найти множество и функцию

[ShMaxG]

исправил

[AD]

ShMaxG в сообщении #151430 писал(а):

исправил

Тоже.

[ShMaxG]

Так это множество и состоит из тех отрезков, которых мы удаляли и на которых строили столбики. Так ведь у столбиков есть толщина. Или мы совсем о разных вещах говорим?

[AD]

Толщина основания столбика - это ширина выкинутого интервала. Столбик сужается кверху, дабы обеспечить непрерывность отдельновзятого столбика.

Что, впрочем, не гарантирует непрерывность окончательной функции - для этого необходим еще один танец с бубном, о котором я писал в самом первом сообщении.

[ShMaxG]

AD писал(а):

Потом на выкинутых отрезках рисуем столбики, и т. д. Ну и в конце доказываем, что внешняя мера этого множества никак не меньше $1-\varepsilon$, а внутренняя равна нулю.

Тут вы говорите, что внутренняя мера множества выкинутых отрезков равна нулю. Так или нет?

[AD]

Так, я чего-то напутал там, да, и вас запутал ? Бррр. Так бы сразу и сказали Щас поправлю.

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

Так лучше?

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

То есть в приведенной выше цитате речь идет о самом канторовом множестве - равна нулю именно его внутренняя мера. У объединения выкинутых интервалов как раз с внутренней мерой всё в порядке. (но не в порядке с внешней)

[ShMaxG]

Цитата:

чтобы сумма их длин всё время была меньше $1-\varepsilon$ (но стремилась к этой величине)

Т.е. когда мы множество построим, то длина всех выкинутых отрезков будет в точности

\[ 1 - \varepsilon \]

?

Добавлено спустя 3 минуты 26 секунд:

Да, и кстати, а чем длина тогда будет отличаться от Жордановой меры?

[AD]

ShMaxG в сообщении #151442 писал(а):

Т.е. когда мы множество построим, то длина всех выкинутых отрезков будет в точности $1-\varepsilon$?

Ну да, типа того.

ShMaxG в сообщении #151442 писал(а):

Да, и кстати, а чем длина тогда будет отличаться от Жордановой меры?

Вот в том-то и дело, что Жорданова мера настолько несовершенна. Полученное объединение интервалов будет всюду плотным, и, следовательно, его внешняя мера Жордана будет равна единице. А внутренняя - тем не менее, сумме длин, то есть $1-\varepsilon$.

[ShMaxG]

Спасибо большое!

[Cave]

ewert,
честно говоря, немного не понимаю, почему мера Жордана бесполезна.
Этапы введения примерно следующие: брусы и их разбиения, свойства объёма -> мера Жордана -> интеграл Римана как предел интегральных сумм по разбиениям на измеримые множества и его свойства -> критерий интегрируемости Дарбу; критерий интегрируемости Лебега (здесь, соответственна, нужна мера Лебега, и она по существу) -> связь интеграла с "площадью под графиком" (то есть мерой соответствующего множества из $\mathbb{R}^{n+1}$), а затем сведение к повторным.
Полученный объект, как Вы сами понимаете, не лучше и не хуже интеграла Лебега, он просто другой. Верно, что область его определения уже, но зато работа ведётся с функциями, а не их классам эквивалентности по равенству на множестве меры нуль.

[ewert]

Cave писал(а):

, но зато работа ведётся с функциями, а не их классам эквивалентности

Ну, это не так. Оба интеграла могут применяться как к классическим функциям, так и к классам эквивалентности. Последнее фактически означает, что мы в функциональном пространстве переходим от интегральной полунормы к норме с помощью факторизации. Шаг неприятный, но вынужденный, а для интегралов Римана его не делают просто за бесполезностью -- пространство окажется неполным.

[AD]

Cave в сообщении #151455 писал(а):

не лучше и не хуже интеграла Лебега, он просто другой

Не понимаю. Чем лучше?

[ewert]

"Физически" естественнее. Поскольку конструкция намного проще.

[ShMaxG]

Кстати, что-то я не понял насчет непрерывности функции, почему она будет непрерывной? Она состоит из констант и линейных функций. Но если взять произвольную точку по х, то может оказаться так, что в любой ее окрестности будет бесконечное число подъемов и спусков, т.е. не будет там непрерывной... Или я не правильно думаю?

[ewert]

ShMaxG писал(а):

Кстати, что-то я не понял насчет непрерывности функции, почему она будет непрерывной?

Было указано, что горбики стремятся к нулю. Причём на непересекающихся отрезках. Следовательно, ряд из этих горбиков будет сходиться равномерно. И, как следствие -- сумма ряда выйдет непрерывной.