Вопрос по константе интегрирования

[Mihr]

dp в сообщении #1735991 писал(а):

а вот по второй не пойму - как учесть y=0 ?

$y=0$ — это особое решение. Оно теряется на самом первом шаге разделения переменных — при делении обеих частей уравнения на $y$.

[Someone]

dp в сообщении #1735991 писал(а):

а вот по второй не пойму - как учесть y=0 ?

Вы же делили на $y$ в процессе решения… Значит, должны были учесть, что деление возможно не всегда, и рассмотреть отдельно случай, когда деление невозможно.
А как понять, что решения потеряны, глядя на ответ? Дык, $y=Ce^x$ удовлетворяет уравнению $y^{\prime}=y$ для всех $C\in\mathbb R$, а у Вас в процессе решения появились какие-то ограничения…

Mihr в сообщении #1735992 писал(а):

$y=0$ — это особое решение.

Нет. В теории дифференциальных уравнений особым называется решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши. А тут с единственностью всё в порядке.
Простой пример дифференциального уравнения, для которого решение $y=0$ особое: $y^{\prime}=\sqrt{y}$.

[EUgeneUS]

dp

(Оффтоп)

dp в сообщении #1735991 писал(а):

Кто-нибудь еще понимает на что намекал сей суровый, многомудрый и немногословный муж?

Можно (попробовать догадаться), но зачем? Раз уж этот педагогический заход не задался...

[ozheredov]

dp в сообщении #1735991 писал(а):

сей суровый, многомудрый и немногословный муж

А не сильно дофига остроумия в разделе "Помогите решить/разобраться"?

[warlock66613]

А я вот тоже, честно скажу, не совсем понял про $d(uv + C)$.

[dp]

dp в сообщении #1735991 писал(а):

а вот по второй не пойму - как учесть y=0 ?

И все-таки, как учесть y=0 ? Какое тут будет решение?

[EUgeneUS]

dp

Вроде бы выше всё сказали. Видимо, нужно совсем уж по шагам.

1. Шаг один. В процессе решения, при применении метода разделения переменных, пришлось разделить на $y$. Это сразу должно привести к мысли "а не поделили ли мы на ноль, получив неприятности?"

2. Шаг два. Чтобы исключить неприятности, этот случай ($y=0$) нужно проверить отдельно. Для этого нужно подставить в исходное ДУ функцию $y=0$ (иногда пишут $y \equiv 0$, чтобы подчеркнуть, что это именно функция, тождественно равная нулю - при любых $x$, а не просто равенство $y=0$, верное для каких-то $x$).

3. Шаг три. Убедиться, что $y=0$ таки является решением исходного ДУ, и при оформлении ответа с общим решением ДУ не забыть учесть этот вариант.

4. Шаг четыре, этот вариант в ответе с общим решением ДУ в виде $y = C e^x$ учитывается при $C=0$.

[ozheredov]

warlock66613 в сообщении #1736003 писал(а):

А я вот тоже, честно скажу, не совсем понял про $d(uv + C)$

Интеграл ТС ищется из некоего уравнения. Я хотел намекнуть, откуда там константа, но сделал это неумело, непедагогично (возможно, потому что мне не охота писать сотни значков, чтоб продемонстрировать детсадовский факт, возможно почему-то ещё). Поэтому я всегда говорю себе: ozheredov, не лезь в ПРР, если конечно не хочешь задать учебный вопрос

[EUgeneUS]

Вот это моё сообщение в ЛС подверглось критике, в том смысле, что этот метод содержит элементы угадайки.

С одной стороны, не вижу вариантов, и не нашел контрпримеров, где бы этот метод дал сбой при нахождении неопределенного интеграла.
С другой стороны, в целом с критикой согласен, есть там тонкие моменты.

Поэтому на затруднения ТС в стартовом посте можно посмотреть и под другим углом, чтобы выкладки были несколько более строгими.

Под символом $C$ можно понимать не "стандартное" обозначение числа буквой, когда одинаковые буквы обозначают одинаковые числа, а специальный символ, обозначающий следующее: любое число из $\mathbb{R}$, возможно разные числа каждый раз, когда встречается этот символ.

Казалось бы, это просто техническая договоренность, которая избавляет от необходимости нумеровать индексами $C$ каждый раз, когда оно встречается.

Однако, из такой нотации получаются такие правила манипуляции с этим символом:
$C \pm C = C$
$a \pm C = C$
$a \cdot C = C, a\ne 0$
С одной стороны, правила необычные, но вполне очевидные - это просто отражение, что $\mathbb{R}$ полно относительно соответствующих операций.

Но дальше следуют и вовсе неожиданные выводы. Например, если символ $C$ появился в какой-то части равенства, то уже от него не избавиться путем "переноса в другую сторону". И действительно:

$$ ... + C = ...$$

$$ ... + C +(-C) = ... +(-C)$$

$$ ... + C = ... +C$$

Не получилсь

Посмотрим, как это работает на примере, близком к примеру из стартового поста.

1. Пусть из взятия интеграла по частям получили:

$$\int\limits_{}^{} f(x) dx = g(x) - \int\limits_{}^{} f(x) dx$$

2. Заменяем неопределенный интеграл на выражение с первообразной по определению:

$$F(x) + C = g(x) - (F(x) + C)$$

Нужно отметить, что справа и слева под $C$ могут пониматься разные числа из $\mathbb{R}$ - согласно введенной выше нотации.
А вот под $F(x)$ имеем право понимать одну и ту же первообразную справа и слева.

3. Далее обычные алгебраические преобразования равенства. Но с учетом правил для $C$, в частности: $-C = C, \frac{1}{2}C = C$

$$2F(x) + C = g(x) +C$$

$$F(x) + C = \frac{1}{2}g(x) +C$$

4. Упс. Слева получилось опять определение неопределенного интеграла, а справа - верный ответ:

$$\int\limits_{}^{} f(x) dx = \frac{1}{2}g(x) +C$$

Причем $C$ в правой части никуда не пропадало и не возникало из ниоткуда. Оно всегда там было и "дожило" до ответа.

-- добавлено через 19 минут --

А затруднения, описанные в стартовом посте, оказываются связаны с тем, что привычные манипуляция с равенствами, которые содержат символы, обозначающие неопределенный интеграл ($\int\limits_{}^{} f(x) dx$ или $I :=\int\limits_{}^{} f(x) dx$), оказываются некорректными.

Вот так некорректно:

$$\int\limits_{}^{} f(x) dx = g(x) - \int\limits_{}^{} f(x) dx\Rightarrow 2\int\limits_{}^{} f(x) dx = g(x)$$

$$I = g(x) - I \Rightarrow 2I = g(x)$$

Корректно вот так:

$$\int\limits_{}^{} f(x) dx = g(x) - \int\limits_{}^{} f(x) dx\Rightarrow 2\int\limits_{}^{} f(x) dx = g(x) + C$$

$$I = g(x) - I \Rightarrow 2I = g(x) +C$$

-- добавлено через 23 минуты --

Ещё отмечу, что в такой нотации $C$, вот такая запись:
(добавил в цитате недостающий $dx$)

EUgeneUS в сообщении #1735918 писал(а):

3. $\int\limits_{}^{} \frac{1}{x^2}dx= -\frac{1}{x} + C= -\frac{1+x}{x} + C$

Оказывается верной и корректной.

Даже если запишем вот так:$-\frac{1}{x} + C= -\frac{1+x}{x} + C$

сократить на $C$ не имеем права, по описанным выше причинам.

Хотя тут имеется нюанс: $C$ справа и слева не являются независимыми произвольными константами.

[Gagarin1968]

EUgeneUS в сообщении #1736081 писал(а):

Даже если запишем вот так:$-\dfrac{1}{x} + C= -\dfrac{1+x}{x} + C$

EUgeneUS
Так у Вас же константы интегрирования слева и справа отличаются ровно на единицу.
Не проще ли обозначить их разными буквами?

[EUgeneUS]

Gagarin1968 в сообщении #1736086 писал(а):

Не проще ли обозначить их разными буквами?

Есть две совершенно разных нотации для $C$.

1. "Обычная". Под $C$ понимается некое число из $\mathbb{R}$, причем каждый раз, когда встречается $C$ - одно и то же число.
То есть $C$ в этом случае и в этом смысле никак не отличается от какого-нибудь параметра $a \in \mathbb{R}$ внутри функции.
Эта нотация с неизбежностью заставляет "нумеровать" $C$ при любых манипуляциях с ним. Так как числа-то, обозначенные буквой, меняются \ оказываются разными.
Этот вариант рассматривался, например, тут и далее тут.

2. И предложенная в посте выше. Теперь под $C$ понимается не некое число из $\mathbb{R}$, причем каждый раз, когда встречается $C$ - одно и то же число. А несколько более сложный объект. И если будем нумеровать $C$, то будем нумеровать эти объекты, а не разные числа, которым может быть равен этот объект.

Вот при решении ОДУ второго порядка возникают действительно разные объекты в этом смысле. Они и нумеруются, например:

$$\frac{d^2 x}{dt^2} = a$$

$$x = \frac{a t^2}{2} + C_1 t + C_2$$

[dgwuqtj]

EUgeneUS в сообщении #1736081 писал(а):

Под символом $C$ можно понимать не "стандартное" обозначение числа буквой, когда одинаковые буквы обозначают одинаковые числа, а специальный символ , обозначающий следующее: любое число из $\mathbb{R}$, возможно разные числа каждый раз , когда встречается этот символ.

То есть $C = \mathbb{R}$ и вместо отдельных первообразных вы работаете сразу со всеми их множествами целиком. Например,

$$\int x\, dx = \frac{x^2}{2} + \mathbb{R} = \{ \frac{x^2}{2} + c \mid c \in \mathbb{R} \},$$

это именно множества функций.

[EUgeneUS]

dgwuqtj
Вот в ЛС мне и указали, что корректный подход - это "через множества функций".

Однако, в таком подходе простое равенство $I + I = 2 I$ нужно трактовать так:
а) $+$ - это сумма множеств по Минковскому.
б) $2I$ - это новое множество, полученное из исходного множества $I$ путем умножения каждого элемента из $I$ на $2$.
в) а $=$ - это равенство множеств.

Разъяснить всё это школьникам в теме про неопределенные интегралы представляется невозможным

Подход выше примерно тоже самое, но вид в профиль. Вместо "выражений для множеств функций", рассматриваем "множество алгебраических выражений для функций".
То есть вот это:

EUgeneUS в сообщении #1736081 писал(а):

$$F(x) + C = \frac{1}{2}g(x) +C$$

Это множество обычных алгебраических равенств.

[warlock66613]

EUgeneUS в сообщении #1736093 писал(а):

простое выражение $I + I = 2 I$ нужно трактовать так

Так не получится. Например, если $I = \{ 1, 2 \}$, то у вас $I + I = \{ 2, 3, 4 \}$, а $2I = \{2, 4 \}$.

[EUgeneUS]

warlock66613 в сообщении #1736094 писал(а):

Так не получится. Например, если $I = \{ 1, 2 \}$, то у вас $I + I = \{ 2, 3, 4 \}$, а $2I = \{2, 4 \}$.

А никто и не утверждал, что это равенство выполняется вообще для любых $I$
Оно выполняется для любых $I$, которые являются неопределенными интегралами