найти множество и функцию

[ShMaxG]

Помогите указанием направления, в котором надо думать:

Указать измеримое по Жордану множество

\[ X \]

и непрерывную на нем функцию

\[ f \]

такие, что множество

\[ X_ + = \left\{ {x \in X:f\left( x \right) > 0} \right\} \]

неизмеримо по Жордану.

[AD]

Берем канторово множество положительной меры на отрезке $X=[0,1]$, на смежных интервалах рисуем график функции в виде непрерывных (при желании бесконечно дифференцируемых) столбиков с высотой, стремящейся к нулю.

(причина первого редактирования: добавил, что такое X; причина второго редактирования: добавил причины редактирования)

[gris]

X=(0;2)
F=sin(1/x) на (0;1]
F=sin(1/(2-x)) на (1;2)

[AD]

gris, и что же в вашем множестве такого неизмеримого?

[ShMaxG]

Не пишите сразу решение и ответ. Хочется чтобы было ощущение, что до чего-то сам додумался.

AD

Знать бы еще, почему мера канторова множества положительна...

[gris]

И правда.
Просто у меня в голове застряла предыдущая задача ShMaxG про множество меры 0. Попробую выкрутиться. Моя функция замечательна тем, что множество x:f(x)=1 имеет меру 0 по Лебегу, но не по Жордану. На экзамене прокатило бы наверное:)
Не выкрутился. двух предельных точек маловато будет:(

[AD]

ShMaxG в сообщении #151344 писал(а):

Знать бы еще, почему мера канторова множества положительна...

Надо брать не обычное канторово множество, а другое, с похожими свойствами, но с положительной мерой Лебега. Для этого надо просто выкидывать отрезки так, чтобы суммарная длина стремилась к чему-то меньшему, чем 1.

Добавлено спустя 1 минуту 39 секунд:

gris в сообщении #151345 писал(а):

Моя функция замечательна тем, что множество x:f(x)=1 имеет меру 0 по Лебегу, но не по Жордану.

Тоже не правда. Собственно, вот тут и разобрали, почему

[ShMaxG]

Мы не проходили меру Лебега, только меру Жордана, так что как-нибудь без Лебега...

[AD]

А никакого Лебега. Просто выкидываете отрезочки так, чтобы сумма их длин всё время была меньше $1-\varepsilon$ (но стремилась к этой величине). Оставшееся множество назовем "канторовым множеством меры $\varepsilon$". Потом на выкинутых отрезках рисуем столбики, и т. д. Ну и в конце доказываем, что внешняя мера этого множества никак не меньше $\varepsilon$, а внутренняя равна нулю.

Добавлено спустя 1 минуту 3 секунды:

(обращаясь к невидимому собеседнику)
Хотя, конечно, не понимаю, кому нужна мера Жордана, когда есть мера Лебега?

[Cave]

AD
Мера Жордана нужна, чтобы ввести классический интеграл Римана в $\mathbb{R}^n$.

[ShMaxG]

AD
Что-то не то, на этих выкинутых отрезках функция должна быть >0 и непрерывна.

Т.е. вообще как я понял наше множество

\[ X_ + = \left[ {0;1} \right]\backslash A \]

, где А - канторово множество положительной меры.

Внутренняя мера нулю не равна. Она равна внешней.

[ewert]

Cave писал(а):

AD
Мера Жордана нужна, чтобы ввести классический интеграл Римана в $\mathbb{R}^n$.

да, кстати, а как в классических книжках определяется многомерный интеграл Римана? (я давно уж в эти места не заглядывал).

Мне чего-то кажется, что мера Жордана там совсем бесполезна. Если разбивать на прямоугольники, то она не нужна, а если на произвольные участки -- то поди ещё определи, какие из них измеримы. И конечный-то итог никак не изменится от такого как бы обобщения.

[AD]

ShMaxG в сообщении #151380 писал(а):

Что-то не то, на этих выкинутых отрезках функция должна быть >0 и непрерывна.

Ну да, так и есть. Что вас смущает? upd: А, кажется, понял. Функция будет >0 не на отрезках, а на интервалах. А к концам загибается в ноль. И выкидываем мы не отрезки, а интервалы.

ShMaxG в сообщении #151380 писал(а):

Внутренняя мера нулю не равна. Она равна внешней.

Внутренняя мера Жордана множества $A$ равна нулю. Чтобы это понять, попробуйте вставить внутрь канторова множества хотя бы один отрезок. По этой же причине любое нигде не плотное множество имеет нулевую внутреннюю меру Жордана.

[ShMaxG]

Так у нас

\[ X_+ = A \]

или

\[ X_+ = \left[ {0;1} \right]\backslash A \]

?

[AD]

$X_+=[0,1]\setminus A$.