Вопросы chislo_avogadro о сравнении хода часов

[sergey zhukov]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1725413 писал(а):

Недостаток такого обоснования - в произвольности выбора "одновременности" привязкой к конкретной системе координат. В теории относительности одно и то же ПВ равноправно описывается в разных системах координат, так что и выбор "одновременности" может быть разным.

Да. В СТО на самом деле тоже произвольное понятие одновременности в общем случае. Достаточно просто ввести там криволинейные координаты. Мы настолько привыкли прямоугольным координатам в СТО, что считаем их (с их определением одновременности) какими-то особенными, а понятие одновременности, которое они вводят, более фундаментальным, чем в других криволинейных СК. На самом деле все эти "одновременности" одинаково "фундаментальны".

Поэтому это не то, чтобы именно в ОТО какие-то сложности с определением одновременности, а вообще понятие одновремености связано с выбранными координатами и поэтому произвольно уже и в СТО. Просто нам кажется, что в СТО есть "правильные" координаты (прямоугольные) и там как-то яснее с одновременностью. А в ОТО прямоугольных координат нет, и там все не понятно. На самом деле и там и там это одинаково произвольно.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1725425 писал(а):

В СТО на самом деле тоже произвольное понятие одновременности в общем случае. Достаточно просто ввести там криволинейные координаты. Мы настолько привыкли прямоугольным координатам в СТО, что считаем их (с их определением одновременности) какими-то особенными, а понятие одновременности, которое они вводят, более фундаментальным, чем в других криволинейных СК. На самом деле все эти "одновременности" одинаково "фундаментальны".

Нет, это не так. В СТО если есть свободно летящее тело, можно относительно него физически построить глобальную ИСО, разместив в пространстве неподвижные относительно тела жёсткие линейки и часы. В ОТО в общем случае это невозможно.

[chislo_avogadro]

SergeyGubanov в сообщении #1725409 писал(а):

в Ваших формулах выше была $\frac{dr_{B}}{dt_{A}}$ в которой дифференциал $d r_{B}$ брался в точке $r_B$, а дифференциал $dt_A$ брался в бесконечно удалённой точке $r_A \to \infty$.

Я этого не вижу, в этом смысле у меня было правильно, обе величины, $dt$ и $dr$, понимались как координатные.

-- добавлено через 24 минуты --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1725413 писал(а):

Если, пользуясь метрикой Пенлеве, выразить $d\tau_B$ через dt и скорость $v_{loc}$ часов B относительно неподвижной системы отсчёта в окрестности точки с координатами Пенлеве (t,r), и затем согласно логике chislo_avogadro принять, будто dt равно интервалу собственного времени часов А, то получится уже не формула ТС, а появится ещё и сомножитель $(1-(v_{loc}/c)\,\sqrt{r_g/r})^{-1}.$

Я не знаком с метрикой Пенлеве, а быстрое погружение мне пока не удалось. Можно вопрос - какова скорость свободного падения тела (В) в этих координатах?

[Cos(x-pi/2)]

В единицах скорости света (т.е. при выборе c=1) координатная скорость тела В, свободно падающего радиально из бесконечности с нулевой начальной скоростью, в координатах Пенлеве: $dr/dt=-\sqrt{r_g/r}.$

Измеряемая неподвижным наблюдателем С скорость v такого тела В оказывается равной этому же корню, но с плюсом (с плюсом - потому что мы условились скорость v относительно С вычислять как не отрицательную величину вне зависимости от знака dr. Наглядно понимаю это так: в какой-то момент координатного времени t тело В оказалось в той же точке r, что и С; и затем за время dt>0 тело В улетело от С на координатное расстояние |dr|. Такое понимание величины v удобно тем, что оно обобщается на задачи о 3-мерном движении. Ведь в 3- мерном случае наблюдатель С измеряет вектор скорости, а величина её есть $v=|\vec{v}|$. Ваш термин "локальная скорость" я так и понимаю - как неотрицательную v.)

Про метрику Пенлеве вся необходимая информация есть в исходной теме.

Чисто радиальное движение легко рассматривается и в общем виде, сразу для всех статических метрик; статические - у которых метрический тензор может зависеть от r, но не зависит от t. Стартуем с формулы

$$(ds)^2=g_{00}\,(dt)^2+2\,g_{01}\,dt\,dr+g_{11}\,(dr)^2$$

И, в соответствии с пояснениями в исходной ветке, на паре листочков бумаги всё выводится, несложными действиями типа школьных упражнений по алгебре - "решить квадратное уравнение" и "упростить выражение". У меня получились вот такие ответы в случае произвольного радиального падения В:

Связь между скоростью v падающего тела В относительно неподвижного наблюдателя С и координатной скоростью dr/dt (она отрицательная, так что v получается не отрицательная):

$$v=-\frac{\sqrt{-g}\,\frac{dr}{dt}}{g_{00}+\frac{dr}{dt}\,g_{01}}$$

где $g=g_{00}\,g_{11}-(g_{01})^2$, эта величина $g$ отрицательная.

Связь между интервалом собственного времени тела В и координатным dt, выраженная через v:

$$\delta\tau_B=dt\,\frac{\sqrt{-g\,g_{00}\,(1-v^2)}}{\sqrt{-g}+v\,g_{01}}$$

Связь между интервалом собственного времени неподвижного тела А, находящегося "на бесконечности", при приёме световых сигналов, и интервалом собственного времени тела В при отправке этих сигналов:

$$\delta \tau_A=\delta \tau_B\,\frac{1}{\sqrt{g_{00}}}\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}$$

Метрический тензор в координатах Шварцшильда:
$g_{00}=1-r_g/r$
$g_{11}=-(1-r_g/r)^{-1}$
$g_{01}=g_{10}=0$

В координатах Пенлеве:
$g_{00}=1-r_g/r$
$g_{11}=-1$
$g_{01}=g_{10}=-\sqrt{r_g/r}$

В пределе с $r_g\to 0$ получается метрика пространства-времени без гравитационного поля.