Помогите, пожалуйста, решить примеры

[Pure_Evil]

Всю голову сломала...

[antbez]

Ну, в первом замените синусы и косинусы эквивалентными бесконечно малыми (в 0).

[Pure_Evil]

первый пример я пробовала решить и через эквиваленты, и через замену косинуса двойного угла..
ответы получились разными

[antbez]

Может быть, приведёте решение? А мы подправим, если что...

[Pure_Evil]

но эквивалентность тут применять нельзя, если мне память не изменяет.. с остальными примерами вообще не знаю, как разделаться. Надеюсь, подкинете идею. Заранее пасибо.

[Someone]

antbez в сообщении #163379 писал(а):

Ну, в первом замените синусы и косинусы эквивалентными бесконечно малыми (в 0).

Дык, нельзя.

Pure_Evil, а на какую тему задачи? Часом, не правило Лопиталя?

Или, может быть, "первый замечательный предел" и "второй замечательный предел"? Если бы Вы первый замечательный предел знали, то первое Ваше решение первой задачи довели бы до правильного результата.

P.S. Щас как модератор появится, получите втык за то, что заменяете формулы картинками. Ещё и тему в "Карантин" упекут до исправления. Советую почитать http://dxdy.ru/topic8355.html (краткое введение) и http://dxdy.ru/topic183.html (подробное описание) и исправить, от греха подальше.

[Pure_Evil]

Насколько я поняла, то можно и его использовать. Но у меня бредятина какая-то получается... сижу сейчас, разгребаю.

[ewert]

Someone в сообщении #163396 писал(а):

Дык, нельзя.

дык. Можна!

Someone в сообщении #163396 писал(а):

Pure_Evil, а на какую тему задачи? Часом, не правило Лопиталя?

Безусловно, все примеры -- на правило Лопиталя (в некоторых случаях со стандартными предварительными преобразованиями).

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

Pure_Evil в сообщении #163398 писал(а):

Но у меня бредятина какая-то получается...

потерян квадрат в формуле двойного угла

[Pure_Evil]

блин... тогда там 0 получается...

Добавлено спустя 1 минуту 11 секунд:

а нет, правильно
я ведь синус в квадрате вынесла

[Someone]

ewert в сообщении #163402 писал(а):

дык. Можна!

Ну да! $\sin x\sim x$, $\cos x\sim 1$ при $x\to 0$. Заменяем:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1+x\sin x-\cos 2x}{\sin^2x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1+x^2-1}{x^2}=1\text{.}$$

Результат неправильный.
Возможно, Вы имели в виду использование формулы Тейлора с остаточным членом в локальной форме?

Добавлено спустя 3 минуты 23 секунды:

Pure_Evil, Ваше первое решение почти правильное. Нужно только правильно $\lim\limits_{x\to 0}\frac x{\sin x}$ вычислить. А это первый замечательный предел.

P.S. О правильной записи формул подсуетитесь. А то ведь насчёт модератора я не шучу.

[ewert]

Pure_Evil в сообщении #163404 писал(а):

а нет, правильно

я ведь синус в квадрате вынесла

Т.е. Вы сделали чётное к-во ошибок, и это не может не радовать. Однако: почему в предпоследней строчке Вы рештли, что 1+2=2?...

Someone в сообщении #163406 писал(а):

Возможно, Вы имели в виду использование формулы Тейлора с остаточным членом в локальной форме?

Вообще-то я имел в виду, что для косинусов более стандартной эквивалентностью является $\cos t\sim1-{t^2\over2}$.

[Someone]

Вообще-то, "$\alpha(x)\sim\beta(x)$ при $x\to a$" означает, что $\lim\limits_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$, поэтому после $1$ там может стоять что угодно, стремящееся к $0$. Эту эквивалентность правильно записывать в виде $1-\cos t\sim\frac{t^2}2$ при $t\to 0$. Но при желании нетрудно найти пример, где и это приведёт к ошибочному результату.

[ewert]

Но не в этом же случае. Когда знаменатель очевидно квадратичен, а числитель -- заведомо не менее чем квадратичен. Даже если бы вверху главные члены сократились -- и то не страшно.

[Someone]

ewert в сообщении #163411 писал(а):

Но не в этом же случае.

Попробуйте объяснить Pure_Evil, когда можно, а когда нельзя, да так, чтобы она всё поняла и не путалась.