Решения задач из сборника Белова

[KonstantinDedov]

Где можно найти все решения задач из сборника задач-монстров Белова?
Мне удалось найти только для №№ 1, 2, 8, 10, 15, 16, 19, 22, 24 (без карты), 27, 29, 32, 37, 43, 70, 91, 93, 131, 142, 167, 178 (подсказка), 181, 187, 190.

[Someone]

KonstantinDedov, о каком именно сборнике идёт речь? Точную ссылку дайте. Потому что в интернете есть несколько совершенно разных сборников, в списке авторов которых упоминается Белов.

[KonstantinDedov]

Someone в сообщении #1725247 писал(а):

KonstantinDedov, о каком именно сборнике идёт речь? Точную ссылку дайте. Потому что в интернете есть несколько совершенно разных сборников, в списке авторов которых упоминается Белов.

Белов А.Я. Сборник задач-монстров по математике.pdf
168'000 байт
SHA256: e3aefc4c9cfd24ae4ba4b4e8e80e38a8994299bcd4516c91907711c3710399b4
Собственно, другие сборники имеют решения в конце, а у этого файла только условия.
Скачать можете тут (прикреплён к посту ВК): https://vk.com/wall-125266332_61341
Или из облака: https://cloud.mail.ru/public/nZ4G/x3x6E6i8U

[Edward_Tur]

Много задач из журнала "Квант": http://www.kvant.info/zkm_tex/zkm_main.pdf

[Gagarin1968]

Edward_Tur
По Вашей ссылке: 404 Not Found.

[lel0lel]

KonstantinDedov в сообщении #1725212 писал(а):

Где можно найти все решения задач из сборника задач-монстров Белова?
Мне удалось найти только для №№ 1, 2, 8, 10, 15, 16, 19, 22, 24 (без карты), 27, 29, 32, 37, 43, 70, 91, 93, 131, 142, 167, 178 (подсказка), 181, 187, 190.

44 и 121 выглядят несложно, добавляйте их в раздел "помогите решить разобраться" или в "олимпиадные".

[KonstantinDedov]

Gagarin1968 в сообщении #1725448 писал(а):

Edward_Tur
По Вашей ссылке: 404 Not Found.

Надо цитировать (думал мне). На этом сайте (Квант-Инфо) не оплачен хостинг.

-- добавлено через 2 минуты --

lel0lel в сообщении #1725460 писал(а):

KonstantinDedov в сообщении #1725212 писал(а):

Где можно найти все решения задач из сборника задач-монстров Белова?
Мне удалось найти только для №№ 1, 2, 8, 10, 15, 16, 19, 22, 24 (без карты), 27, 29, 32, 37, 43, 70, 91, 93, 131, 142, 167, 178 (подсказка), 181, 187, 190.

44 и 121 выглядят несложно, добавляйте их в раздел "помогите решить разобраться" или в "олимпиадные".

Да, 121 — это Теорема Штейнера-Лемуса с известным решением.

[lel0lel]

121. "Если две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный."

Установим сначала связь между биссектрисами и величинами углов, из которых они проведены. Пусть в $\Delta ABC$ из углов $A$ и $C$ проведены две биссектрисы $AK_1$ и $ CK_2$. Обозначим их длины $s_1$ и $s_2$, соответственно; градусные меры углов $A$ и $C$ обозначим $\alpha_1$ и $\alpha_2$. По теореме синусов в $\Delta AK_2C$ получим $s_2/\sin\alpha_1=AC/\sin(\alpha_1+\alpha_2/2)$. Аналогично, для $\Delta AK_1C$: $s_1/\sin\alpha_2=AC/\sin(\alpha_2+\alpha_1/2)$. Из этих соотношений получим искомое отношение биссектрис (обсуждалось на форуме ранее https://dxdy.ru/post1538069.html#p1538069):

$$\frac{s_2}{s_1}=\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\frac{\sin(\alpha_2+\alpha_1/2)}{\sin(\alpha_1+\alpha_2/2)}$$

Положим $\alpha_2=\alpha_1+\varepsilon$, $\varepsilon\geq 0$. Из суммы углов треугольника:$\alpha_1<\pi/2$ и $\varepsilon<\pi-2\alpha_1$. При фиксированном $\alpha_1<\pi/2$, функция

$$f(\varepsilon)=\frac{\sin\alpha_1}{\sin(\alpha_1+\varepsilon)}\frac{\sin(3\alpha_1/2+\varepsilon)}{\sin(3\alpha_1/2+\varepsilon/2)}$$

монотонно убывает на интервале $(0;\pi-2\alpha_1)$ (доказать это не слишком сложно, но несколько муторно). Итак, $f(\varepsilon)=1$ на рассматриваемом интервале только при $\varepsilon=0$. Поэтому биссектрисы в треугольнике равны если и только если они проведены из равных углов.

[nnosipov]

Еще хорошо известные сюжеты: 23, 33, 34, 60.

[lel0lel]

KonstantinDedov в сообщении #1725464 писал(а):

121 — это Теорема Штейнера-Лемуса с известным решением

Спасибо, интересно. Почитал в Википедии, оказывается, это известная задача. До некоторой поры были даже жаркие споры о существовании прямого доказательства. У нас, кажется, самое что ни на есть прямое получилось.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1725491 писал(а):

У нас, кажется, самое что ни на есть прямое получилось.

Но длинное и витиеватое. Совсем короткое у меня в статье https://www.mathnet.ru/links/fd7e1a306eac7bb12398321c04683461/mp1075.pdf на стр. 212. Впрочем, это общеизвестно. До сих пор не понимаю, почему теорема Штейнера-Лемуса считается нетривиальной (в обычной геометрии).

[Booker48]

nnosipov
Вроде бы в книге Коксетер, Грейтцер "Новые встречи с геометрией", любое доказательство, исходящее из леммы "В треугольнике меньший угол обладает большей биссектрисой" (там это лемма 1.512) считается не прямым. И лемма доказывается геометрически и очень просто.

[nnosipov]

Booker48
Честно говоря, я не понимаю, что там считается прямым доказательством. Факт банальный сам по себе; размышлять над тем, прямо он доказан или косо, смысла не вижу. Подобных задач в элементарной геометрии пруд пруди, почему именно эта должна привлекать внимание?

[lel0lel]

nnosipov в сообщении #1725497 писал(а):

Но длинное и витиеватое. Совсем короткое у меня в статье https://www.mathnet.ru/links/fd7e1a306eac7bb12398321c04683461/mp1075.pdf на стр. 212. Впрочем, это общеизвестно.

Спасибо!
Booker48
Да, лемму о большей биссектрисе можно доказать прямо , немного геометрии и анализ.

[Booker48]

nnosipov в сообщении #1725502 писал(а):

Booker48
Честно говоря, я не понимаю, что там считается прямым доказательством.

Имеется в виду, что фактически всегда (скрыто или нет) доказывается не теорема, а та самая лемма, из которой делается вывод об утверждении теоремы. Наверное, прямым доказательством было бы выразить длины биссектрис $l_a$ и $l_b$ через стороны треугольника $a, b, c$, приравнять их - и алгебраическими преобразованиями (не включая логику ) получить $a=b$.

nnosipov в сообщении #1725502 писал(а):

Подобных задач в элементарной геометрии пруд пруди, почему именно эта должна привлекать внимание?

Исторически сложилось, надо думать. В той книжке краткая история этой теоремы (после Штайнера) приводится. Якобы внимание к ней привлёк Мартин Гарднер в своей колонке, и читатели прислали кучу доказательств, из которых Гарднер сконструировал самое короткое и изящное. )))
Но так-то да, ничего, выходящего за пределы школьной планиметрии, в доказательстве нет.
С другой стороны, Белов - опытный олимпиадник. Какие-то резоны у него были.