Решения задач из сборника Белова

[nnosipov]

Booker48 в сообщении #1725508 писал(а):

Наверное, прямым доказательством было бы выразить длины биссектрис $l_a$ и $l_b$ через стороны треугольника $a, b, c$, приравнять их - и алгебраическими преобразованиями (не включая логику ) получить $a=b$.

Ну да, и всего делов-то.

Гораздо интереснее задача о том, что набор биссектрис треугольника может быть совершенно произвольным (в отличие от набора медиан или высот, где есть ограничения). Это тоже, как выяснилось, старинная задача. О чем я в свое время и сообщил Алексею Яковлевичу, а он мне предложил написать статью на эту тему для "Мат. прос.", что я с удовольствием и сделал.

[RIP]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1725502 писал(а):

Подобных задач в элементарной геометрии пруд пруди, почему именно эта должна привлекать внимание?

Возможно, потому что для медиан и высот доказательства тривиальны, а для биссектрисс — не очень.

[nnosipov]

RIP
Возможно, что и так, но для биссектрис все априори сложнее (хотя бы потому, что алгебраически биссектрис две --- внутренняя и внешняя).

Кстати, у Шарыгина есть аналогичная задача про две внешние биссектрисы, которые уже могут быть равны у неравнобедренного треугольника.

[lel0lel]

nnosipov в сообщении #1725510 писал(а):

Гораздо интереснее задача о том, что набор биссектрис треугольника может быть совершенно произвольным (в отличие от набора медиан или высот, где есть ограничения). Это тоже, как выяснилось, старинная задача.

Эта задача через углы решается просто. Для её решения нужно записать два отношения биссектрис, это даёт систему двух уравнений с двумя неизвестными углами (третий угол выражается через два других). Доказать единственность решения можно примерно таким же образом, который Вы применяете в статье, используя монотонность неявно заданных функций.

На практике (речь о практическом нахождении углов), можно тригонометрические функции от углов обозначить как новые переменные, тогда нахождение значений углов сведётся к решению системы двух дробно-иррациональных уравнений. Они, похоже, сводятся к полиномиальным уравнениям высоких порядков.
Нужно решать систему и вычислять значения обратных тригонометрических функций. Затем, масштабируем треугольник, чтобы совпадали не только отношения длин биссектрис, но и сами длины. Если будет интересно, то можно расписать подробности.