Задача по электростатике(как интегрировать) ?

[t3rmin41]

Есть две задачи, с где дана линейная плотность заряда. Мы их решали на семинарах, но я не могу уловить суть, как надо интегрировать... :[

Вот они:

Задача 1.

Есть заряженный стержень длинной l=0.2 m c линейной плотностью заряда t=2x10e+6 Кл/м. Каково напряжение электрического поля Е в конце проводника, находящегося на расстоянии d=0,1 m?

    y
  _|
d  |
  _|______ ________ x
         l
    

Задача 2

Стержень длиной 3 м имеет заряд 3 микроКулона. Он согнут на 3 части под прямыми углами с отношением сторон 1:2:4. Какое напряжение электрического поля в середине прямой, соединяющей концы стержня?

    
            |
            |   4
            |
   1  |_ _| 
         2

Сорри за некрасивый рисунок, но идея я думаю понятна.

к Задаче 1:

мы записали такое соотношение dq=tdx, dE=tdx/4*pi*e0*d(l^2-x^2);

я честно говоря, не очень понимаю октуда взялось последнее dE?
Если E=kq/r^2, то dE должно быть dE=ktdx/(d^2+l^2) по теореме Пифагора?

В Задаче 2 я так понимаю нужно ввести координатные оси x0y и так же записать для каждого отрезка E1, E2, E4 проинтегрировать каждую часть и потом их сложить E=E1+E2+E4.


Если не затруднит, напишите пожалуйста подробное решение и как вообще поступать в таких случаях. Можно и ссылку, как решать такие задачи, где нужно выделить элемент dy, а потом интегрировать.
Буду благодарен любой помощи.

[Munin]

По вашим рисункам и текстам задач ничего нельзя разобрать, увы. Попробуйте нарисовать рисунки хотя бы в Paint, сохранить в gif и выложить на **invalid link**.

По вашему первому рисунку - действительно, $dE$ должно иметь вид примерно

$$dE=\frac{kt\,dx}{d^2+x^2},$$

а точнее, с учётом того, что $\mathbf{E}$ - величина векторная, и складывается векторно (в том числе и в виде интеграла), то

$$d\mathbf{E}=\frac{kt\,dx}{(d^2+x^2)^{3/2}}(-x\mathbf{i}+d\mathbf{j}).$$

Видимо, из последней формы, отбрасыванием лишних сокращающихся проекций, и получают то, что надо, хотя как это делается в вашем случае, я не понял.

[t3rmin41]

Добавляю:





Кстати, откуда в

$$d\mathbf{E}=\frac{kt\,dx}{(d^2+x^2)^{3/2}}(-x\mathbf{i}+d\mathbf{j}).$$

появилась 3/2 степень в знаменателе с (d^2+x^2) ?

[Munin]

t3rmin41 в сообщении #147247 писал(а):

Добавляю:

Отлично, теперь ситуация намного яснее.

t3rmin41 в сообщении #147247 писал(а):

Кстати, откуда в

$$d\mathbf{E}=\frac{kt\,dx}{(d^2+x^2)^{3/2}}(-x\mathbf{i}+d\mathbf{j})$$

появилась 3/2 степень в знаменателе с (d^2+x^2) ?

Смотрите, в школе закон Кулона писали в скалярном виде:

$$E=\frac{kq}{r^2},$$

а описание, куда направлен вектор, указывали словами. Но это можно записать и формулой. У нас уже есть вектор направления от одного заряда к другому, $\mathbf{r}$. Осталось только взять его направление, то есть поделить его на его собственный модуль:
$\mathbf{n}=\mathbf{r}/|\mathbf{r}|=\mathbf{r}/r.$
И теперь можно записать тот же самый закон Кулона в векторном виде:

$$\mathbf{E}=E\,\mathbf{n}=E\,\frac{\mathbf{r}}{r}=\frac{kq\,\mathbf{r}}{r^3}.$$

Запомните эту формулу, она используется достаточно часто. Ну и в координатном виде, соответственно:

$$E_{x,y,z}=\frac{kq}{r^3}\,x,y,z$$

или в записи через орты:

$$\mathbf{E}=\frac{kq(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k})}{r^3}.$$

Знаменатель вычисляется по теореме Пифагора как
$r=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2\,}=(\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2)^{1/2},$
а потом это возводится ещё в 3 степень, а в числителе теорема Пифагора не появляется.

[t3rmin41]

Это ладно, с этими 3/2 понятно.

Но всё же решения так и не указал никто и почему именно так, а не иначе.
Мне-то не столько решить их надо, сколько объяснить принцип вот этого выделения dy (в данном случае - dE) с последующим интегрированием.
Решение-то я могу и у одногруппника списать - а что толку?

Поэтому и прошу - если решение, то как можно подробнее, также можно ссылки, где подобные вопросы решаются, с примерами. Потому что поиск в гугле результатов не дал (или я не так вводил поисковые слова). Наверняка ведь кто-то сталкивался с такими трудностями.

[peregoudov]

В детстве у меня была хорошая книжка
Беликов Б.С. "Решение задач по физике. Общие методы."
М.: Высшая школа, 1986. - 256с.
Скачать можно здесь
http://www.alleng.ru/d/phys/phys18.htm

Там разобран и общий метод дифференцирования-интегрирования и есть множество примеров решения задач.

И еще, на мой взгляд, Вам стоит начать с более простой задачи: пусть стержень длины $l$ равномерно заряжен с плотностью $\lambda$. Определить электрическое поле на продолжении стержня на расстоянии $a$ от его конца.

[Munin]

t3rmin41 в сообщении #147385 писал(а):

Мне-то не столько решить их надо, сколько объяснить принцип вот этого выделения dy (в данном случае - dE) с последующим интегрированием.

Ну вот принцип выделения я и рассказал. А уж интегрировать не стал. Там получится три (или два) интеграла, по одному на каждую координатную проекцию вектора $\mathbf{E}$. Если задача симметричная, некоторые из этих интегралов отбрасываются (как, например, в задаче peregoudov-а), но в вашем случае это не так.

[t3rmin41]

Munin, если вас не затруднит, опишите поподробней всё решение, потому что из обрывков фраз вроде ("здесь выделили, тут проинтегрировали, разложили на проекции и сложили") я не могу представить всю картину.

peregoudov, большое спасибо, будем читать.

[Munin]

С вашего позволения, я переименую $d$ в $h$ (чтобы не путать с дифференциалом), и $t$ в $\lambda$ ($t$ - всегда время).
Точка, в которой находится заряд $dq$, дающий вклад $d\mathbf{E}$, находится в координатах $(x,0)$, так что вектор из неё в точку измерения поля имеет координаты $(l-x,h).$ Получаем

$$d\mathbf{E}=\frac{k\lambda\,dx}{((l-x)^2+h^2)^{3/2}}((l-x)\mathbf{i}+h\mathbf{j})$$

и

$$\mathbf{E}=\mathbf{i}\int\limits_0^l\frac{k\lambda(l-x)dx}{((l-x)^2+h^2)^{3/2}}+\mathbf{j}\int\limits_0^l\frac{k\lambda h\,dx}{((l-x)^2+h^2)^{3/2}}$$

Первый интеграл берётся внаглую:

$$\int\limits_0^l\frac{(l-x)dx}{((l-x)^2+h^2)^{3/2}}=-\int\limits_0^l\frac{(l-x)d(l-x)}{((l-x)^2+h^2)^{3/2}}=$$

$$=-\int\limits_0^l\frac{d((l-x)^2)}{2((l-x)^2+h^2)^{3/2}}=-\int\limits_0^l\frac{d((l-x)^2+h^2)}{2((l-x)^2+h^2)^{3/2}}=$$

$$=\frac{1}{5}((l-x)^2+h^2)^{-5/2}\Big|_0^l$$

Второй [s]тригонометрической[/s] гиперболической подстановкой:
$l-x=h\sh\xi,\quad(l-x)^2+h^2=h^2\ch^2\xi,\quad dx=-h\ch\xi\,d\xi,$

$$\int\limits_0^l\frac{dx}{((l-x)^2+h^2)^{3/2}}=\,\,-\!\!\!\!\int\limits_0^{\mathop{\mathrm{arsh}} l/h}\frac{-h\ch\xi\,d\xi}{h^3\ch^3\xi}=$$

$$=\frac{1}{h^2}\int\limits_0^{\mathop{\mathrm{arsh}} l/h}\frac{d\xi}{\ch^2\xi}=\frac{1}{h^2}\th\xi\Big|_0^{\mathop{\mathrm{arsh}} l/h}$$

с учётом

$$\th\mathop{\mathrm{arsh}}X=\frac{X}{\sqrt{X^2+1}}$$

(нахально списано в Фихтенгольце, т. 2 с. 32).

Как-то так.

[t3rmin41]

Спасибо большое :]]]

[peregoudov]

Munin писал(а):

Первый интеграл берётся внаглую:

$$\int\limits_0^l\frac{(l-x)dx}{((l-x)^2+h^2)^{3/2}}=-\int\limits_0^l\frac{(l-x)d(l-x)}{((l-x)^2+h^2)^{3/2}}=$$

$$=-\int\limits_0^l\frac{d((l-x)^2)}{2((l-x)^2+h^2)^{3/2}}=-\int\limits_0^l\frac{d((l-x)^2+h^2)}{2((l-x)^2+h^2)^{3/2}}=$$

$$=\frac{1}{5}((l-x)^2+h^2)^{-5/2}\Big|_0^l$$

Только первообразная равна

$$\frac1{\sqrt{(l-x)^2+h^2}}$$

.

Цитата:

Второй [s]тригонометрической[/s] гиперболической подстановкой:
<...>

$$\int\limits_0^l\frac{dx}{((l-x)^2+h^2)^{3/2}}=\ldots$$

Не надо пугать мальчика. Просто скажем, что первообразная равна

$$-\frac{l-x}{h^2\sqrt{(l-x)^2+h^2}}$$

и посоветуем проверить обратным дифференцированием. Вообще, это два стандартных интеграла, встречающихся при расчете электрических полей.

[Munin]

Ну я не знаю, где пугать, где не пугать. Ему ж самому придётся задачи решать, пущай приёмам учится.

Где я степень понизил вместо повышения - позор, позор...

[t3rmin41]

Векторная запись, это конечно хорошо и универсально, но в первой задаче нельзя ли dE представить как

dE=k*liambda*dx/(l-x)^2+h^2

и тогда

E = integral(l;0) {k*liambda*dx/(l-x)^2+h^2} = [ y = l-x; dy = -dx; l->0, 0->l ] = -int(0;l) {k*liambda*dy/y^2+h^2} = k*1/h*arctg(l/h)

?

[Munin]

Сначала: если вы будете набирать формулы в знаках доллара ($) и по простым правилам, они у вас будут выглядеть красивее и понятнее.
Первые шаги в наборе формул
Краткий ФАК по тегу [math].

Теперь я повторю, что вы написали:
$dE=k\lambda\,dx/(l-x)^2+h^2,$
пусть даже вы имели в виду

$$dE=\frac{k\lambda\,dx}{(l-x)^2+h^2}.$$

Подумайте, что это такое? Это модуль вектора. Как этот вектор $d\mathbf{E}$ направлен? От заряженного участка $dx.$ А эти направления для разных участков разные. Теперь вспомните, что такое интеграл: это сумма маленьких слагаемых $df.$ В нашем случае слагаемые - векторы. Для векторов сумма модулей - совсем не то же самое, что модуль суммы. Поэтому если взять $\int d\mathbf{E}=\mathbf{E},$ а потом модуль, то получится другой результат, чем если сразу интегрировать модуль: $|\mathbf{E}|=E\ne\int dE.$ Из-за этого векторная запись - это не просто хорошо и универсально, а это неизбежно в любых мало-мальски сложных задачах электричества. Вы можете складывать (и следовательно интегрировать) координаты векторов, вы можете складывать проекции векторов на ось - это будут скалярные интегралы. Но вот складывать модули вы не имеете права, иначе ответ будет ошибочным.

[t3rmin41]

Так что, в первой задаче предложенное мной решение не подходит?