Еще раз про деление на ноль и значение синуса, достигающее 4

[sergey zhukov]

Shkuroderov
Смысл запрета "делить на ноль нельзя" не в том, что бесконечность получается (это и так очевидно), а в том, что нельзя вот так "сокращать":

$$a^2-a^2=a^2-a^2$$

$$(a+a)(a-a)=a(a-a)$$

$$2a=a$$

$$2=1$$

Т.е. прежде чем что-то "сократить" с обеих сторон равенства (т.е. на это самое обе части равенства поделить), нужно убедиться, что это самое не ноль. Иначе можно доказать, что $2=1$.

[Shkuroderov]

Red_Herring в сообщении #1704265 писал(а):

Shkuroderov в сообщении #1704218 писал(а):

я с математикой знаком в пределах курса средней школы

Замечательно. У вас есть вопросы--так вам в "Помогите решить/разобраться (М)". А вовсе не в "Дискуссионные темы (М)".

Ну пусть админ перенесет этот топик в другой раздел. Делов.

[Shkuroderov]

Gastrit в сообщении #1704260 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1704256 писал(а):

под делением понимается операция, обратная умножению.

Именно так. Есть функция $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$, с графиком, составленным из всевозможных точек вида $(a,b,ab)\in\mathbb R^3$. И есть обратное к ней отношение с графиком, составленным из точек вида $(ab,a,b)\in\mathbb R^3$. Это отношение не является графиком функции ввиду неоднозначности определения значения $b$ парой $(ab,a)\in\mathbb R^2$ в случае $ab=a=0$, и потому в школе такой случай механически отбрасывают (разумеется, парить младшеклассникам мозги многозначными отображениями бессмысленно, если не прямо вредно). Но это никак не отменяет того, что формальное обращение умножения даёт именно многозначную (в одной точке) функцию.

И прав гражданства многозначных функций как таковых (в частности, линейных отношений наряду с линейными операторами в функциональном анализе) в математике как таковой принятые в младшей школе договорённости тоже не умаляют.

EUgeneUS в сообщении #1704256 писал(а):

"Курс дифференциального и интегрального исчисления" Фихтенгольца и раскрытие неопределённости вида 0/0 к этому отношения не имеют.

Имеют, и самое прямое. Неопределённости связаны в том числе с тем фактом, что предел произведения сходящихся последовательностей есть произведение пределов сомножителей. И пределы эти - именно числа. То есть в случае $x_n\to a$, $y_n\to b$ и $(x_n/y_n)\to c$ точка $(b,c,a)\in\mathbb R^3$ лежит на графике умножения, а точка $(a,b,c)\in\mathbb R^3$ - на графике "честного" (то есть многозначного) деления. Факт этой многозначности по существу пресловутую неопределённость и создаёт.

А вот и товарищщ Гастрит подтянулся. :)
Скучно не будет.

-- 03.10.2025, 10:20 --

Цитата:

А вот и товарищщ Гастрит подтянулся. :) Скучно не будет.

Надо, пожалуй, еще Алфизика пригласить :)

[EminentVictorians]

Gastrit в сообщении #1704260 писал(а):

Именно так. Есть функция $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$, с графиком, составленным из всевозможных точек вида $(a,b,ab)\in\mathbb R^3$. И есть обратное к ней отношение с графиком, составленным из точек вида $(ab,a,b)\in\mathbb R^3$. Это отношение не является графиком функции ввиду неоднозначности определения значения $b$ парой $(ab,a)\in\mathbb R^2$ в случае $ab=a=0$, и потому в школе такой случай механически отбрасывают (разумеется, парить младшеклассникам мозги многозначными отображениями бессмысленно, если не прямо вредно). Но это никак не отменяет того, что формальное обращение умножения даёт именно многозначную (в одной точке) функцию.

Почему в одной точке? Уможение это (однозначная) функция вида $\mathbb R^2 \to \mathbb R$. Обратной к этой функции будет многозначная функция вида $\mathbb R \to \mathbb R^2$. А у вас написана какая-то не особо понятная фраза про " неоднозначность определения значения $b$ парой $(ab,a)\in\mathbb R^2$ ", как будто под обратной функцией (которая многозначная) вы почему-то считаете такого вида: $\mathbb R^2 \to \mathbb R$, а не $\mathbb R \to \mathbb R^2$ как надо бы.

Фраза "деление - это функция, обратная умножению" - это не более, чем фигура речи. Строго говоря, деление (как функция вида $\mathbb R \times (\mathbb R \backslash \{0\}) \to \mathbb R$) не является функцией, обратной к умножению (функции вида $\cdot: \mathbb R^2 \to \mathbb R$).

Неоднозначность (многозначной) функции, обратной к умножению (то есть функции вида $ \mathbb R \to \mathbb R^2$) будет в любой точке, а не только в одной.

У деления (функции вида $\mathbb R \times (\mathbb R \backslash \{0\}) \to \mathbb R$) никакой неоднозначности нету, она - нормальная однозначная функция.

Вы, по-моему, хотите рассматривать функцию, которая по произведению и первому множителю выдает второй. Так можно, и она действительно будет многозначной в единственной точке $(0, 0)$. Но называть её "формальным обращением умножения" не стоит.

[Gastrit]

EminentVictorians в сообщении #1704312 писал(а):

Фраза "деление - это функция, обратная умножению" - это не более, чем фигура речи.

Да, разумеется. Формально, конечно, там должно быть $\mathbb R\to\mathbb R^2$, как Вы и пишете. Но коль скоро эта фигура речи была употреблена, я ею и воспользовался.

EminentVictorians в сообщении #1704312 писал(а):

Вы, по-моему, хотите рассматривать функцию, которая по произведению и первому множителю выдает второй.

Снова да. Именно это, то есть решение уравнения $bx=a$, ведь и понимается под "частным двух чисел $a$ и $b$". И тут надо понимать, что устранение из рассмотрения случая $a=b=0$ связано не с тем, что уравнение не имеет решений (в отличие от случая $a\neq b=0$), а с тем, что таких решений слишком много (а мы хотим иметь дело с однозначной функцией). То есть обусловлено посторонними по отношению к исходной задаче соображениями.

[ozheredov]

Shkuroderov в сообщении #1704294 писал(а):

А вот и товарищщ Гастрит подтянулся. :)
Надо, пожалуй, еще Алфизика пригласить :)

Типа, mathhelpplanet накрылся медным тазом и теперь все тамошние перетянулись сюда?

[Shkuroderov]

Цитата:

Надо, пожалуй, еще Алфизика пригласить :)

Алфизик, кстати, не придет. Сказал, что не хочет лишний раз разводить дискуссии с Гастритом.
А тем, кто такие дискуссии вести будет, посоветовал быть готовыми ко всему :)

[Altenter]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1704265 писал(а):

Я вас понимаю: учиться неохота, а охота дискутировать. Тогда вам в "Математический Институт им В.А.Стеклова РАН"

Математика - она как мода: за ней нельзя угнаться, ее можно только диктовать

[Gastrit]

И вот какая же интересная теперь у нас получается картинка.

Сколько у пользователей было праведного гнева, пока ситуация трактовалась со слов инициатора ветки - который, по собственному признанию,

Shkuroderov в сообщении #1704218 писал(а):

с математикой знаком в пределах курса средней школы (да и то...)

Вот раз:

Mihr в сообщении #1704241 писал(а):

Смею вас заверить: gastrit вам соврал.

Вот два:

EUgeneUS в сообщении #1704256 писал(а):

это шулерство и подмена понятий со стороны Вашего оппонента.

Вообще-то обвинения это достаточно серьёзные. Однако после появления моих комментариев о том, что же имел в виду непосредственно я (а не что с моих слов сумел "в пределах курса средней школы, да и то" понять и пересказать тут инициатор ветки), наступает полная тишина. Ни указаний на неверность сказанного мной. Ни признаний, что обвинения в мой адрес были основаны на неверной оценке моей позиции, и потому отзываются. В чём дело, граждане участники?

[wrest]

Gastrit в сообщении #1704433 писал(а):

В чём дело, граждане участники?

Вероятно в том, что Shkuroderov троллил (с вашей подачи) по незнанию, а вы -- намеренно.

[Mihr]

Gastrit в сообщении #1704433 писал(а):

В чём дело, граждане участники?

Было сказано так:

Mihr в сообщении #1704241 писал(а):

Shkuroderov в сообщении #1704218 писал(а):

Более того — оно в математике осуществляется чуть ли не на каждом шагу.

Смею вас заверить: gastrit вам соврал.

Если правы вы, а не я, приведите несколько примеров этого "деления на ноль, встречающегося в математике чуть ли не на каждом шагу".
Правило Лопиталя здесь абсолютно ни при чём, если что. Его использование деления на ноль не предполагает.
Более годные примеры есть?

Gastrit в сообщении #1704433 писал(а):

наступает полная тишина

Так пока просто не о чем говорить.

[Gastrit]

Mihr в сообщении #1704436 писал(а):

Правило Лопиталя здесь абсолютно ни при чём, если что

Правило Лопиталя здесь вообще ни при чём. Его приплёл к делу инициатор ветки, не умеющий замечать в математических текстах ничего, кроме громких фамилий (см. выше приводимые им же цитаты о том, как он пытается отмести ссылки на те места из учебника Фихтенгольца, где неопределённость есть, а фамилии Лопиталя нет).

Mihr в сообщении #1704436 писал(а):

Более годные примеры есть?

Вы, вероятно, пропустили сообщение выше, адресованное как раз лично Вам в ответ на Ваш комментарий. Ну что ж, повторю:

Gastrit в сообщении #1704261 писал(а):

Дробно-линейные отображения комплексной плоскости обычно рассматриваются на сфере Римана, где $1/0$ будет давать бесконечную точку.

Во избежание ожидаемых упрёков в том, что там "деление" ненастоящее и неправильное: речь в моей длинной дискуссии с начавшим данную ветку невеждой никогда не шла о том, что якобы можно решить "проблему деления на нуль" раз и навсегда каким-то единственным магическим образом. Речь шла исключительно о том, что выражения, содержащие формальное деление на нуль, в современной математике отнюдь не всегда считаются априори бессмысленными (как то утверждал со ссылкой на учебник 2-го класса школы мой оппонент).

[Mihr]

Gastrit, утверждение о том. что деление на ноль встречается в математике "чуть ли не на каждом шагу" вы делали или нет? Если да, приведите, пожалуйста, хотя бы пять-шесть примеров. Полагаю, для того, что происходит "чуть ли не на каждом шагу", это сделать нетрудно?
Вы пока привели один пример, и то совершенно неубедительный. Как-то маловато для того, чтобы делать столь общие (и столь громкие) выводы.

Gastrit в сообщении #1704438 писал(а):

Речь шла исключительно о том, что выражения, содержащие формальное деление на нуль, в современной математике отнюдь не всегда считаются априори бессмысленными

Тогда стоило именно так и говорить.

[Gastrit]

Mihr в сообщении #1704440 писал(а):

Вы пока привели один пример, и то совершенно неубедительный.

Так, стоп. "Убедительность" и "неубедительность" - это вкусовщина. Вы лично вообще можете считать, что комплексный анализ представляет собой совершенно второстепенный раздел математики (а центральным является, например, теория категорий). Но давайте всё же для начала зафиксируем факты.

Верно ли, что в 1-ом томе "Теории аналитических функций" А.И.Маркушевича, в параграфе 4.2 про функцию вида $w=L(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ сказано, что она осуществляет взаимно однозначное отображение расширенной плоскости самоё на себя, и никаких оговорок на тему неопределённости этой функции в точке $z=-d/c$ не делается? Верно ли, что чуть дальше в том же параграфе композицией отображений $L(z)=z/(z+1)$ и $L_1(z)=(z+1)/(z-1)$ названо отображение $L_1L(z)=-2z-1$ опять же без оговорок на тему якобы неопределённости этой композиции в точке $z=-1$?

И верно ли, наконец, что такое обращение с комплексными числами и функциями от них не составляет отличительную черту именно Маркушевича?

Если ответ на эти вопросы - "да", то дальнейшее обсуждение того, на "каждом" ли шагу деление на нуль встречается в математике, или же только "через два шага на третий", будет являться не относящейся к делу казуистикой. Вам правда не кажется, что такие ковыряния следует оставить шкуродёровым с их "на школьном уровне, да и то"?

Mihr в сообщении #1704440 писал(а):

Тогда стоило именно так и говорить.

Так я именно так и говорил. Повторю ещё раз: суть дискуссии изначально тут была известна исключительно со слов Шкуродёрова (чей уровень понимания охарактеризован им же самим известно как).

[Mihr]

Gastrit, Маркушевича не читал. Использовал Евграфова. Верно ли, что у Маркушевича написано именно так, проверять не буду. Тут спорить не о чем. Переход к расширенной комплексной плоскости предполагает операции не только с числами, но и символом бесконечности. Равенства типа $\dfrac{1}{0}=\infty$ писать можно, но их обычно называют символическими равенствами, подчёркивая тем самым отличие от обычных равенств.
Других примеров, как я понимаю, у вас нет? Это и есть ваше "чуть ли не на каждом шагу"? Тогда я не отказываюсь от своих слов: вы действительно соврали своему собеседнику в том обсуждении.