идет о векторной сумме, хотя тут не принципиально.
А во-вторых, Вы находится бредовыми вещи типа такого:
$10=8+2=10-2+2=10$?
Тогда у Вас какие-то проблемы.

[Ont]

Парджеттер писал(а):

Ont писал(а):

Получилось

\[ \begin{array}{l} a = a_ \bot + a_{||} = a - a_{||} + a_{||} = a \\ a = a \\ \end{array} \]

Я думаю вы согласитесь, что это бред...

Во-первых, речь идет о векторной сумме, хотя тут не принципиально.
А во-вторых, Вы находится бредовыми вещи типа такого:
$10=8+2=10-2+2=10$?
Тогда у Вас какие-то проблемы.

Наверное я чего-то не понимаю, мне нужно найти % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyaaaa!36D3! \[ a \] Но из приведеннойвыше формулы я лишь получаю % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyaiabg2 % da9iaadggaaaa!38BF! \[ a = a \]

[Jnrty]

Ont, Вы не находите, что запись формулы $a$ в виде

[math]% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyaaaa!36D3!
\[
a
\]
[/math]

вместо простого

$a$ или даже [math]\[a\][/math]

является некоторым излишеством? Почитайте темы "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [mаth]."

[Ont]

Jnrty писал(а):

Ont, Вы не находите, что запись формулы $a$ в виде

[math]% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyaaaa!36D3!
\[
a
\]
[/math]

вместо простого

$a$ или даже [math]\[a\][/math]

является некоторым излишеством? Почитайте темы "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [mаth]."

Так mathtype сам как то там переводит числа в код. Я же не сам это все писал...

[Munin]

Ont в сообщении #165692 писал(а):

Я думаю вы согласитесь, что это бред...

Нет, не соглашусь. Я не знаю, зачем вы подставляли одно равенство в другое, но в результате у вас получилось просто тривиальное равенство. Это не бред.

Полагаю, у вас нет навыка вывода искомой величины из соотношений. Он прививается на физике в средней школе, но не всегда успешно.

Попытайтесь представить такую ситуацию: у вас есть несколько величин, входящих в уравнения. Все они делятся на два типа: известные и неизвестные (есть ещё пара типов, константы и параметры, но не будем на них отвлекаться). Очень полезно бывает "размечать" для себя формулы, подчёркивая, скажем, известные величины двумя чёрточками, а неизвестные - одной чёрточкой (или как вам удобней):
$\underline{\underline{\mathbf{a}}}=\underline{\mathbf{a}_\parallel}+\underline{\mathbf{a}_\perp}.$
Это поможет не терять ориентацию: поскольку неизвестные величины вам нужны. вы должны их всё время сохранять в формулах, и если вы умудрились сделать так, что все неизвестные уходят, то вы зашли не туда :-) С другой стороны, конечная цель, когда вы нашли неизвестную величину, выглядит так: у вас осталась в формуле ровно одна неизвестная величина, а другие неизвестные (с другими названиями) ушли, и остались только известные. Поэтому нужно стараться убрать все неизвестные величины, кроме одной, к которой вы стремитесь.

Следующим шагом вы должны перестать путаться в формулах. Их тоже можно "раскрасить", даже двумя способами. Один способ - это свести все формулы в единую систему уравнений, и очертить её фигурной скобочкой {. И дальше, когда вы получаете новую формулу из уже имеющихся, вы не приписываете её снизу к этой системе, нет - вы вставляете её в систему взамен какой-то другой. Например, пусть у вас система

$$\left\{\begin{array}{l} \underline{b}=\underline{\underline{a}}+5 \\ \underline{c}=\underline{b}-7 \\ \underline{d}=\underline{c}+8 , \end{array}\right.$$

и вы выражаете $\underline{c}$ из второго уравнения через первое:
$\underline{c}=(\underline{\underline{a}}+5)-7.$
Тогда вам нужно подставить это новое уравнение на место второго (или первого), потому что оно получено из второго и первого:

$$\left\{\begin{array}{l} \underline{b}=\underline{\underline{a}}+5 \\ \underline{c}=(\underline{\underline{a}}+5)-7 \\ \underline{d}=\underline{c}+8 . \end{array}\right.$$

В этом случае у вас всегда новая система будет такой же, как самая первая, и в ней должно быть столько же уравнений, сколько и неизвестных. Второй способ по сути такой же, но позволяет уменьшить писанину, если формул много: это перенумеровать все ваши начальные формулы, и потом не добавлять новых номеров: следующие, выведенные формулы надо нумеровать (1'), (1''), (1''').

Применительно к вашей задаче: известными величинами надо считать заданные $\underline{\underline{\mathbf{a}}}$ и $\underline{\underline{\mathbf{b}}},$ а неизвестными - искомые $\underline{\mathbf{a}_\parallel}$ и $\underline{\mathbf{a}_\perp}.$ Я записал для них несколько разных уравнений. Среди них было
$\underline{\underline{\mathbf{a}}}=\underline{\mathbf{a}_\parallel}+\underline{\mathbf{a}_\perp}. \quad \quad \eqno (1)$
Потом я из этого уравнения выразил $\underline{\mathbf{a}_\perp}\colon$
$\underline{\mathbf{a}_\perp}=\underline{\underline{\mathbf{a}}}-\underline{\mathbf{a}_\parallel}. \quad \quad \eqno (1')$
Это значит, что я одно уравнение заменил в системе на другое, новое. Одновременно они в системе уравнений никогда не встречаются. Поэтому и подставлять одно в другое не нужно. Нужно вспомнить, что в системе есть другие уравнения, и подставлять их (к этому моменту в системе уже есть уравнение, выражающее $\underline{\mathbf{a}_\parallel}$ через известные величины, то есть $\underline{\mathbf{a}_\parallel}$ уже найдена - значит, её можно подставить).

[Jnrty]

Ont в сообщении #165882 писал(а):

Так mathtype сам как то там переводит числа в код. Я же не сам это все писал...

Во-первых, не было нужды цитировать всё моё сообщение. Во-вторых, можно было бы догадаться удалить лишнее (полезная часть заключена между скобками "\[" и "\]", включая сами эти скобки, которые можно заменить знаками доллара - одинарными или двойными). В-третьих, гораздо быстрее написать простую формулу самому, чем пользоваться для этого редакторами формул типа mathtype и копировать текст оттуда.

[photon]

Ont в сообщении #165882 писал(а):

Так mathtype сам как то там переводит числа в код. Я же не сам это все писал...

Вот здесь я писал как пользоваться MathType для $\TeX$ания. В частности, для того, чтобы убрать лишний хлам:

Цитата:

б) убрать галочку с "Include MathType data in translation"

[Ont]

Munin писал(а):

Ont в сообщении #165692 писал(а):

Я думаю вы согласитесь, что это бред...

Нет, не соглашусь. Я не знаю, зачем вы подставляли одно равенство в другое, но в результате у вас получилось просто тривиальное равенство. Это не бред.

\[ \begin{gathered} \left\{ {a = a_{||} + a_ \bot } \right. \hfill \\ \left\{ {a_ \bot = a - \frac{{(a\cdotb)b}} {{b\cdotb}}} \right. \hfill \\ \left\{ {a_{||} = \frac{{(a\cdotb)b}} {{b\cdotb}}} \right. \hfill \\ \left\{ {a = \frac{{(a\cdotb)b}} {{b\cdotb}} + a - \frac{{(a\cdotb)b}} {{b\cdotb}}} \right. \hfill \\ \left\{ {a = a} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Очень информативно, я и сам знаю что a = a.

Выявил, что

$$ |W_\tau | = |v| $$

Следовательно

$$ W_\tau = {{dv} \over {dt}} \cdot \tau $$

Но не поняно, что с этим делать, т.к. даны только 2 вектора...[/math]

[Munin]

Ont в сообщении #165995 писал(а):

\[ \begin{gathered} \left\{ {a = a_{||} + a_ \bot } \right. \hfill \\ \left\{ {a_ \bot = a - \frac{{(a\cdotb)b}} {{b\cdotb}}} \right. \hfill \\ \left\{ {a_{||} = \frac{{(a\cdotb)b}} {{b\cdotb}}} \right. \hfill \\ \left\{ {a = \frac{{(a\cdotb)b}} {{b\cdotb}} + a - \frac{{(a\cdotb)b}} {{b\cdotb}}} \right. \hfill \\ \left\{ {a = a} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Вы неправильно пишете системы. В первую систему нужно собрать все известные исходные уравнения и соотношения. Во второй и следующих надо их переписывать, заменяя по одному на новые, полученные из имеющихся. Например, достаточной системой для определения компонент вектора a по направлению b будет

$$\left\{\begin{array}{l} \mathbf{a}=\mathbf{a}_\parallel+\mathbf{a}_\perp \\ \mathbf{a}_\perp\cdot\mathbf{b}=0 \\ \mathbf{a}_\parallel=k\mathbf{b} . \end{array}\right.$$

Когда вы будете преобразовывать эту систему, в конце концов вы придёте к системе

$$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \mathbf{a}_\parallel=\frac{(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}} \\ \displaystyle \mathbf{a}_\perp=\mathbf{a}-\frac{(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}} . \end{array}\right.$$

И всё, в этой системе уже не будет уравнения $\mathbf{a}=\mathbf{a}_\parallel+\mathbf{a}_\perp,$ так что в него не надо будет ничего подставлять.

Да и вообще, зачем подставлять неизвестные в формулу, выражающую известную величину? Цель как раз обратная: выразить неизвестные через известные. А она была уже достигнута на один шаг раньше. Надо остановиться, и переписать то, что получилось, в ответ.

Ont в сообщении #165995 писал(а):

Очень информативно, я и сам знаю что a = a.

Никто не говорит, что это информативно. Но это не бред. Например, таким способом (в более сложных случаях) можно проверять окончательный ответ на предмет, не сделано ли по пути ошибок.

Ont в сообщении #165995 писал(а):

Выявил, что

$$ |W_\tau | = |v| $$

Простите, это неверно. Вы должны ускорение $\mathbf{w}$ разложить на две части, коллинеарную и нормальную к вектору скорости $\mathbf{v}.$ При тех данных, что вы привели в начале ветки, такого соотношения, как вы говорите, нет.

[Ont]

Цитата:

Простите, это неверно. Вы должны ускорение $\mathbf{w}$ разложить на две части, коллинеарную и нормальную к вектору скорости $\mathbf{v}.$ При тех данных, что вы привели в начале ветки, такого соотношения, как вы говорите, нет.

Это конечно здорво, но мне нужно ответ одним числом. Если использвать вашу замечательную систему урвнений то получится неверный ответ.

[Парджеттер]

Ont в сообщении #166095 писал(а):

Это конечно здорво, но мне нужно ответ одним числом. Если использвать вашу замечательную систему урвнений то получится неверный ответ.

Предлагаю вам для начала разобраться в основах элементарной математики. Если подставлять равенство само в себя, а вы именно этим и занимаетесь, то получится тождество типа 0=0. Это азы.

[Munin]

Ont в сообщении #166095 писал(а):

Если использвать вашу замечательную систему урвнений то получится неверный ответ.

Каким образом вы это определяете? Если у вас есть верный ответ, приведите. Надеюсь, вы не пришли сюда экзаменовать участников форума?