Связь между коэффициентами СЛАУ

[Rat]

Добрый день!

Скажите пожалуйста, можно ли получить связь между коэффициентами, если число уравнений СЛАУ больше числа неизвестных?

Поясню. Если есть однородная СЛАУ типа

$$ \left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0 \end{aligned} \right. $$

то такая система имеет тривиальное решение, если определитель матрицы ненулевой. А вот если он нулевой, то там имеются нетривиальные решения. Вот я из условия, что он равен нулю вытягиваю уравнение третьего порядка и его решаю. Таким образом, нахожу связь между коэффициентами.

А есть ли что-то аналогичное в случае неоднородного уравнения, либо если число уравнений меньше числа неизвестных (то есть если правую часть считать еще одной неизвестной)?
Оно примерно такое

$$ \left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0\\ \end{aligned} \right. $$

[zoo]

Rat в сообщении #144441 писал(а):

А есть ли что-то аналогичное в случае неоднородного уравнения, либо если число уравнений меньше числа неизвестных

есть теорема Кронекера-Капелли

[Brukvalub]

Rat в сообщении #144441 писал(а):

Вот я из условия, что он равен нулю вытягиваю уравнение третьего порядка и его решаю.

Ума не приложу, как из линейной системы можно вытянуть уравнение третьего порядка?

[Rat]

zoo в сообщении #144443 писал(а):

есть теорема Кронекера-Капелли

Насколько я понимаю, она не дает связи между коэффициентами $a_{ij}$.

Brukvalub в сообщении #144448 писал(а):

Ума не приложу, как из линейной системы можно вытянуть уравнение третьего порядка?

Да, Вы правы, это была не совсем полная формулировка, прошу прощения. Там у меня в системе у коэффициентов есть общие множители, вот уравнение на эти общие множители имелось в виду, оно получается кубическое.

[Бодигрим]

Rat в сообщении #144441 писал(а):

А есть ли что-то аналогичное в случае неоднородного уравнения

Ну да. Критерий существования решений: ранг матрицы коэффициентов совпадает с рангом расширенной (со столбцом свободных членов) матрицы коэффициентов. Это ведь он Кронекера-Капелли?

Пусть у вас эти ранги на $k$ меньше числа неоднородных уравнений в системе (типа "неизвестных больше чем уравнений"). Тогда первые $k$ переменных вы фиксируете как параметры, получаете определенную систему, из которой находите выражения остальных неизвестных через первые $k$. ФСР называется - фундаментальная система решений.

[zoo]

Rat в сообщении #144490 писал(а):

zoo в сообщении #144443 писал(а):
есть теорема Кронекера-Капелли

Насколько я понимаю, она не дает связи между коэффициентами $a_{ij}$.

не понимаете

[ewert]

Не даёт. В том смысле, что практического значения (т.е. для вычислений) эта теорема не имеет.

[zoo]

ewert писал(а):

Не даёт. В том смысле, что практического значения (т.е. для вычислений) эта теорема не имеет.

не дает связи на коэффициенты и не имеет практического значения -- разные вещи
чем условие равенства рангов матрицы системы и расширенной матрицы не связь на коэффициенты ,сбсна?

[ewert]

тем, что вычисление всех необходимых миноров трудоёмко до безумия. Практически ранги находят методом Гаусса. А это означает, что с практической точки зрения теорема Кронекера-Капелли утверждает следующее: система линейных уравнений разрешима тогда и только тогда, когда она разрешима.

[Rat]

zoo в сообщении #144551 писал(а):

не понимаете

Глупости. Увы, это Вы не понимаете этой теоремы. Иначе - продемонстрируйте

Хотя задача уже решена, просто, чтобы Вы глупости не говорили больше с умным видом.

[zoo]

Rat писал(а):

zoo в сообщении #144551 писал(а):

не понимаете

Глупости. Увы, это Вы не понимаете этой теоремы. Иначе - продемонстрируйте

Хотя задача уже решена, просто, чтобы Вы глупости не говорили больше с умным видом.

пожалуйста, Ваша же система

$$ \left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0\\ \end{aligned} \right. $$

Предположим, что определитель матрицы $A=(a_{i,j})$ равен нулю, тогда по теореме Кронекера-Капелли эта система всеравно имеет решения
например если выполнены следующие условия на коэффициенты

$$ \left| \begin{aligned} a_{11},a_{12}\\ a_{21},a_{22}\\ \end{aligned} \right|\ne 0 $$

,

$$ \left| \begin{aligned} a_{11},a_{12},b_1\\ a_{21},a_{22},0\\ a_{31},a_{32},0\\ \end{aligned} \right|= \left| \begin{aligned} a_{11},a_{13},b_1\\ a_{21},a_{23},0\\ a_{31},a_{33},0\\ \end{aligned} \right|= \left| \begin{aligned} a_{13},a_{12},b_1\\ a_{23},a_{22},0\\ a_{33},a_{32},0\\ \end{aligned} \right|=0 $$

ну и кто глкпости говорит?, хотя конечно спрашивать то, что Вы спрашиваете это уже само по себе следствие неспособности освоить курс линейки со всеми вытекающими выводами так сказать

[Rat]

zoo писал(а):

пожалуйста, Ваша же система

$$ \left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0\\ \end{aligned} \right. $$

Предположим, что определитель матрицы $A=(a_{i,j})$ равен нулю, тогда по теореме Кронекера-Капелли эта система всеравно имеет решения
например если выполнены следующие условия на коэффициенты

$$ \left| \begin{aligned} a_{11},a_{12}\\ a_{21},a_{22}\\ \end{aligned} \right|\ne 0 $$

,

$$ \left| \begin{aligned} a_{11},a_{12},b_1\\ a_{21},a_{22},0\\ a_{31},a_{32},0\\ \end{aligned} \right|= \left| \begin{aligned} a_{11},a_{13},b_1\\ a_{21},a_{23},0\\ a_{31},a_{33},0\\ \end{aligned} \right|= \left| \begin{aligned} a_{13},a_{12},b_1\\ a_{23},a_{22},0\\ a_{33},a_{32},0\\ \end{aligned} \right|=0 $$

ну и кто глкпости говорит?, хотя конечно спрашивать то, что Вы спрашиваете это уже само по себе следствие неспособности освоить курс линейки со всеми вытекающими выводами так сказать

Абсолютно бессмысленный текст. Какой смысл что-то искать, если уже в самом начале вы предположили, что определитель матрицы равен нулю? Это и есть связь на коэффициенты.
Вы совсем ничего не понимаете.

[Really]

В случае неоднородной системы с необратимой матрицей решения
может и не быть, поскольку образ оператора не совпадает со всем
пространством. Соответственно требование: правая часть принадлежит
образу. Любое решение, если оно существует, будет неединственно:
прибавление любого вектора из ядра тоже будет решением. То что
написал zoo и должно гарантировать существование решения.

Добавлено спустя 1 час 36 минут 59 секунд:

Кстати, требование $rank(A)=2$ избыточное. Тем более, если ставить
его так как поставил zoo, то достаточно только одного определителя третьего порядка. В данном случае можно потребовать, чтобы первая строчка была ненулевая.

[zoo]

Really в сообщении #145936 писал(а):

Кстати, требование $rank(A)=2$ избыточное. Тем более, если ставить
его так как поставил zoo, то достаточно только одного определителя третьего порядка. В данном случае можно потребовать, чтобы первая строчка была ненулевая.

что значит "избыточное", что значит "достаточно"? В качестве теоремы свою мысль сформулируйте.

[Really]

Вы указали требование (назовем его условие А)

$$ \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|\neq 0. $$

Его избыточность заключается вот в чем. Условие А вовсе не является необходимым для существования решения. Вы этого и не утверждали,
я просто это отметил. Контр-пример - матрица у которой все элементы равны нулю, кроме $a_{11}$. Решением будет $(1/b_1,x_2,x_3)$.

Насчет того, что достаточно одного определителя, формулирую в виде теоремы.

Теорема. Пусть выполнено условие А и определитель матрицы
составленной из 1-го, 2-го столбцов и правой части равен нулю. Тогда указанная система имеет решение.

Док-во: Из условия А следует, что 1-й и 2-й столбцы линейно независимы. Если определитель матрицы составленной из 1-го, 2-го столбцов и правой части
равен нулю, то эти векторы линейно зависимы и $\exists$ линейная комбинация равная нулю.
В ней коэф. при св. члене (ну и тогда естественно еще какой-то) не равен нулю. Получаем решение.