2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 найти множество и функцию
Сообщение17.10.2008, 13:30 
Аватара пользователя
Помогите указанием направления, в котором надо думать:

Указать измеримое по Жордану множество \[
X
\] и непрерывную на нем функцию \[
f
\] такие, что множество
\[
X_ +   = \left\{ {x \in X:f\left( x \right) > 0} \right\}
\]

неизмеримо по Жордану.

 
 
 
 ну как всегда ...
Сообщение17.10.2008, 14:12 
Берем канторово множество положительной меры на отрезке $X=[0,1]$, на смежных интервалах рисуем график функции в виде непрерывных (при желании бесконечно дифференцируемых) столбиков с высотой, стремящейся к нулю.

(причина первого редактирования: добавил, что такое X; причина второго редактирования: добавил причины редактирования)

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 14:14 
Аватара пользователя
X=(0;2)
F=sin(1/x) на (0;1]
F=sin(1/(2-x)) на (1;2)

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 14:16 
gris, и что же в вашем множестве такого неизмеримого?

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 14:20 
Аватара пользователя
Не пишите сразу решение и ответ. Хочется чтобы было ощущение, что до чего-то сам додумался.

AD

Знать бы еще, почему мера канторова множества положительна...

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 14:22 
Аватара пользователя
И правда.
Просто у меня в голове застряла предыдущая задача ShMaxG про множество меры 0. Попробую выкрутиться. Моя функция замечательна тем, что множество x:f(x)=1 имеет меру 0 по Лебегу, но не по Жордану. На экзамене прокатило бы наверное:)
Не выкрутился. двух предельных точек маловато будет:(

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 14:25 
ShMaxG в сообщении #151344 писал(а):
Знать бы еще, почему мера канторова множества положительна...
Надо брать не обычное канторово множество, а другое, с похожими свойствами, но с положительной мерой Лебега. Для этого надо просто выкидывать отрезки так, чтобы суммарная длина стремилась к чему-то меньшему, чем 1.

Добавлено спустя 1 минуту 39 секунд:

gris в сообщении #151345 писал(а):
Моя функция замечательна тем, что множество x:f(x)=1 имеет меру 0 по Лебегу, но не по Жордану.
Тоже не правда. Собственно, вот тут и разобрали, почему

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 14:31 
Аватара пользователя
Мы не проходили меру Лебега, только меру Жордана, так что как-нибудь без Лебега...

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 14:37 
А никакого Лебега. Просто выкидываете отрезочки так, чтобы сумма их длин всё время была меньше $1-\varepsilon$ (но стремилась к этой величине). Оставшееся множество назовем "канторовым множеством меры $\varepsilon$". Потом на выкинутых отрезках рисуем столбики, и т. д. Ну и в конце доказываем, что внешняя мера этого множества никак не меньше $\varepsilon$, а внутренняя равна нулю.

Добавлено спустя 1 минуту 3 секунды:

(обращаясь к невидимому собеседнику)
Хотя, конечно, не понимаю, кому нужна мера Жордана, когда есть мера Лебега?

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 16:27 
AD
Мера Жордана нужна, чтобы ввести классический интеграл Римана в $\mathbb{R}^n$.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 18:10 
Аватара пользователя
AD
Что-то не то, на этих выкинутых отрезках функция должна быть >0 и непрерывна.

Т.е. вообще как я понял наше множество \[
X_ +   = \left[ {0;1} \right]\backslash A
\], где А - канторово множество положительной меры.

Внутренняя мера нулю не равна. Она равна внешней.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 18:33 
Cave писал(а):
AD
Мера Жордана нужна, чтобы ввести классический интеграл Римана в $\mathbb{R}^n$.

да, кстати, а как в классических книжках определяется многомерный интеграл Римана? (я давно уж в эти места не заглядывал).

Мне чего-то кажется, что мера Жордана там совсем бесполезна. Если разбивать на прямоугольники, то она не нужна, а если на произвольные участки -- то поди ещё определи, какие из них измеримы. И конечный-то итог никак не изменится от такого как бы обобщения.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:48 
ShMaxG в сообщении #151380 писал(а):
Что-то не то, на этих выкинутых отрезках функция должна быть >0 и непрерывна.
Ну да, так и есть. Что вас смущает? upd: А, кажется, понял. Функция будет >0 не на отрезках, а на интервалах. А к концам загибается в ноль. И выкидываем мы не отрезки, а интервалы.
ShMaxG в сообщении #151380 писал(а):
Внутренняя мера нулю не равна. Она равна внешней.
Внутренняя мера Жордана множества $A$ равна нулю. Чтобы это понять, попробуйте вставить внутрь канторова множества хотя бы один отрезок. По этой же причине любое нигде не плотное множество имеет нулевую внутреннюю меру Жордана.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:51 
Аватара пользователя
Так у нас \[
X_+  = A
\] или \[
X_+  = \left[ {0;1} \right]\backslash A
\] ?

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:52 
$X_+=[0,1]\setminus A$.

 
 
 [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group