Гипотеза о симметричных простых близнецах

[mihaild]

Skipper в сообщении #1707607 писал(а):

Есть ли гипотезы (математические высказывания и т.п.), из области натуральных чисел, ответ на которые зависит от того, например, если приму аксиому выбора

Нету. Если арифметическое утверждение (т.е. получающееся из формулы в языке арифметики по понятно каким правилам) доказуемо в ZFC, то оно доказуемо и в ZF.

[Skipper]

mihaild в сообщении #1707610 писал(а):

Skipper в сообщении #1707607 писал(а):

Есть ли гипотезы (математические высказывания и т.п.), из области натуральных чисел, ответ на которые зависит от того, например, если приму аксиому выбора

Нету. Если арифметическое утверждение (т.е. получающееся из формулы в языке арифметики по понятно каким правилам) доказуемо в ZFC, то оно доказуемо и в ZF.

Спасибо! Интересно почему так?

Значит, можно верить любому арифметическоиу утверждению, если оно доказуемо в ZF.
А если недоказуемо в ZF, то оно и будет "непостижимым".. Если придётся "добавлять" сюда некие настолько неочевидные аксиомы, то доказательство никак не поможет выяснить истинность... Это то же самое как взять и само это утверждение объявить аксиомой, и сказать, что вот оно верно просто по определению.
А другой скажет- а я не принимаю это как аксиому, я считаю аксиомой что оно неверно.

[Someone]

Altenter в сообщении #1707603 писал(а):

Под представлениями подразумевается как раз теория и ряд допущений и отклонений от нее, расширений, которые используются при доказательстве.

В формальной теории никакие "допущения", "отклонения" или "расширения", не сформулированные в виде аксиом, не допускаются. Добавление новых аксиом, не выводимых из первоначальных, даёт другую теорию, более сильную. Можно и противоречивую теорию получить, если добавить аксиомы, несовместимые с первоначальными.

[Altenter]

Someone в сообщении #1707613 писал(а):

Altenter в сообщении #1707603 писал(а):

Под представлениями подразумевается как раз теория и ряд допущений и отклонений от нее, расширений, которые используются при доказательстве.

В формальной теории никакие "допущения", "отклонения" или "расширения", не сформулированные в виде аксиом, не допускаются. Добавление новых аксиом, не выводимых из первоначальных, даёт другую теорию, более сильную. Можно и противоречивую теорию получить, если добавить аксиомы, несовместимые с первоначальными.

Спасибо, приму к сведению это.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1707612 писал(а):

Интересно почему так?

Это уже сложно (я сильно не полностью понимаю происходящее; Someone, поправьте, пожалуйста, если нужно). Насколько я понимаю, из каждой модели $M$ ZF можно сделать подмодель $L$ (конструктивный универсум), которая будет моделью ZFC. И есть теорема Shoenfield'а, что формулы из некоторого набора (включающий арифметические) истинны или ложны одновремено в $M$ и $L$.
Соответственно если какая-то формула $A$ не доказуема в ZF, то возьмем модель ZF, в которой эта формула неверна, и из неё сделаем модель ZFC, в которой эта формула тоже неверна. Соответственно, эта формула недоказуема и в ZFC.

Skipper в сообщении #1707612 писал(а):

Если придётся "добавлять" сюда некие настолько неочевидные аксиомы

Ну не знаю, чем коммутативность сложения так уж очевиднее?

[Someone]

mihaild в сообщении #1707619 писал(а):

Насколько я понимаю, из каждой модели $M$ ZF можно сделать подмодель $L$ (конструктивный универсум), которая будет моделью ZFC.

Да, так и есть. Кроме того, в конструктивном универсуме будет выполняться и обобщённая континуум-гипотеза [GCH] независимо от того, выполнялась ли она в исходной модели. Вообще, конструктивный универсум — наименьший, содержащий все ординалы, в котором выполняются аксиомы ZF.
Интересно, что аксиома выбора является следствием обобщённой континуум-гипотезы

Кстати, здесь множества "конструктивные" не в том смысле, как в конструктивной математике; может быть, их следовало бы называть определимыми.

Вкратце идея в следующем. Для множества $X$ обозначим через $Def(X)$ совокупность всех множеств $a\subseteq X$, которые можно определить формулами теории множеств с параметрами из множества $X$. Тогда определяем множества $L_{\alpha}$ индукцией по всем ординалам $\alpha$:
1) $L_0=\varnothing$;
2) $L_{\alpha+1}=Def(L_{\alpha})$;
3) $L_{\beta}=\bigcup\limits_{\alpha<\beta}L_{\alpha}$, если ординал $\beta$ предельный.

Конструктивным универсумом называется класс $L=\bigcup\limits_{\alpha}L_{\alpha}$, где объединение берётся по всем ординалам.
Подробности нужно смотреть в литературе.

Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств. Москва, "Наука", 1982.
Глава 5. Конструктивность.

[Ryzl]

Очень всё интересно, многое совсем непонятно. Отвечу относительно попытки ввести мной новый термин "Симметричные простые близнецы"

Симметричные простые близнецы - это множество пар простых чисел дающих в сумме определенное четное число N.

Т.е. каждое четное число N (большее 8) образует множество симметричных пар простых близнецов. Важно, что не каждое простое число меньшее N входит в это множество.

В результате перебора пока выясняется, что:
1. Количество таких пар растет непрерывно с увеличением N.
2. Вероятность отсутствия таких пар околонулевая и уменьшается с ростом N.

Так как в диапазоне от N/2 до N обязательно есть простые числа (это доказано), то обязательно есть пары симметричных простых близнецов. (вот это утверждение очень скользкое :)

Всё так?

[wrest]

Ryzl в сообщении #1708552 писал(а):

В результате перебора пока выясняется, что:
1. Количество таких пар растет непрерывно с увеличением N.

Что значит "растёт непрерывно"?

[Ryzl]

wrest в сообщении #1708554 писал(а):

Ryzl в сообщении #1708552 писал(а):

В результате перебора пока выясняется, что:
1. Количество таких пар растет непрерывно с увеличением N.

Что значит "растёт непрерывно"?

Я думаю это значит "растет непрерывно", т.е. нет участков когда это количество уменьшается, нет участков с отсутствием таких пар.

[wrest]

Ryzl в сообщении #1708555 писал(а):

Я думаю это значит "растет непрерывно", т.е. нет участков когда это количество уменьшается,

Так это же неправда.
И правильный термин был бы "монотонно", если вы хотите чтобы вас понимали и не спрашивали "а что значит..."
Далее, а что значит "участок"?

-- 08.11.2025, 11:10 --

Ryzl в сообщении #1708552 писал(а):

вот это утверждение очень скользкое

Оно не скользкое, а необоснованное.

[Ryzl]

wrest в сообщении #1708556 писал(а):

Ryzl в сообщении #1708555 писал(а):

Я думаю это значит "растет непрерывно", т.е. нет участков когда это количество уменьшается,

Так это же неправда.
И правильный термин был бы "монотонно", если вы хотите чтобы вас понимали и не спрашивали "а что значит..."
Далее, а что значит "участок"?

-- 08.11.2025, 11:10 --

Ryzl в сообщении #1708552 писал(а):

вот это утверждение очень скользкое

Оно не скользкое, а необоснованное.

Да, Вы абсолютно правы, у Вас понятийный аппарат развит гараздо лучшее.!

Вот так лучше будет
"Количество пар симметричных пар близнецов растет монотонно" и нет диапазонов четных чисел в которых это количество уменьшается.

Да, согласен, необоснованное.

-- 08.11.2025, 13:35 --

Все таки нужно говорить, наверное,
"Количество таких пар симметричных близнецов растет монотонно И непрерывно с ростом N"

[wrest]

Ryzl в сообщении #1708557 писал(а):

Количество пар симметричных пар близнецов растет монотонно

Хорошо, чему равно количество симметричных пар близнецов для N=10 и для N=12 ?

-- 08.11.2025, 12:01 --

Ryzl в сообщении #1708557 писал(а):

Все таки нужно говорить, наверное,

Лучше говорить так чтобы вас понимали, если вы хотите обсуждения. На каком-то общем языке. Юғиһә, был-ахмаҡлыҡ.

[Ryzl]

wrest в сообщении #1708560 писал(а):

Ryzl в сообщении #1708557 писал(а):

Количество пар симметричных пар близнецов растет монотонно

Хорошо, чему равно количество симметричных пар близнецов для N=10 и для N=12 ?

-- 08.11.2025, 12:01 --

Ryzl в сообщении #1708557 писал(а):

Все таки нужно говорить, наверное,

Лучше говорить так чтобы вас понимали, если вы хотите обсуждения. На каком-то общем языке. Юғиһә, был-ахмаҡлыҡ.

10 [(3,7)]
12 [(5,7), (1,11)]

Так понятно?

[wrest]

Ryzl в сообщении #1708561 писал(а):

10 [(3,7)]
12 [(5,7), (1,11)]

Так понятно?

Число 1 по-вашему простое?
Кроме того, 10=5+5

-- 08.11.2025, 13:12 --

Пока вы думаете о простоте числа 1, следующий вопрос.
Чему равно количество симметричных пар близнецов для N=48,50,52

[Ryzl]

wrest в сообщении #1708563 писал(а):

Ryzl в сообщении #1708561 писал(а):

10 [(3,7)]
12 [(5,7), (1,11)]

Так понятно?

Число 1 по-вашему простое?
Кроме того, 10=5+5

-- 08.11.2025, 13:12 --

Пока вы думаете о простоте числа 1, следующий вопрос.
Чему равно количество симметричных пар близнецов для N=48,50,52

Почему бы и нет )) (я про 1)
Делиться на сомо себя и единицу без остатка. (точно так же можно обсуждать 2 - четное - но простое, хотя четные не могут быть простыми)

ну и про 5+5 - если n = 0 (n- расстояние от середины четного числа) то да, эта пара тоже входит в ОБА множества.