Сложная система уравнений

[вздымщик Цыпа]

arqady в сообщении #151869 писал(а):

В тетраэдре

$$ABCD$$

дано:

$$AB=AC=BC$$

и

$$\measuredangle DAB=\measuredangle DBC=\measuredangle DCA.$$

Вопрос был своеобразным: " Что вы можете сказать про этот тэтраэдр?"
Я облегчу задачу. Докажите, что этот тэтраэдр является правильной пирамидой.

Не пара сторочек, но вроде решение.

Рассмотрим конус, образованый лучами, выходящими из вершины $A$ и составляющими условный угол (

$$\measuredangle DAB$$

) с лучем $[AB)$. Также рассмотрим аналогичные конусы с вершинами в точках $B$ и $C$. Очевидно, точку $D$ можно расположить только на всех трех конусах одновременно. Предположим, есть точка пересечения конусов, лежащая вне прямой, проходящей через центр основания и ортогональной его плоскости (оси). Тогда ввиду инвариантности всей конструкции относительно поворота на $2\pi/3$ вокруг этой оси, есть еще две точки — образы при поворотах. Проведем через эти три точки плоскость и посмотрим, что она отсекает на конусах. А отсекает она три гиперболы, вершины которых лежат на лучах $[A'B')$, $[B'C')$ и $[C'A')$ ($\triangle A'B'C' \equiv \triangle ABC$) и «рогами» симметрично этим лучам. При таком раскладе каждая пара гипербол не может иметь больше 2 точек пересечения. А уж все три гиперболы три точки пересечения и подавно иметь не могут. Значит, все точки пересечения всех трех конусов лежат на оси. Правильность пирамиды доказана.