Отличие алгебры от математического анализа

[skobar]

Dedekind в сообщении #1715196 писал(а):

А в это уже сложно поверить. Вам, конечно, виднее, я американцам не преподавал. Но читал много учебников калькулюса, и ни в одном из них не путали определенный и неопределенный интегралы.

Ещё сложнее поверить, что в американских университетах учатся студенты, не умеющие складывать дроби, но это медицинский факт. Calculus часто берут какие-нибудь студенты-биологи и уровень можно себе представить. Если вы ориентированы на математику, то лучше читать сразу более серьезные учебники по (real) analysis. Хотя есть авторы, которые увлекательно и грамотно пишут и на уровне calculus-a, например, George F. Simmons "Calculus Gems".

-- 18.01.2026, 19:35 --

PS Я говорю о реальном уровне в классах студентов, берущих calculus, он ниже, чем уровень в учебниках. Хотя и в учебниках тоже встречаются ляпы.

[Dedekind]

skobar
Нет, я не сомневаюсь, что студенты могут и дроби не уметь складывать, и интегралы путать. Просто я Ваши слова понял так, что это, якобы, нормально для самого изложения предмета. Что противоречит моему опыту знакомства с ним.

[Евгений Машеров]

Думается, исходно это не шутка, а наглядная иллюстрация (для восьмого и десятого, соответственно, класса) формулы куба суммы и интеграла от квадрата. Поясняющая, откуда в одной формуле коэффициент 3, а в другой 1/3.
Если тут и есть шутка, то в объявлении первой картинки "алгеброй вообще", а второй "матанализом вообще".

[skobar]

Спросил у AI (google), что он думает про картинку:

This image presents a visual comparison between algebraic and calculus-based methods for calculating the volume of a cube. It uses geometric dissections to represent mathematical identities. 
- Algebraic Representation: The left side illustrates the expansion of the binomial $(x+\omega )^{3}$. It breaks down a cube with side length $x+\omega$ into eight constituent parts: one $x^{3}$ cube, three $x^{2}\omega$ rectangular prisms, three $x\omega ^{2}$ rectangular prisms, and one $\omega ^{3}$ small cube.
- Calculus Representation: The right side displays the decomposition of a cube $x^{3}$ into three identical pyramids (specifically "yangma" in Chinese mathematics).
- Calculus Formula: It uses the definite integral $\int x^{2}\,dx$ to represent the volume of one of these pyramids, showing that the total volume $x^{3}$ is the sum of three such integrals.

AI согласен со мной :)

[AleksandrBegemot]

skobar в сообщении #1715231 писал(а):

Спросил у AI (google), что он думает про картинку:

Я ввел картинку в поисковую строку Гугла и он выдал похожие картинки.

Самая первая (крайняя слева в первом ряду) оказалась с пояснительным текстом.

[skobar]

AleksandrBegemot в сообщении #1715243 писал(а):

Я ввел картинку в поисковую строку Гугла и он выдал похожие картинки
.

Ссылка не работает, но она и не нужна. Все уже понятно. Выше я все написал, и AI тоже самое повторил в разжеванном виде. Была небольшая трудность с пониманием того, на какие именно три части разбивается куб в правой части картинки (это неочевидно), но после некоторого умственного усилия это разрешилось:

skobar в сообщении #1715177 писал(а):

Ан нет, на картинке куб разбит на три равные части, просто из картинки не очевидно, что это за части. Каждая часть представляет из себя пирамиду, имеющую квадратное основание.

AI просветил нас насчет того, как такая часть разбиения куба называется:

A Yangma (陽馬) is an ancient Chinese term for a specific type of square-based pyramid, crucial in classical Chinese mathematics for demonstrating that three identical Yangma can perfectly form a cube, proving the volume of such a pyramid is one-third the volume of the cube it fits into. These dissections, involving related shapes like qiandu (triangular prisms) and bie'nao (tetrahedrons), reveal geometric relationships used by mathematicians like Liu Hui.

По-моему вопросов больше не осталось, согласны?

[AleksandrBegemot]

skobar в сообщении #1715246 писал(а):

AleksandrBegemot в сообщении #1715243 писал(а):

Я ввел картинку в поисковую строку Гугла и он выдал похожие картинки
.

Ссылка не работает, но она и не нужна. Все уже понятно.

По-моему вопросов больше не осталось, согласны?

Если не рассматривать эту картинку, то да.

[skobar]

AleksandrBegemot в сообщении #1715249 писал(а):

Если не рассматривать эту картинку
, то да.

В новой картинке добавляется что-то из другой оперы (визуализация производной?), не имеющее отношение к изначальной картинке и вопросу. По-моему, имеется вполне логичное завершенное объяснение исходной картинки, зачем добавлять к ней что-то ещё?

[AleksandrBegemot]

skobar в сообщении #1715255 писал(а):

AleksandrBegemot в сообщении #1715249 писал(а):

Если не рассматривать эту картинку
, то да.

В новой картинке добавляется что-то из другой оперы (визуализация производной?), не имеющее отношение к изначальной картинке и вопросу. По-моему, имеется вполне логичное завершенное объяснение исходной картинки, зачем добавлять к ней что-то ещё?

Название картинки смущает. Типа связь Евклидовой геометрии с Декартовой топологией. Особенно смущает вертикальный отрезок под касательной. Вроде бы он должен визуализировать дифференциал, а тут он обозначен как частный интеграл, если рассматривать определения Эйлера.

Дифференциал и интеграл в одном и том же виде как-то попахивает когнитивным диссонансом...

[skobar]

AleksandrBegemot в сообщении #1715257 писал(а):

Название картинки смущает. Типа связь Евклидовой геометрии с Декартовой топологией. Особенно смущает вертикальный отрезок под касательной. Вроде бы он должен визуализировать дифференциал, а тут он обозначен как частный интеграл, если рассматривать определения Эйлера.

Дифференциал и интеграл в одном и том же виде как-то попахивает когнитивным диссонансом...

То есть теперь у вас возник другой вопрос по другой картинке. Вообще, это странное занятие анализировать каждую надпись на заборе :)

[AleksandrBegemot]

skobar в сообщении #1715258 писал(а):

То есть теперь у вас возник другой вопрос по другой картинке.

1. Вопрос тот же самый. И картинка та же самая, только с уточнением. В уточнении алгебраический куб разделен на такие же три пирамиды, как и куб аналитический.

2. То есть, теперь различие между алгеброй и матанализом сводится не к сравнению двух кубов между собой, а к сравнению двух пирамид: по одной из обоих кубов.

3. На первой картинке сравнивались объемы двух кубов. Один куб - алгебраический, состоящий из восьми биномиальных частей. Другой куб - аналитический, состоящий из трех интегральных частей.

4. На второй картинке из объемов двух кубов выделены объемы по одной из трех пирамид от каждого из двух кубов.

5. Пирамиды и кубы - объекты из Евклидовой геометрии. Графики функций и площади под ними - объекты из Декартовой топологии.

6. На второй картинке показаны три изображения из Декартовой топологии с привязкой к объектам Евклидовой геометрии.

7. Вверху евклидовы кубики. Один алгебраический, другой аналитический. И один Декартов график. Подразумевается, что график функции - химера, состоящая из смеси одной трети объема алгебраического куба и одной трети аналитического куба. То есть, в п е р е м е ш к у.

8. Внизу верхний график разделен на две части. На одной части: слева показан объем алгебраической пирамиды под линией графика. На второй части: справа показан объем аналитической пирамиды под линией графика.

9. Теперь самый важный момент. На двух нижних изображениях из двух евклидовых пирамидок выделены п р и р а щ е н и я их объемов.

10. На двух нижних графиках сравниваются два этих приращения объемов в виде Декартовых топологических площадей. Слева- разноцветная площадь. Справа - синяя.

11. Теперь можно посмотреть что же такое вертикальный отрезок под касательной. Это дифференциал, или частный интеграл?

[Mikhail_K]

AleksandrBegemot
Откуда у Вас эти фантазии ? Что за алгебраические и аналитические кубы? Что ещё за "топологические площади"? Что, по-Вашему, такое "декартова топология"?

Хотите разобраться - срочно откладывайте в сторону эти свои картинки и берите учебники: по математическому анализу, линейной алгебре и аналитической геометрии, топологии.

[AleksandrBegemot]

Mikhail_K в сообщении #1715270 писал(а):

AleksandrBegemot
Откуда у Вас эти фантазии ? Что за алгебраические и аналитические кубы? Что ещё за "топологические площади"? Что, по-Вашему, такое "декартова топология"?

Хотите разобраться - срочно откладывайте в сторону эти свои картинки и берите учебники: по математическому анализу, линейной алгебре и аналитической геометрии, топологии.

Идите а библиотеку и изучайте матчасть по оригиналам, а не по чьим-то версиям. Что такое "декартова топология"?! Открывайте работу Рене Деарта: "Правила для руководства ума" и читайте в оригинале. )))

Еще раз: УЧЕБНИК - это чья-то версия прочитанного первоисточника. Для тех, кто не в состоянии самостоятельно изучать первоисточник. То есть, для тех, чей мозг не в состоянии самостояттельно осилить первоисточник. Версия автора учебника может быть неверно понятой. Поэтому, чтобы знать истину надо самому лично ознакомиться с первоисточником.

Так, что открывайте Декарта в оригинвле и, в случае успеха, Вы тоже сможете узнать, что же такое: ДЕКАРТОВА ТОПОЛОГИЯ. )))

[skobar]

AleksandrBegemot
Какая ваша цель? Вы хотите разобраться в calculus-е, в матанализе, или в исторических работах Декарта? Это все разные вещи.

[Dedekind]

AleksandrBegemot
Для того, чтобы осмысленно изучать исторические первоисточники, нужно УЖЕ быть знакомым с математикой по современным учебникам. Иначе очень большой риск либо ничего не понять, либо, что хуже, понять все превратно. Судя по Вашим "картинкам" - Вы склоняетесь ко второму случаю.