Объясните понятно про мощности множеств

[Booker48]

B3LYP в сообщении #1704432 писал(а):

Мне кажется, полезнее разобрать числа вроде .7986(2514). Их называют периодическими десятичными дробями, и они все рациональны?

Безусловно, они все рациональны. Это форма записи числа с бесконечно повторяющейся частью, и очень легко переписать эту запись в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии. Сумма эта представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой - целые числа. То есть рациональное число по его определению.

[B3LYP]

Booker48 в сообщении #1704441 писал(а):

Безусловно, они все рациональны. Это форма записи числа с бесконечно повторяющейся частью, и очень легко переписать эту запись в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии. Сумма эта представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой - целые числа. То есть рациональное число по его определению.

Ещё мне интересно, насколько схожа рациональность периодических десятичных дробей и рациональность периодических адических чисел. Например число 1111111111... (десятичная система) в адиках кажется равно -1/9?

[Booker48]

B3LYP в сообщении #1704443 писал(а):

Ещё мне интересно, насколько схожа рациональность периодических десятичных дробей и рациональность периодических адических чисел. Например число 1111111111... (десятичная система) в адиках кажется равно -1/9?

За вашей непоседливой мыслью трудно не то, что угнаться, а где-то и уследить. Вы начали тему, объявили её неинтересной для себя, пообещав вернуться - и теперь под тем же названием развиваете новую.
Может, стоит сосредоточиться на одной, разобраться в ней - и тогда уже двигаться дальше?
Или (только как вариант) не начинать то, что вам неинтересно на самом деле?

[пианист]

B3LYP в сообщении #1704432 писал(а):

как получается что в них ноль больше бесконечности

Никак не получается. Данную фразу нельзя даже назвать ошибочной, это бессмысленный набор слов.

[Someone]

wrest в сообщении #1704352 писал(а):

А в случае вещественных чисел так вот явным образом пронумеровать не выходит, поэтому приходится предполагать, будто бы нам как-то все-таки удалось их все пронумеровать (какой-то божественной волей мы получили весь список)

Доказательство "от противного"? Что, у нас не получится доказательства, если мы не сделаем такого предположения? Это было бы доказательством "от противного", если бы при построении "диагонального" числа предположение о полноте списка существенно использовалось, и без этого предположения "диагональное" число не строилось. Реально же мы это предположение начисто игнорируем, и только после завершения построения вдруг о нём "вспоминаем". Точно так же мы могли бы сначала построить число, а потом сказать: "А теперь предположим, что первоначальный список был полным, и получим противоречие".

wrest в сообщении #1704363 писал(а):

provincialka в сообщении #1704361 писал(а):

Просто берем какой-то список вещественных чисел и утверждаем, что он неполный.

Ну тогда мы его пополним, занумеруем пополнение и так получим полный

В нашем доказательстве рассматривался произвольно взятый список. То есть, доказательство относится ко всем мыслимым и немыслимым спискам. В том числе и к как угодно пополненному. Поэтому повторять доказательство для пополненного списка не нужно. Сразу делаем заключение, что любой список неполон, и полных списков не существует. То есть множество действительных чисел несчётно.
https://dxdy.ru/post414177.html#p414177 (Рецензия на статью Зенкина.)

wrest в сообщении #1704363 писал(а):

Так ведь можно было бы нумеровать и рациональные числа: выпишем их представления в десятичной записи, и окажется что любой список неполный.

Не проходит. Не доказано, что построенное "диагональное" число рационально. Вообще говоря, некоторые рациональные числа имеют две различные записи. И если в списке имеется только одна запись, то может получиться другая запись (это является некоторой неожиданной проблемой и при доказательстве несчётности $\mathbb R$). От этого можно подстраховаться, запретив в "диагональном" числе цифры $0$ и $9$, или даже ограничиться любыми двумя цифрами, не совпадающими с $0$ и $9$.

Иногда хотят использовать двоичную или троичную систему счисления. (Кто-то из опровергателей Кантора даже утверждал, что в этих системах счисления доказать теорему Кантора нельзя.) В этих случаях можно заменять не по одной цифре, а сразу пару цифр: если в очередном числе соответствующая пара не равна $01$, то пишем $01$, а в противном случае пишем $10$.

B3LYP в сообщении #1704432 писал(а):

мне хотелось поизучать пиадические числа, понять как получается что в них ноль больше бесконечности

Для $p$-адических чисел отношение порядка не определено.

B3LYP в сообщении #1704443 писал(а):

Ещё мне интересно, насколько схожа рациональность периодических десятичных дробей и рациональность периодических адических чисел. Например число 1111111111... (десятичная система) в адиках кажется равно -1/9?

В поле действительных чисел и в любом поле $p$-адических чисел ($p$ — простое число) рациональные числа одни и те же. Просто потому, что оба поля — это пополнения поля рациональных чисел. Только по разным нормам. $10$-адические числа не образуют поля, потому что $10$ — составное число, получается только кольцо; рациональные числа здесь те же самые (просто по определению рациональных чисел: это числа вида $\frac mn$, где $m$ и $n$ — целые числа, и знаменатель не равен $0$). Кстати, записывать $p$-адические числа нужно в системе счисления с основанием $p$ и не забывать, что есть и аналог десятичных дробей (дроби со знаменателем вида $p^n$).
В кольце $10$-адических чисел происходят всякие странные вещи. Например, квадратное уравнение $x^2=x$ имеет $4$ корня, есть делители нуля (ненулевые числа, произведение которых равно $0$), деление не всегда возможно, даже если делитель не равен $0$…

[wrest]

Someone в сообщении #1704495 писал(а):

https://dxdy.ru/post414177.html#p414177
(Рецензия на статью Зенкина.)

Спасибо! Почувствовал себя Зенкиным.