Сложная система уравнений

[LaraKroft]

Как правильно оформить решение системы уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}y(x + y)^2 = 9,\\ y(x^3 - y^3) = 7.\end{array}\right.$

Подбором получается одна пара действительных корней $x = 2, y = 1$.
Я так понимаю подбором и решается, но как бы это правильно обосновать?

[Alexey1]

Не знаю насколько будет обоснованным данное решение, но ответ такой же.
Поделим второе уравнение на первое. Затем, используем формулу разности кубов. Там где не полный квадрат добавим с отнимем $xy$. Затем получим выражение
$(x-y)(1-xy^2/(x+y)^2)=7/9$
Пусть $(x-y)=1$ и $xy^2/(x+y)^2=2/9$. Выражая в первом уравнении $x$ через $y$ и подставляя во второе получаем $y^3+y^2=2$ и $(2y+1)^2=9$. Отсюда получаем, что $y=1$, $x=2$.

[ewert]

Я бы сказал так. Левые части похожи на однородные, поэтому имеет смысл сделать замену $x=t\cdot y$. Тогда $t+1=\alpha(t^3-1)^{3/8$, где $\alpha$ -- соотв. комбинация семёрки и девятки. Далее двукратным дифференцированием проверяем, что правая часть последнего равенства выпукла при $t\geqslant1$, поэтому корень может быть только один. Ну а сам корень -- да, наверное, просто угадываем.

Какое-то тупое решение; вероятно, составитель задачи имел в виду что-нибудь более изысканное.

[V.V.]

Умножим первое уравнение на 7, второе - на 9. Вычтем. Теперь поделим на $y^3$ и получим кубическое уравнение относительно $\frac{x}{y}$. Один корень знаем...

[ewert]

не прокатит, размерности не сходятся (одна квадратичная, другая кубическая). Это уж не говоря об общем игреке.

[LaraKroft]

Извините, не поняла: каким образом получится кубическое уравнение относительно $x/y$?
Умножила первое на 7, второе - на 9; вычла из первого второе, получила:
$7\frac{x^2}{y^2}+14\frac{x}{y}+7-9\frac{x^3}{y^2}+9y=0.$

[ewert]

кубическое не получится, а просто уравнение -- если вынести игреки за скобки, возвести в соотв. степень, умножить на соотв. константы и затем вычесть

[arqady]

LaraKroft писал(а):

Как правильно оформить решение системы уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}y(x + y)^2 = 9,\\ y(x^3 - y^3) = 7.\end{array}\right.$

Подбором получается одна пара действительных корней $x = 2, y = 1$.
Я так понимаю подбором и решается, но как бы это правильно обосновать?

Эта задача была на устном мех-мате МГУ в 1981 году.
С ней связана забавная история. Когда абитуриент ( ныне профессор математики одного из израильских университетов ) на апелляции попросил рассказать, как решается эта задача, то ему не ответили. Обычно рассказывали, и при этом обставляли всё так, что мол " как Вы не смогли решить такую лёгкую задачу?" Но тут тянули не один драгоценный день ( и экзаменующий , тот, который эту задачу давал, куда-то пропал ... ) и в итоге, вместо двойки поставили четвёрку и человек в конце концов поступил.
Задача не трудная, но что-то у них там в приёмной комиссии сбой произошёл.
Мне тогда удалось найти следующее:
Легко видеть, что

$$x$$

и

$$y$$

положительны.
Тогда из первого уравнения получаем

$$x=\frac{3}{\sqrt y}-y,$$

а из второго

$$x=\sqrt[3]{\frac{7}{y}+y^3},$$

что даёт

$$y\sqrt y+\sqrt[3]{7\sqrt y+y^4\sqrt y}=3$$

и поэтому

$$y=1.$$

[вздымщик Цыпа]

arqady в сообщении #151781 писал(а):

что даёт

$$y\sqrt y+\sqrt[3]{7\sqrt y+y^4\sqrt y}=3$$

и поэтому

$$y=1.$$

Ага, а других решений нет потому, что функция монотонна... Ну, абитуриент вполне мог это осилить. Так что, с четверкой ему сильно повезло

[arqady]

Вот-Вот! Конечно это лёгкая задача, требующая как обычно хорошего владения школьной программой. За 20 минут как не решить? При этом, представьте себе, каждую минуту к Вам подходят и интересуются: " Кааак?? Вы ещё не решили такую лёгкую задачу???"

вздымщик Цыпа, вам лично задача с устного экзамена того года. То же лёгкая.

Сколько существует пар натуральных чисел

$$A$$

и

$$B,$$

имеющих одинаковый состав простых делителей таких, что

$$A+1$$

и

$$B+1$$

обладают тем же свойством.

Попробуйте за 20 минут или вообще...

[4arodej]

arqady писал(а):

Вот-Вот! Конечно это лёгкая задача, требующая как обычно хорошего владения школьной программой. За 20 минут как не решить? При этом, представьте себе, каждую минуту к Вам подходят и интересуются: " Кааак?? Вы ещё не решили такую лёгкую задачу???"

вздымщик Цыпа, вам лично задача с устного экзамена того года. То же лёгкая.

Сколько существует пар натуральных чисел

$$A$$

и

$$B,$$

имеющих одинаковый состав простых делителей таких, что

$$A+1$$

и

$$B+1$$

обладают тем же свойством.

Попробуйте за 20 минут или вообще...

Я так понимаю A=2, B=8 - единственное

Добавлено спустя 30 минут 12 секунд:

4arodej писал(а):

arqady писал(а):

Вот-Вот! Конечно это лёгкая задача, требующая как обычно хорошего владения школьной программой. За 20 минут как не решить? При этом, представьте себе, каждую минуту к Вам подходят и интересуются: " Кааак?? Вы ещё не решили такую лёгкую задачу???"

вздымщик Цыпа, вам лично задача с устного экзамена того года. То же лёгкая.

Сколько существует пар натуральных чисел

$$A$$

и

$$B,$$

имеющих одинаковый состав простых делителей таких, что

$$A+1$$

и

$$B+1$$

обладают тем же свойством.

Попробуйте за 20 минут или вообще...

Я так понимаю A=2, B=8 - единственное

Хотя за 15 мин я тока частный случай $A=p_1^{n_1}, B=q_1^{m_1}$ осилил... На знаменитое уравнение Каталана выходим. Подумаю над общей

[вздымщик Цыпа]

arqady в сообщении #151810 писал(а):

вздымщик Цыпа, вам лично задача с устного экзамена того года. То же лёгкая.

Не, за 20 мин не осилил, а за час устал. К тому же полез сразу в доказательство несуществования таких пар и все пытался обыграть равенство разностей: $(B+1)-(A +1) = B-A$, а тут глядь и решение оказывается есть. Трудная задачка, не спорю, но и я никогда не ходил на экзамен, зарядившись двумя литрами пива

<offtop>
А что по пятому пункту в начале 80х абитуриентов валили жестоко, так это факт. Если мне не изменяет склероз, когда-то тогда у Алексея Ивановича Кострикина два аспиранта в Израиль уехали, за что его собсно с поста декана сместили. Вот эта задачка тоже с устного вступительного за 83 год в схожих обстоятельствах, только МФТИ.
</offtop>

[arqady]

4arodej писал(а):

Я так понимаю A=2, B=8 - единственное

А ещё, например,

$$A=6$$

и

$$B=48.$$

У задачи про

$$A$$

и

$$B,$$

как и полагается в таких случаях, есть решение в пол-строчки. Ну и ответ: бесконечно много.

Ваша же геометрическая - красивая, но, простите, довольно стандартная.
Вот задача, которая была у того же профессора на том же экзамене. Он её, кстати, тоже не решил.

В тетраэдре

$$ABCD$$

дано:

$$AB=AC=BC$$

и

$$\measuredangle DAB=\measuredangle DBC=\measuredangle DCA.$$

Вопрос был своеобразным: " Что вы можете сказать про этот тэтраэдр?"
Я облегчу задачу. Докажите, что этот тэтраэдр является правильной пирамидой.

[Taras]

Задача про числа: на кружку ее решал, потом встретил в какой-то книге по теории чисел. Известная вещь:
$m=2^l-2, n=m \cdot (m+2), l>1 $ А от я не знаю существуют ли еще такие наборы.

[вздымщик Цыпа]

arqady в сообщении #151869 писал(а):

У задачи про

$$A$$

и

$$B,$$

как и полагается в таких случаях, есть решение в пол-строчки. Ну и ответ: бесконечно много.

А, точно. Если $A=N-1$, $B=N^2-1$, то для $A+1$ и $B+1$ условие выполняется, а чтобы оно выполнялось для $A$ и $B$ надо, чтоб $N+1$ содержал не больше простых делителей, чем $N-1$, что легко достигается, если $N+1=2^n$, для любого $n$. Здорово.

Добавлено спустя 10 минут 18 секунд:

Taras, пардон, я Ваше сообщение не заметил.