Гипотеза о симметричных простых близнецах

[Dmitriy40]

Ryzl в сообщении #1704847 писал(а):

Что не так?

Первое не доказано. Это и есть гипотеза Гольдбаха.
Вы постоянно путаете прямое утверждение и обратное, прямое: любые два нечётных (или простых) числа $a,b$ симметричны относительно целого числа $\frac{a+b}{2}$ вдвое меньшего чётного числа $a+b$; обратное: для любого чётного числа есть симметричные относительно его половины простые, не просто нечётные (это тривиально), а именно простые. Это разные утверждения и второе из первого никак не следует и его надо доказать.

[Cantata]

Попросила Дипсик сформулировать:
1) Проблема плотности. Простые числа становятся реже с ростом N.
Нужно доказать, что даже при стремлении N к бесконечности их всё равно будет достаточно для образования хотя бы одной такой пары.
Существующие теоремы о распределении простых чисел (например, асимптотический закон) дают оценку "в среднем",
но не гарантируют обязательного существования пары для каждого конкретного N.

2) Проблема корреляции. Нужно, чтобы два числа, p и N-p, были простыми одновременно.
Современные методы теории чисел (например, решето) хорошо оценивают количество простых чисел в целом,
но им крайне сложно учесть корреляцию между свойствами двух чисел, жестко связанных линейным уравнением.
Не хватает инструментов, чтобы строго оценить количество таких пар, особенно в ситуации, когда это количество мало (например, стремится к 1).

Итог: Недостаточно знать, что простых чисел "много". Нужно доказать, что они "достаточно хорошо смешаны" и образуют нужные пары в требуемом количестве
(хотя бы одна) для каждого N. Для этого требуется прорыв в аналитической теории чисел, который позволил бы работать с такими корреляционными задачами.

[waxtep]

Ryzl в сообщении #1704847 писал(а):

1. Вокруг каждого числа есть симметричные простые близнецы (более одной пары).

Все кошки - это млекопитающие (очевидно верно). Все млекопитающие - это кошки. Не факт. Вы проверили $10^7$ млекопитающих (а мировое сообщество, $10^{20}$, кажется, можно в вики посмотреть). Действительно, все они - кошки. Но вдруг $10^{3579}$-ое окажется не кошкой, а слоном...

[gris]

А я посмотрел для некоторых чисел количество способов представить их в виде полусуммы отсортированной пары простых
Вот маленькая табличка

1: [3,4,6, ? ] (3=(3+3)\2;4=(3+5)\2;6=(5+7)\2 )
2: [5,7,8,9,10,14,16,19,34, ? ] (8=(3+13)\2=(5+11)\2 )
3: [11,12,13,15,20,22,26,28,31,49,64, ? ]
4: [17,18,21,23,25,29,40,44,46,61,76, ? ]
5: [24,27,32,35,37,38,41,43,47,52,62,68,74,79,82,94, ? ]
6: [30,33,36,...,86,91,106,124,166, ? ]
500: [11088,14382,...,41959, ? ]
а где начинаются и заканчиваются эти цепочки?

[Dmitriy40]

Интересно что встречается и уменьшение последних справа чисел, например для 8,12,14,17,19,22,27,29,...

-- 07.10.2025, 23:12 --

А левые числа есть в A136244.

-- 07.10.2025, 23:16 --

А правые - в A135733.

[gris]

Dmitriy40, спасибо за наводку. А я вчера даже уснул от ужаса, что не нашёл моей последовательности в Энциклопедии А надо было просто умножить её на два, и вот A001172. Впрочем, меня больше тревожили её монотонность, которая быстро нарушилась, и эффективная реализация на ПАРИ

[Ryzl]

Cantata в сообщении #1704850 писал(а):

Попросила Дипсик сформулировать:
1) Проблема плотности. Простые числа становятся реже с ростом N.
Нужно доказать, что даже при стремлении N к бесконечности их всё равно будет достаточно для образования хотя бы одной такой пары.
Существующие теоремы о распределении простых чисел (например, асимптотический закон) дают оценку "в среднем",
но не гарантируют обязательного существования пары для каждого конкретного N.

2) Проблема корреляции. Нужно, чтобы два числа, p и N-p, были простыми одновременно.
Современные методы теории чисел (например, решето) хорошо оценивают количество простых чисел в целом,
но им крайне сложно учесть корреляцию между свойствами двух чисел, жестко связанных линейным уравнением.
Не хватает инструментов, чтобы строго оценить количество таких пар, особенно в ситуации, когда это количество мало (например, стремится к 1).

Итог: Недостаточно знать, что простых чисел "много". Нужно доказать, что они "достаточно хорошо смешаны" и образуют нужные пары в требуемом количестве
(хотя бы одна) для каждого N. Для этого требуется прорыв в аналитической теории чисел, который позволил бы работать с такими корреляционными задачами.

Да, полностью согласен, с ростом N простых чисел становится меньше, но

постулат Бертрана (доказанный Теоремой Чебышева) утверждает, что для любого целого числа
N≥2 в интервале от N до 2N всегда существует хотя бы одно простое число.
То есть в диапазоне от N до 2N простые числа обязательно есть.

Или, для любого целого числа N в диапазоне от N до 2N обязательно есть простые числа. И аналогично для диапазона от 0 до N также есть простые числа. Осталось доказать что будут существовать такие пары симметричных, относительно N, простых близнецов. Правильно?

Вот результат выполнения программы поиска:
.......
31739, 63478, [[5, 63473], [11, 63467]] ... [[31469, 32009], [31727, 31751]], Общее количество пар: 452
31740, 63480, [[7, 63473], [13, 63467]] ... [[31687, 31793], [31729, 31751]], Общее количество пар: 1144
31741, 63482, [[19, 63463], [43, 63439]] ... [[31249, 32233], [31393, 32089]], Общее количество пар: 400
31742, 63484, [[11, 63473], [17, 63467]] ... [[31601, 31883], [31667, 31817]], Общее количество пар: 434
31743, 63486, [[13, 63473], [19, 63467]] ... [[31627, 31859], [31687, 31799]], Общее количество пар: 830
31744, 63488, [[67, 63421], [79, 63409]] ... [[31237, 32251], [31531, 31957]], Общее количество пар: 413
.......

Здесь:
N, 2N, [[первая пара], [вторая пара]]...[[предпоследняя пара], [последняя пара]], Общее количество пар: Z

С ростом N количество пар не уменьшается, а наоборот растет среднее количество пар симметричных близнецов.

P.S. Могу предоставить код программы на Python

[wrest]

Ryzl в сообщении #1704923 писал(а):

Осталось доказать что будут существовать такие пары симметричных, относительно N, простых близнецов. Правильно?

Вам же уже написали неоднократно, что это и есть бинарная гипотеза Гольдбаха. Так что да, доказывайте.
Вычисления: уже вычислено до $4\cdot 10^{18}$, в 2012. Дальше вычислять (подряд) трудно из-за вычислительных трудностей факторизации больших чисел, так что если хотите принести пользу - вычисляйте в диапазоне $2N>4\cdot 10^{18}$

[Dmitriy40]

Ryzl
Если что, гипотеза Гольдбаха проверена до $4\cdot10^{18}$ ещё в 2012г, и в этом диапазоне меньшее простое в каждой сумме не превысило 9781.
И да, "доказательство" не равно "подтверждающая численная проверка". Численный пример может лишь опровергнуть гипотезу (предъявить чётное число, не представимое суммой двух простых), но никак не доказать, сколько бы вы их не проверили.

[Ryzl]

Вероятность того, что число слева простое, а его симметричный близнец справа составной, равна произведению вероятностей этих событий. Для N таких пар она приближенно равна:



что при больших N быстро стремится к нулю. Это объясняет, почему на практике событие, такое что все пары одновременно «простое–составное», практически невозможно.

Понятно что это не строгое доказательство, но видимо дальше тестировать нет смысла?

Когда вероятность околонулевая и стремительно уменьшается, этой вероятностью пренебрегают, ведь так?

Или

Для достаточно больших четных N всегда найдутся пары простых симметричных чисел-близнецов дающих в сумме это число N.

ЧТД? :)

[wrest]

Ryzl в сообщении #1705245 писал(а):

Для достаточно больших четных N всегда найдутся пары простых симметричных чисел-близнецов дающих в сумме это число N.

Бинарная гипотеза Гольдбаха состоит в том, что хотя бы одна пара найдётся для любого чётного, начиная с 4.

-- 10.10.2025, 09:40 --

Ryzl в сообщении #1705245 писал(а):

Когда вероятность околонулевая и стремительно уменьшается, этой вероятностью пренебрегают, ведь так?

Немного напоминает "Загнанных лошадей пристреливают, не правда ли?".
В математике для пренебрегания нужно обоснование (оценка остаточного члена).

[Ryzl]

wrest в сообщении #1705249 писал(а):

Ryzl в сообщении #1705245 писал(а):

Для достаточно больших четных N всегда найдутся пары простых симметричных чисел-близнецов дающих в сумме это число N.

Бинарная гипотеза Гольдбаха состоит в том, что хотя бы одна пара найдётся для любого чётного, начиная с 4.

-- 10.10.2025, 09:40 --

Ryzl в сообщении #1705245 писал(а):

Когда вероятность околонулевая и стремительно уменьшается, этой вероятностью пренебрегают, ведь так?

Немного напоминает "Загнанных лошадей пристреливают, не правда ли?".
В математике для пренебрегания нужно обоснование (оценка остаточного члена).

Я к этому и веду, что бинарная гипотеза Гольдбаха всегда выполняется в силу околонулевой вероятности отсутствия пар простых симметричных близнецов.

Можете ли Вы произвести оценку остаточно члена?

[wrest]

Ryzl в сообщении #1705255 писал(а):

Я к этому и веду, что бинарная гипотеза Гольдбаха всегда выполняется в силу околонулевой вероятности отсутствия пар простых симметричных близнецов.

Ахахах, это прекрасно.
Околонулевая это НЕ нулевая.

Видно, вы очень хотите чтобы тут признали за вами доказательство бинарной гипотезы Гольдбаха, потому, что вам кажется, что раз вами не найдено такого чётного числа большего 4, которое не является суммой двух простых, то его и нет.
Увы, но так это не работает...

[mihaild]

То, что не могут все симметричные пары иметь вид простое-составное, очевидно просто из асимптотики количества простых чисел. Большинство пар будут иметь вид составное- составное. А спрашивали, есть ли пара простое-простое, про которые не сказано ничего.

[Ende]

Ryzl
Пожалуста, оформляйте формулы в $\TeX$ непосредственно в посте, а не картинками.