Функция как сумма четной и нечетной функций

[EminentVictorians]

Факт довольно интересный, в том смысле, что по началу (хотя это может только у меня так было) вообще не верится, что такое возможно. Буквально любую функцию, независимо от её непрерывности, гладкости, и всего такого (она даже быть определенной может на любом множестве, не важно, связное, не связное, главное чтобы симметричное) можно представить в виде суммы настолько хороших функций. В общем, я не считаю этот факт какой-то банальностью.

(Оффтоп)

А блеснуть знаниями я планирую в теме про новые свойства декартовых произведений. Топикстартер протолкнул свою дичь про С-системы и D-кортежи в статьи википедии Прямое произведение (на русском языке) и Cartesian_product (на английском), причем с ссылками на самого себя.

[gefest_md]

Этот пример приводится с решением в книге Balac, Sturm, «Algèbre et analyse», издание второе, выпуск 2014 года (в электронном виде от 2009 года его нет). Причём он приводится в первой главе «Введение в математическую логику», как иллюстрация метода рассуждений «анализ-синтез». Там изюминка в том, чтобы допустить в части анализа, что $f(x)=g(x)+h(x).$ Тогда $f(-x)=g(x)-h(x).$ Затем надо сложить и вычесть.

[skobar]

gefest_md в сообщении #1701860 писал(а):

Там изюминка в том, чтобы допустить в части анализа, что $f(x)=g(x)+h(x).$ Тогда $f(-x)=g(x)-h(x).$ Затем надо сложить и вычесть.

Именно это очевидное действие здесь долго и нудно обсуждалось.

Могу предположить, откуда растет вопрос. В европейских школах часто учат: "Дети, никогда не начинайте доказательство с того, что нужно доказать - это страшная логическая ошибка!" Но в то же время иногда для построения основного доказательства нужно начать именно с того, что требуется доказать. У дочки в школе в таких случаях учат выделять такие предварительные рассуждения в отдельную часть и обязательно маркировать её "Jottings. Not part of the proof!":)

Сей (очень простой) факт упоминается в древней классической книжке Стейн, Вейс "Введение в гармонический анализ" в главе 4 о свойствах симметрии преобразования Фурье как тривиальный одномерный случай.