Гипотеза о симметричных простых близнецах

[mihaild]

Skipper в сообщении #1707607 писал(а):

Есть ли гипотезы (математические высказывания и т.п.), из области натуральных чисел, ответ на которые зависит от того, например, если приму аксиому выбора

Нету. Если арифметическое утверждение (т.е. получающееся из формулы в языке арифметики по понятно каким правилам) доказуемо в ZFC, то оно доказуемо и в ZF.

[Skipper]

mihaild в сообщении #1707610 писал(а):

Skipper в сообщении #1707607 писал(а):

Есть ли гипотезы (математические высказывания и т.п.), из области натуральных чисел, ответ на которые зависит от того, например, если приму аксиому выбора

Нету. Если арифметическое утверждение (т.е. получающееся из формулы в языке арифметики по понятно каким правилам) доказуемо в ZFC, то оно доказуемо и в ZF.

Спасибо! Интересно почему так?

Значит, можно верить любому арифметическоиу утверждению, если оно доказуемо в ZF.
А если недоказуемо в ZF, то оно и будет "непостижимым".. Если придётся "добавлять" сюда некие настолько неочевидные аксиомы, то доказательство никак не поможет выяснить истинность... Это то же самое как взять и само это утверждение объявить аксиомой, и сказать, что вот оно верно просто по определению.
А другой скажет- а я не принимаю это как аксиому, я считаю аксиомой что оно неверно.

[Someone]

Altenter в сообщении #1707603 писал(а):

Под представлениями подразумевается как раз теория и ряд допущений и отклонений от нее, расширений, которые используются при доказательстве.

В формальной теории никакие "допущения", "отклонения" или "расширения", не сформулированные в виде аксиом, не допускаются. Добавление новых аксиом, не выводимых из первоначальных, даёт другую теорию, более сильную. Можно и противоречивую теорию получить, если добавить аксиомы, несовместимые с первоначальными.

[Altenter]

Someone в сообщении #1707613 писал(а):

Altenter в сообщении #1707603 писал(а):

Под представлениями подразумевается как раз теория и ряд допущений и отклонений от нее, расширений, которые используются при доказательстве.

В формальной теории никакие "допущения", "отклонения" или "расширения", не сформулированные в виде аксиом, не допускаются. Добавление новых аксиом, не выводимых из первоначальных, даёт другую теорию, более сильную. Можно и противоречивую теорию получить, если добавить аксиомы, несовместимые с первоначальными.

Спасибо, приму к сведению это.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1707612 писал(а):

Интересно почему так?

Это уже сложно (я сильно не полностью понимаю происходящее; Someone, поправьте, пожалуйста, если нужно). Насколько я понимаю, из каждой модели $M$ ZF можно сделать подмодель $L$ (конструктивный универсум), которая будет моделью ZFC. И есть теорема Shoenfield'а, что формулы из некоторого набора (включающий арифметические) истинны или ложны одновремено в $M$ и $L$.
Соответственно если какая-то формула $A$ не доказуема в ZF, то возьмем модель ZF, в которой эта формула неверна, и из неё сделаем модель ZFC, в которой эта формула тоже неверна. Соответственно, эта формула недоказуема и в ZFC.

Skipper в сообщении #1707612 писал(а):

Если придётся "добавлять" сюда некие настолько неочевидные аксиомы

Ну не знаю, чем коммутативность сложения так уж очевиднее?

[Someone]

mihaild в сообщении #1707619 писал(а):

Насколько я понимаю, из каждой модели $M$ ZF можно сделать подмодель $L$ (конструктивный универсум), которая будет моделью ZFC.

Да, так и есть. Кроме того, в конструктивном универсуме будет выполняться и обобщённая континуум-гипотеза [GCH] независимо от того, выполнялась ли она в исходной модели. Вообще, конструктивный универсум — наименьший, содержащий все ординалы, в котором выполняются аксиомы ZF.
Интересно, что аксиома выбора является следствием обобщённой континуум-гипотезы

Кстати, здесь множества "конструктивные" не в том смысле, как в конструктивной математике; может быть, их следовало бы называть определимыми.

Вкратце идея в следующем. Для множества $X$ обозначим через $Def(X)$ совокупность всех множеств $a\subseteq X$, которые можно определить формулами теории множеств с параметрами из множества $X$. Тогда определяем множества $L_{\alpha}$ индукцией по всем ординалам $\alpha$:
1) $L_0=\varnothing$;
2) $L_{\alpha+1}=Def(L_{\alpha})$;
3) $L_{\beta}=\bigcup\limits_{\alpha<\beta}L_{\alpha}$, если ординал $\beta$ предельный.

Конструктивным универсумом называется класс $L=\bigcup\limits_{\alpha}L_{\alpha}$, где объединение берётся по всем ординалам.
Подробности нужно смотреть в литературе.

Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств. Москва, "Наука", 1982.
Глава 5. Конструктивность.