Гипотеза о симметричных простых близнецах

[Altenter]

Ryzl в сообщении #1704847 писал(а):

Давайте сначала.
1. Вокруг каждого числа есть симметричные простые близнецы (более одной пары).

Это Ваше утверждение, даже как гипотеза трижды неверное:
1. Пропустили слово "четного", т.е. "вокруг каждого четного"
2. Приведите 2 пары симметричных относительно числа 6 простых близнецов. (т.е. должно быть "хотябы одна пара" вместо "(более одной пары)".
3. Начиная с числа 4, т.к. 1 не принадлежит к простым.

Итого, Ваша гипотеза звучит так: Вокруг каждого четного числа, начиная с 4 есть хотя бы 1 пара симметричных простых близнецов.

и она более строгая (более узкая), чем бинарная проблема Гольдбаха. Т.е. если бинарная проблема Гольдбаха будет доказана, то это вовсе не означает, что Ваша гипотеза тоже будет доказана, но если Ваша гипотеза будет доказана, то проблема Гольдбаха также будет доказана.

Ryzl в сообщении #1704847 писал(а):

2. Каждое число есть половина четного числа.

Следовательно любое четное число есть сумма двух простых чисел.

Что не так?

Очевидно, что второе не следует из первого.

[Dmitriy40]

Altenter в сообщении #1705290 писал(а):

1. Пропустили слово "четного", т.е. "вокруг каждого четного"

Нет, вокруг всех нечётных больше 3 тоже есть: по гипотезе Гольдбаха есть два простых, в сумме дающих удвоенное нечётное, т.е. симметричных относительно этого нечётного. Фактически это нечётное будет средним арифметическим двух простых, а оно очевидным образом симметрично относительно двух своих аргументов.

[Altenter]

Dmitriy40 в сообщении #1705300 писал(а):

Altenter в сообщении #1705290 писал(а):

1. Пропустили слово "четного", т.е. "вокруг каждого четного"

Нет, вокруг всех нечётных больше 3 тоже есть: по гипотезе Гольдбаха есть два простых, в сумме дающих удвоенное нечётное, т.е. симметричных относительно этого нечётного. Фактически это нечётное будет средним арифметическим двух простых, а оно очевидным образом симметрично относительно двух своих аргументов.

Да, спасибо за поправку, это я затупил. Симметричные близнецы при суммировании равны их удвоенному среднему арифметическому, само это среднее арифметическое может быть как четным, так и нечетным.

Тогда: Вокруг каждого числа, начиная с 4 есть хотя бы 1 пара симметричных простых близнецов. Но я не вижу пока как можно показать эквивалентность этого утверждения утверждению: любое четное число, начиная с 4 можно представить в виде суммы 2-х простых чисел.

Например число 14 является среднеарифметическим 2-х простых 11 и 17, но как из этого следует, что 14 можно представить в виде суммы 2-х простых?

[manul91]

Altenter в сообщении #1705303 писал(а):

Например число 14 является средн[i]еарифметическим 2-х простых 11 и 17, но как из этого следует, что 14 можно представить в виде суммы 2-х простых?

14 поделить на 2, получим 7. Теперь поскольку (по предположению) "...вокруг каждого числа, начиная с 4 есть хотя бы 1 пара симметричных простых близнецов.." - значит вокруг 7 таких простых есть тоже. А значит, это именно те простые числа чья сумма и даст 14.

Если удвоить "каждого числа, начиная с 4", то в итоге и получим все четные числа (за исключением 2,4 и 6 для которых все можно непосредственно проверить).

[Altenter]

manul91 в сообщении #1705305 писал(а):

Altenter в сообщении #1705303 писал(а):

Например число 14 является средн[i]еарифметическим 2-х простых 11 и 17, но как из этого следует, что 14 можно представить в виде суммы 2-х простых?

14 поделить на 2, получим 7. Теперь поскольку (по предположению) "...вокруг каждого числа, начиная с 4 есть хотя бы 1 пара симметричных простых близнецов.." - значит вокруг 7 таких простых есть тоже. А значит, это именно те простые числа чья сумма и даст 14.

Если удвоить "каждого числа, начиная с 4", то в итоге и получим все четные числа (за исключением 2,4 и 6 для которых все можно непосредственно проверить).

Спасибо, дошло, значит это эквивалент бинарной гипотезы Гольдбаха.

Если любое четное число представимо в виде суммы 2-х простых, то эти простые обязательно являются симметричными близнецами относительно половины этого четного числа. Также любые 2 простых числа являются симметричными близнецами относительно их полусуммы.

-- 10.10.2025, 17:54 --

Интересно было бы оценить эффективность поиска простых на основе принятия справедливости этой гипотезы. Например берем четное число на порядок большее самого большого известного простого, какие-то меньшие простые будут иметь относительно этого центра близнецов и достаточно прибавлять к этому центру разность между ним и простым и прибавлять эту разность к центу, а затем проверять на простоту. Сколько простых меньщих этого центра, столько и надо будет проверить и найти хотя бы 1 простое больше.

[Ryzl]

Altenter в сообщении #1705307 писал(а):

manul91 в сообщении #1705305 писал(а):

Altenter в сообщении #1705303 писал(а):

Например число 14 является средн[i]еарифметическим 2-х простых 11 и 17, но как из этого следует, что 14 можно представить в виде суммы 2-х простых?

14 поделить на 2, получим 7. Теперь поскольку (по предположению) "...вокруг каждого числа, начиная с 4 есть хотя бы 1 пара симметричных простых близнецов.." - значит вокруг 7 таких простых есть тоже. А значит, это именно те простые числа чья сумма и даст 14.

Если удвоить "каждого числа, начиная с 4", то в итоге и получим все четные числа (за исключением 2,4 и 6 для которых все можно непосредственно проверить).

Спасибо, дошло, значит это эквивалент бинарной гипотезы Гольдбаха.

Если любое четное число представимо в виде суммы 2-х простых, то эти простые обязательно являются симметричными близнецами относительно половины этого четного числа. Также любые 2 простых числа являются симметричными близнецами относительно их полусуммы.

-- 10.10.2025, 17:54 --

Интересно было бы оценить эффективность поиска простых на основе принятия справедливости этой гипотезы. Например берем четное число на порядок большее самого большого известного простого, какие-то меньшие простые будут иметь относительно этого центра близнецов и достаточно прибавлять к этому центру разность между ним и простым и прибавлять эту разность к центу, а затем проверять на простоту. Сколько простых меньщих этого центра, столько и надо будет проверить и найти хотя бы 1 простое больше.

Я попробовал применить гипотезу для поиска простых чисел (подбор кандидатов)
Мой комп справляется только с N=10^20 (десять в двадцатой степени)
А вот Google Colab справился с N=10^20 за 10 минут -
---
Тестируем p = 11...
Вычислено P = 99999999999999999989. Проверяем простоту...
99999999999999999989 — простое!
Найдено простое число P = 99999999999999999989. Завершаем поиск.
---

Не знаю можно ли здесь код программы предоставить? :)

P.S. рискну

import math

def divisible_by_known(n):
    """Проверка делимости числа n по известным простым делителям с признаками."""
    
    # Делимость на 2 (число четное)
    if n % 2 == 0:
        print(f"{n} делится на 2 (четное число)")
        return True
    
    # Делимость на 3 (сумма цифр кратна 3)
    digits_sum = sum(int(d) for d in str(n))
    if digits_sum % 3 == 0:
        print(f"{n} делится на 3 (сумма цифр {digits_sum} кратна 3)")
        return True
    
    # Делимость на 5 (оканчивается на 0 или 5)
    last_digit = str(n)[-1]
    if last_digit == '0' or last_digit == '5':
        print(f"{n} делится на 5 (оканчивается на {last_digit})")
        return True
    
    # Делимость на 7, 11, 13 проверяем обычным остатком
    for d in [7, 11, 13]:
        if n % d == 0:
            print(f"{n} делится на {d}")
            return True

    return False


def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    if divisible_by_known(n):
        return False
    limit = int(math.isqrt(n))
    for i in range(17, limit + 1, 2):  # начинаем с 17, после простых делителей
        if n % i == 0:
            print(f"{n} делится на {i}")
            return False
    print(f"{n} — простое!")
    return True


def primes_up_to_100():
    primes = []
    for num in range(2, 101):
        is_p = True
        for divisor in range(2, int(math.sqrt(num)) + 1):
            if num % divisor == 0:
                is_p = False
                break
        if is_p:
            primes.append(num)
    return primes


def find_prime_p(N):
    half = N // 2
    primes_under_100 = primes_up_to_100()
    for p in primes_under_100:
        print(f"Тестируем p = {p}...")
        k = half - p
        P = half + k
        print(f"Вычислено P = {P}. Проверяем простоту...")
        if is_prime(P):
            print(f"Найдено простое число P = {P}. Завершаем поиск.")
            return P
        else:
            print(f"P = {P} не простое, продолжаем...")
    print("Простое число по заданному поиску не найдено.")
    return None


if __name__ == "__main__":
    # это число на 10 порядков больше самого большого известного простого
    # N = 10**4100010
    N = 10**20
    find_prime_p(N)

[wrest]

Ryzl в сообщении #1705417 писал(а):

Мой комп справляется только с N=10^20 (десять в двадцатой степени)

Отлично, вы не могли бы тогда найти по одной паре простых, дающих в сумме четные числа из диапазона от $4\cdot 10^{18}$ до $1\cdot 10^{20}$, для каждого четного из этого диапазона?

[Ryzl]

wrest в сообщении #1705460 писал(а):

Ryzl в сообщении #1705417 писал(а):

Мой комп справляется только с N=10^20 (десять в двадцатой степени)

Отлично, вы не могли бы тогда найти по одной паре простых, дающих в сумме четные числа из диапазона от $4\cdot 10^{18}$ до $1\cdot 10^{20}$, для каждого четного из этого диапазона?

Нет, не могу.

А вот найти претендента на простое число вполне вероятно.

Сейчас на Google Colab я ищу претендента на простое число в диапазоне от 10^{50000}/2 до 10^{50000}

Кстати, претендент будет отличаться от чисел Мерсенна.

P.S. программа на C++ делает проверку гаааараздо быстрее!

[Dmitriy40]

wrest
А Вы видели реализацию isprime() в коде? Там же проверка всех делителей до корня! Даже не на простые, тупо на все нечётные. Неудивительно что считает 10 минут.
Ryzl
Хотя в sympy есть готовая и достаточно правильная isprime(). А ещё просто prevprime() оттуда же. И с ними всё считается мгновенно, покажу код на PARI:

? n=10^20; b=n; while(1, b=precprime(b-1); if(isprime(n-b), print(n-b,"+",b,"=",n); break); );
11+99999999999999999989=100000000000000000000
? ##
  ***   last result computed in 0 ms.
? n=10^50; b=n; while(1, b=precprime(b-1); if(isprime(n-b), print(n-b,"+",b,"=",n); break); );
383+99999999999999999999999999999999999999999999999617=100000000000000000000000000000000000000000000000000
? ##
  ***   last result computed in 0 ms.

На Питон переводят желающие, обе нужные функции (isprime, prevprime) есть в sympy.

А если уж проверять большой интервал, то надо использовать решето и прямо по нему и проверять простоту больших чисел. Меньшие хранить отдельно, их надо то пару тысяч (до примерно 10-20 тысяч, до 4e18 точно хватает простых до 10000). И скорость будет ограничена фактически скоростью решета.

Ryzl в сообщении #1705476 писал(а):

Сейчас на Google Colab я ищу претендента на простое число в диапазоне от 10^{50000}/2 до 10^{50000}

Извращение. Делается одной командой nextprime() или prevprime(), обе из sympy.

[wrest]

Ryzl в сообщении #1705476 писал(а):

Сейчас на Google Colab я ищу претендента на простое число в диапазоне от 10^{50000}/2 до 10^{50000}

Удачи