2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение23.08.2021, 10:53 


26/08/11
2057
nnosipov Вы правы. Кажется действительно тут можно обойтись двумя сериями, без деления. Возмем за базу примитивный пифаговорый тр-к (полуоснование, высота, бедро), проведем биссектрису, постараемся, чтобы она была рациональной. (Потом домножим на знаменатель)

$b=u^2+v^2$

Первый случай, когда $a=4uv$ к решению не приводит, потому что для биссектрисы получается $2(u^2+v^2)$ - квадрат, что не может быть при $u,v$ разной четности. Они должны быть нечетными, а значит существуюу $m=(u+v)/2,n=(u-v)/2$ разной четности, короче сразу второй случай: $a=2(u^2-v^2),\; h=2uv$. В этом случае получается (при взаимнопростых $u,v$ разной четности)

$l=\dfrac{4u(u^2-v^2)\sqrt{u^2+v^2}}{3u^2-v^2}$

$\gcd(3u^2-v^2,u)=\gcd(3u^2-v^2,u^2-v^2)=\gcd(3u^2-v^2,u^2+v^2)=1$

Тоесть, дробь несократима. Или

$\\b=(u^2+v^2)(3u^2-v^2)\\
a=2(u^2-v^2)(3u^2-v^2)\\
h=4uv(3u^2-v^2)\\
l=4u(u^2-v^2)\sqrt{u^2+v^2}$

Тут понятно, $u,v,w$ - пифагорова тройка, получася две серии решений - для четном $u$ и четном $v$ с условием $u>v$.
И $\gcd(a,b,h,l)=1$

тут мин. решение, очевидно при $u=4,v=3$ - ваше.
Получился пересказ вашего предыдущего поста другими словами (и переменными).

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение23.08.2021, 11:28 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shadow
Видимо, наличие нескольких серий в ответе --- типичная ситуация. Напротив, примеры, где ответом служит одна серия, приходится искусственно конструировать (см. http://dxdy.ru/post1529274.html#p1529274).

Еще одно замечание (на всякий случай напомню): если $f(u,v)$ и $g(u,v)$ --- однородные (одинаковой степени) многочлены с целыми коэффициентами, то мы в принципе можем решить вопрос о нахождении $\gcd{(f(u,v),g(u,v))}$ при любых целых $u$, $v$. Ясно (из-за однородности), что можно ограничиться случаем, когда $\gcd{(u,v)}=1$. Можно также считать, что многочлены $f$ и $g$ взаимно просты. Тогда все возможные значения $d=\gcd{(f(u,v),g(u,v))}$ --- это делители результанта многочленов $f(u,1)$ и $g(u,1)$. В частности, этих значений конечное множество. (Хотя можно и без результанта обойтись: находим два многочлена $h_1(u)$ и $h_2(u)$ с целыми коэффициентами и такое целое число $A$, что $f(u,1)h_1(u)+g(u,1)h_2(u)=A$. Тогда $d$ --- какой-то делитель $A$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение23.08.2021, 14:34 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
nnosipov в сообщении #1529118 писал(а):
Был бы признателен, если бы кто-нибудь дал ссылку на первоисточник.

Диссертация Ralph H. Buchholz "On Triangles with rational altitudes, angle bisectors or medians" 1989 год, в сети свободно.
Часть 2 посвящена биссектрисам.
Здесь найдется много чего интересного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение23.08.2021, 15:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec
Спасибо, это то, что нужно: раздел 2.2 "Isosceles Restriction" ровно эта задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение24.08.2021, 15:41 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Господа, вот такой вопрос возник после чтения упомянутой выше диссертации (точнее, раздела 2.3 Pyphagorean Restriction): а существует ли прямоугольный треугольник с тремя целочисленными биссектрисами? Как я понял, автор получил отрицательный ответ только в случае, когда стороны треугольника тоже целочисленны. А если они произвольны?

Между прочим, соотношение между биссектрисами прямоугольного треугольника оказалось довольно жутким: однородное уравнение степени 24.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение24.08.2021, 16:58 


02/04/18
240
nnosipov в сообщении #1529502 писал(а):
существует ли прямоугольный треугольник с тремя целочисленными биссектрисами?

Немного переформулирую.
Пусть $a\in\mathbb{R}$. Построим прямую, проходящую через точки $(a, 0)$ и $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ и рассмотрим треугольник, образованный этой прямой и координатными осями. Вопрос: существует ли такое значение $a$, при котором обе биссектрисы, построенные к катетам, рациональны?

Очевидно, что если существует, то ответ и на первый вопрос положительный - достаточно масштабного преобразования (третья биссектриса равна 2). Также, $a$ достаточно рассмотреть в пределах $(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$. Однако, еще до выкладок видно, что рациональность даже квадрата биссектрисы будет выяснить непросто.
С другой стороны, есть бессчетное множество значений $a$, при котором каждая из биссектрис в отдельности принимает рациональное значение. Просто из-за континуума.
Если эти множества пересекаются, то все здорово. Хотя треугольник мы все равно не нашли.

Интуиция подсказывает, что все-таки, они пересекутся, причем в бесконечном количестве точек...

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение24.08.2021, 17:47 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Вроде бы, удалось доказать, что нет таких треугольников: то уравнение, которое связывает биссектрисы, оказалось разложимо над $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Так что все дело оказалось в иррациональности $\sqrt{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение24.08.2021, 21:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Имеет смысл поискать доказательство отсутствия искомых треугольников без использования CAS.

scwec
что скажете? (Возможно, Вы читали Бухгольца более тщательно и он что-то пишет про такой вариант постановки вопроса. Я пробежался пока только по диагонали.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение25.08.2021, 06:56 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
nnosipov в сообщении #1529536 писал(а):
scwec
что скажете? (Возможно, Вы читали Бухгольца более тщательно и он что-то пишет про такой вариант постановки вопроса. Я пробежался пока только по диагонали.)

Бухгольц сразу в аннотации пишет, что рассматриваются в работе Героновы треугольники, так что вряд ли он имел в виду и что-то другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение25.08.2021, 10:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Вот соотношение на биссектрисы ($l_3$ --- биссектриса, проведенная к гипотенузе):
Код:
l[2]^12*l[3]^12+l[2]^12*l[1]^12+l[3]^12*l[1]^12-6*l[2]^12*l[3]^10*l[1]^2-12*l[2]^10*l[3]^12*l[1]^2-6*l[2]^10*l[3]^2*l[1]^12-20*l[2]^6*l[3]^6*l[1]^12+15*l[2]^8*l[3]^4*l[1]^12+15*l[2]^4*l[3]^8*l[1]^12-6*l[2]^2*l[3]^10*l[1]^12-48*l[2]^4*l[3]^10*l[1]^10-12*l[2]^2*l[3]^12*l[1]^10-6*l[2]^12*l[3]^2*l[1]^10-60*l[2]^10*l[3]^4*l[1]^10+66*l[2]^8*l[3]^6*l[1]^10+60*l[2]^6*l[3]^8*l[1]^10+15*l[2]^12*l[3]^4*l[1]^8+66*l[2]^10*l[3]^6*l[1]^8+39*l[2]^4*l[3]^12*l[1]^8-21*l[2]^8*l[3]^8*l[1]^8-18*l[2]^6*l[3]^10*l[1]^8-20*l[2]^12*l[3]^6*l[1]^6-24*l[2]^6*l[3]^12*l[1]^6-18*l[2]^8*l[3]^10*l[1]^6+60*l[2]^10*l[3]^8*l[1]^6-48*l[2]^10*l[3]^10*l[1]^4+39*l[2]^8*l[3]^12*l[1]^4+15*l[2]^12*l[3]^8*l[1]^4=0
Удивительно, но левая часть факторизуется над $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

Является ли это соотношение достаточным для того, чтобы положительные числа $l_1$, $l_2$, $l_3$ были длинами биссектрис некоторого прямоугольного треугольника (при этом считаем, что $l_3$ --- длина биссектрисы, проведенной к гипотенузе)?

Upd. Ответ: нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение06.11.2021, 18:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Для любых двух положительных чисел существует единственный прямоугольный треугольник, у которого длины биссектрис, проведенных к катетам, равны этим числам.

Предлагаю всем желающим доказать это утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение06.11.2021, 23:52 


20/04/10
1776
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta ABC$ с прямым углом $\angle C$. Биссектрисы $AK=s_1$, $BL=s_2$. Обозначим $\angle ABC=\alpha$, тогда $LC=s_2\sin(\alpha/2)$, $CK=s_1\sin(\pi/4-\alpha/2)$. Пусть $\angle LKC=\beta$, тогда $\tg \beta=\frac{s_2}{s_1}\frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\pi/4-\alpha/2)}$. По свойству биссектрисы (вместе с тем используя прямоугольность) получим $AC=\frac{2(s_2^2 LC-LC^3)}{s_2^2-2LC^2}$, $BC=\frac{2(s_1^2 CK-CK^3)}{s_1^2-2CK^2}$. Обозначим $LC=m, CK=n$ и введём декартову систему координат с центром в вершине угла $C$. Мы можем явно выписать координаты точек $L, K, A, B$: $A(0,\frac{2(s_2^2 m-m^3)}{s_2^2-2m^2})$, $L(0,m)$, $B(\frac{2(s_1^2 n-n^3)}{s_1^2-2n^2},0)$, $K(n,0)$. Теперь находим координаты точки пересечения биссектрис и приравниваем их друг к другу; приравнивать можно, так как третья биссектриса выходит из прямого угла. В результате имеем следующее соотношение: $\frac{LC}{CK}=(\frac{s_2}{s_1})^2\left(\frac{AC}{BC}\right)^2$, оно справедливо только для прямоугольного треугольника. Если отношение сторон записать через тангенсы, то $\tg \beta=(\frac{s_2}{s_1})^2(\tg\alpha)^2$. Вспомним, что выше мы получили выражение для $\tg \beta$. Получаем уравнение на угол $\alpha$:
$$\frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\pi/4-\alpha/2)}=\frac{s_2}{s_1}(\tg\alpha)^2.$$
Исследуя функции в левой и правой частях уравнения, заключаем, что в интервале $0<\alpha<\pi/2$ имеется единственный корень при любых численных значениях длин биссектрис.

Кстати, довольно понятно, что в прямоугольном треугольнике достаточно задать любые два непараллельные отрезка, чтобы однозначно задать треугольник. Это своего рода признак равенства треугольников. В произвольном треугольнике для однозначного задания (определения треугольника) необходимо задать три попарно непараллельные отрезка. При этом, конечно, эти отрезки должны быть чётко определены, например: биссектрисы, трисектрисы, медианы, высоты и так далее. Также, длины отрезков должны быть подчинены некоторому неравенству по типу неравенства треугольника. Интересно было бы это доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение07.11.2021, 10:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
lel0lel в сообщении #1538015 писал(а):
Получаем уравнение на угол $\alpha$:
$$\frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\pi/4-\alpha/2)}=\frac{s_2}{s_1}(\tg\alpha)^2.$$
Да, что-то в таком духе ожидалось, спасибо. Интересно, есть ли такая формула в известных задачниках типа Прасолова. По-моему, она сама по себе интересна.

У меня решение чисто алгебраическое и более прямолинейное: выражаем катеты $a$, $b$ через гипотенузу $c$ и заданные длины биссектрис, подставляем найденные выражения в уравнение $a^2+b^2=c^2$, откуда находим $c$.

lel0lel в сообщении #1538015 писал(а):
Также, длины отрезков должны быть подчинены некоторому неравенству по типу неравенства треугольника.
А вот это, кстати, необязательно. Оказывается, набор длин биссектрис треугольника может быть совершенно любым (в отличие от наборов длин медиан и высот). Это старый и (более-менее) известный сюжет, на dxdy он когда-то обсуждался, но, насколько помню, без математических деталей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленный равнобедренный треугольник
Сообщение07.11.2021, 15:42 


20/04/10
1776
nnosipov в сообщении #1538024 писал(а):
У меня решение чисто алгебраическое
Тоже сначала получил громоздкое алгебраическое уравнение на один из катетов, но доказывать, что уравнение имеет единственное решение показалось сложно.

Сейчас рассмотрел случай произвольного треугольника с углами $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3=\pi-(\alpha_1+\alpha_2)$ и биссектрисами, выходящими из этих углов, соответственно равными $s_1, s_2, s_3$. Пересекаясь, биссектрисы разбивают исходный треугольник на $6$ треугольников, в каждом мы знаем все углы. Пусть точка пересечения делит биссектрису $s_i$ на два отрезка $s_{i,1}, s_{i,2}$ считая от вершины угла. Тогда, применяя теорему синусов в каждом треугольнике, получим $6$ линейных относительно $s_{i,j}$ уравнений, но независимыми являются только $5$. Выражаем все $s_{i,j}$ через $s_{1,1}$. Затем находим отношения $s_i/s_j=(s_{i,1}+s_{i,2})/(s_{j,1}+s_{j,2})$ и получаем ответ для произвольного треугольника:
$$\frac{s_i}{s_j}=\frac{\sin(\alpha_i+\alpha_j/2)\sin\alpha_j}{\sin(\alpha_j+\alpha_i/2)\sin\alpha_i}$$
Если подставить $\alpha_2=\pi/2-\alpha_1$, то, после преобразований, придём к формуле полученной выше для прямоугольного треугольника.

В связи с этим можно предложить олимпиадную задачку для старшей школы: в треугольнике с углами $30^{\circ},45^{\circ},105^{\circ}$ найти отношение длин биссектрис $s_1:s_2:s_3$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group