Время в математике.

[AD]

Помню, такой эпизод был. Решали на семинаре известную задачку: доказать, что не существует счетных $\sigma$-алгебр (даже: все либо конечные, либо континуальные и выше). Решение начиналось словами:

Пусть $\sigma$-алгебра состоит из счетного числа множеств. Выпишем их все: $A_1,A_2,A_3,\ldots$
(...)

Тут же от преподавателя последовало замечание:

Это можно сделать, если выписывать каждое следующее множество в два раза быстрее предыдущего.

Нет ли в этом глубокого смысла?

[zoo]

AD писал(а):

Помню, такой эпизод был. Решали на семинаре известную задачку: доказать, что не существует счетных $\sigma$-алгебр (даже: все либо конечные, либо континуальные и выше). Решение начиналось словами:

Пусть $\sigma$-алгебра состоит из счетного числа множеств. Выпишем их все: $A_1,A_2,A_3,\ldots$
(...)

Тут же от преподавателя последовало замечание:

Это можно сделать, если выписывать каждое следующее множество в два раза быстрее предыдущего.

Нет ли в этом глубокого смысла?

есть, в этом случае весь счетный набор множеств можно выписать за конечное время

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Нет ли в этом глубокого смысла?

Глубокого, на мой взгляд, нет. А про мелкий много сказано тут

На самом деле, в математике есть "логическое время". Считается, что все множества существуют "вне времени и пространства", но в логическом смысле $\varnothing$, к примеру, предшествует $\{ \varnothing \}$ (а также всем остальным множествам). Можно считать, что пустое множество появилось раньше всех, а все остальные были построены из уже имевшегося к тому времени пустого.

Сейчас, к сожалению, нет времени об этом пространно рассуждать (из-за компьютера прогоняют). Но позже я тему, надеюсь, раскрою.

[naiv1]

Профессор Снэйп писал(а):

Считается, что все множества существуют "вне времени и пространства"....

Интересно, почему так считается?

Профессор Снэйп писал(а):

в логическом смысле $\varnothing$, к примеру, предшествует $\{ \varnothing \}$ (а также всем остальным множествам).

Нельзя ли в этом месте по-подробнее разъяснить.

Профессор Снэйп писал(а):

Можно считать, что пустое множество появилось раньше всех, а все остальные были построены из уже имевшегося к тому времени пустого.

В каком смысле "пустое множество появилось раньше всех"?

[Профессор Снэйп]

Ох, хорошие вопросы!

naiv1 писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Считается, что все множества существуют "вне времени и пространства"....

Интересно, почему так считается?

Ну... просто множества свободны от пространственно-временных характеристик, они к ним не применимы. Объект, претендующий на звание множества, может существовать, а может и не существовать. К примеру, пустое множество существует, а множество $x$ со свойством $x \in x$ нет. Но про то же самое пустое множество нельзя сказать, сколько лет назад оно образовалось или в какой точке пространства оно находится или какой объём этого самого пространства занимает.

naiv1 писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

в логическом смысле $\varnothing$, к примеру, предшествует $\{ \varnothing \}$ (а также всем остальным множествам).

Нельзя ли в этом месте по-подробнее разъяснить.

Профессор Снэйп писал(а):

Можно считать, что пустое множество появилось раньше всех, а все остальные были построены из уже имевшегося к тому времени пустого.

В каком смысле "пустое множество появилось раньше всех"?

Вот здесь я подробно писал об этом. Моё сообщение --- предпоследнее в теме (на текущий момент, хотя вряд ли в том форум кто-то когда-то ещё что-то будет писать), я писал как Сергей Подзоров (это моё настоящее имя). Прочитайте внимательно ту длинную телегу, и, если возникнут вопросы, спрашивайте здесь. Тогда мы всё скопируем сюда, приведём к божескому виду и обсудим.

[А.Связной]

Профессор Снэйп писал(а):

Ну... просто множества свободны от пространственно-временных характеристик, они к ним не применимы....
Вот здесь[/url] я подробно писал об этом. Моё сообщение --- предпоследнее в теме (на текущий момент, хотя вряд ли в том форум кто-то когда-то ещё что-то будет писать), я писал как Сергей Подзоров (это моё настоящее имя). Прочитайте внимательно ту длинную телегу, и, если возникнут вопросы, спрашивайте здесь. Тогда мы всё скопируем сюда, приведём к божескому виду и обсудим.

С "телегой" согласен, не согласен с утверждением.

Цитата:

Ну... просто множества свободны от пространственно-временных характеристик, они к ним не применимы....

Во-первых, потому что познание любых математических объектов начинается с простейших примеров из физической действительности с пространством и временем и только потом приходит понимание, что сами эти объекты тоже можно рассматривать как объекты действительности, но не физические, не принадлежащие физическому пространству и времени. Для этого нужен навык, опыт и способность к таким абстракциям.
Во-вторых, потому что представления человека ограничены трехмерностью восприятия. Я имею в виду, что четырех и более мерные полиномы пространственно не представишь целиком, лишь в проекциях. Конечно, их свойства и закономерности представимы в символах и формулах соответсвующих теорий. Но здесь есть одна тонкость. Эти свойства и закономерности экстраполированы снизу с изученных непосредственно низших форм. Определенно между этими объектами, присутсвуют закономерности, связи, порядок, которые нельзя редуцировать к тому же линейному порядку и выразить в формулах теорий, где базовые представимые объекты имеют меньше размерностей. Если бы непосредственный опыт ограничивался скажем двумерными моделями действительности и шар был бы непредставим, и казался кругом, а куб квадратом, то вполне возможно, что несчетным множеством считались бы рациональные числа.
В-третьих, констатация отсутсвия у множеств пространственно-временных характеристик, основанная на посылке: покажите мне, где находится в пространстве то или иное множество и что оно из себя представляет, вовсе не ведет с необходимостью к утверждению, что множества таковыми свойствами не обладают. С тем же успехом можно утверждать, что пространственная непредставимость множеств связана с тем, что их размерность превышает возможности человека по их непосредственному восприятию, а потому не редуцируема в трехмерное пространство физической действительности.

[Черный Евгений]

Уважаемый Сергей Подзоров.
Прочитал с удовольствием, спасибо. Вы пишите:
"Все дурацкие споры эпохи Просвещения (типа спора Ньютона и Лейбница о существовании бесконечно малых величин) благополучно уходят в прошлое. Однако появляется гораздо более неприятная вещь --- парадоксы.Их много."
Это не дурацкие, а неизлечимые вопросы. Их можно запретить в одном месте, тогда они неизбежно проявятся в другом. Для того, чтобы анализ существовал, совсем не обязательно обосновывать то, что нельзя обосновать в принципе. Разве что-то меняется от того, что невозможно обосновать действительное число? Разве Вам приходилось когда нибудь учитывать бесконечное число значащих цифр в вычислениях? Континуум и анализ ценны для нас тем, что позволяют точно вычислять площади и объемы, решать дифференциальные уравнения. Но когда на континууме пытаются выстроить основания физики вот именно тогда и получается полная чепуха. Тогда физики обращаются к математикам - "Ребята, у вас там все в порядке, у нас получается чепуха в квадрате - пространство вдруг начинает объединяться со временем, мы наблюдаем случайные явления (принцип неопределенности), но что может быть случайно в континууме, мире абсолютной точности и абсолютной причинности?". Так все ли в порядке? И разве могли Ньютон и Лейбниц вести дурацкие споры?

[ewert]

Черный Евгений писал(а):

Разве Вам приходилось когда нибудь учитывать бесконечное число значащих цифр в вычислениях? Континуум и анализ ценны для нас тем, что позволяют точно вычислять площади и объемы, решать дифференциальные уравнения.

Никому не приходилось (и даже точно вычислять площади и объёмы). Однако необходима точка опоры. Необходимо знать, что есть некая идеальная математическая модель, к которой мы можем (хотя бы в принципе) приблизиться сколь угодно точно. Потом уже можно будет задумываться, насколько эта модель реальна и что именно мы фактически игнорируем, принимая её.

Но если такой модели нет -- то ничего и не будет. Мы не сможем описать никакой физической реальности. Мы не сможем даже сформулировать, адекватны ли наши описания или нет, просто решительно ничего вразумительного сказать не сможем. У нас просто не будет для этого языка.

Черный Евгений писал(а):

, мы наблюдаем случайные явления (принцип неопределенности), но что может быть случайно в континууме, мире абсолютной точности и абсолютной причинности?

Континуальность не имеет ни малейшего отношения к причинности. Впрочем, в одну сторону всё же имеет: вовсе не случайно отказ от абсолютного детерминизма произошёл лишь гораздо позже введения понятия континуума. До этого, опять же, не было языка, на котором всё это можно было обсуждать.

[Someone]

Черный Евгений в сообщении #146174 писал(а):

Ребята, у вас там все в порядке, у нас получается чепуха в квадрате - пространство вдруг начинает объединяться со временем, мы наблюдаем случайные явления (принцип неопределенности), но что может быть случайно в континууме, мире абсолютной точности и абсолютной причинности?

Зачем писать бредятину от имени физиков?

[bot]

naiv1 в сообщении #145641 писал(а):

В каком смысле "пустое множество появилось раньше всех"?

Кронекер считал, что целые числа создал Бог, а остальное сделали люди. В современной логике считается, что Бог создал пустое множество, далее по тексту.

[luitzen]

bot писал(а):

Кронекер считал, что целые числа создал Бог, а остальное сделали люди.

Известную фразу Кронекера лучше всего переводить так: «Не очень понятно, откуда взялись целые числа, но вот всё остальное — дело рук человеческих».

Или даже так: «Чёрт его знает, откуда взялись целые числа…» и дальше по тексту

источник

[andrei10]

Цитата:

Можно считать, что пустое множество появилось раньше всех, а все остальные были построены из уже имевшегося к тому времени пустого

Перекликается с моей формулой происхождения Вселенной из ничего: http://www.proza.ru/texts/2008/08/02/228.html
http://dxdy.ru/topic16407.html

[Brukvalub]

Печально, что весной и осенью количество таких "открытий" сильно возрастает.
А сейчас как раз осень - уже пожелтели листья, и в воздухе разлита непонятная тревога....
Скоро все дороги заметет пурга - а на форуме уже метет пурга бредней....

[andrei10]

Тогда попробуйте доказать обратное
или по другому: Докажите, что в моих рассуждениях - ошибка.

[Brukvalub]

andrei10 в сообщении #146543 писал(а):

Тогда попробуйте доказать обратное
или по другому: Докажите, что в моих рассуждениях - ошибка.

Бредни иначе, чем называя их бреднями - не комментирую.