Функция как сумма четной и нечетной функций

[cithara]

Здравствуйте,

хочу доказать, что любая функция $f(x)$ на симметричном промежутке $[-a, a]$ может быть представлена как

$f(x) = g(x) + h(x)$,

где $g$ — четная, а $h$ — нечетная.

Вопрос: Можно ли начинать доказательство с предположения, что такие $g$ и $h$ существуют, затем получить их явный вид и проверить четность/нечетность, или такой подход считается неверным с точки зрения логики?

[skobar]

cithara в сообщении #1701815 писал(а):

Вопрос: Можно ли начинать доказательство с предположения, что такие $g$ и $h$ существуют, затем получить их явный вид и проверить четность/нечетность, или такой подход считается неверным с точки зрения логики?

Почему бы нет? Отличный подход. Как только вы сконструируете функции $g(x)$ и $h(x)$ в явном виде, уже будет неважно, каким способом они были получены.

[Утундрий]

Ну вот, например, утверждение: Функция $f(x)+f(-x)$ — чётная. Где я погрешил против логики?

[gris]

Вероятно, требовалось дпоказать и единственность представления

[Null]

Нельзя же, будет доказано при условии что эти функции существуют. А вот решение начинать удобно.

[skobar]

Null в сообщении #1701827 писал(а):

Нельзя же, будет доказано при условии что эти функции существуют.

Вроде как ТС пишет, что предположение будет использоваться не для доказательства представления, а чтобы "получить явный вид" функций $g$ и $h$. После того, как "явный вид" получен, дальнейший план ТС заключается в том, чтобы "проверить четность/нечетность" полученных функций (и, очевидно, что они в сумме дают $f$ ). При такой схеме рассуждений совершенно неважно, как формулы для $g$ и $h$ были получены и какие предположения были при этом сделаны.

[Booker48]

cithara в сообщении #1701815 писал(а):

хочу доказать, что любая функция $f(x)$ на симметричном промежутке $[-a, a]$ может быть представлена как

$f(x) = g(x) + h(x)$,

где $g$ — четная, а $h$ — нечетная.

А если $f(x)$ - сама чётная, то её тоже можно разложить на сумму чётной и нечётной? Чудны дела Твои, Господи!

[EminentVictorians]

Booker48 в сообщении #1701836 писал(а):

А если $f(x)$ - сама чётная, то её тоже можно разложить на сумму чётной и нечётной?

Ну да, а что не так?

[lel0lel]

Booker48
Есть одна функция, которая является и чётной, и нечётной одновременно. Поэтому ничего удивительного.

[Booker48]

lel0lel
Да, действительно.
Тогда для всех элементарных понятно как, они, кроме экспоненты, либо чётные, либо нечётные, а экспонента - через сумму гиперболических.
Не соображу, что делать со сдвинутым логарифмом. Типа, $f(x)=\ln(x+2)$ на отрезке $[-1, 1]$.

Ну и явное выражение для произвольной функции, конечно, интересно.

[EminentVictorians]

Booker48, вы о чем-то не о том...

$$f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}$$

Первая дробь - четная функция, вторая - нечетная. Это и есть явное выражение для произвольной функции $f(x)$ - оно не зависит ни от какой специфики: хоть экспонента, хоть не экспонента.

[Утундрий]

EminentVictorians
Вай, маладэц! Бэз тибья би ныхто нэ дагадалса!

[lel0lel]

(Оффтоп)

Утундрий,
EminentVictorians просто дал ответ на вопрос Booker48. Явно не с целью блеснуть знаниями.

[Booker48]

EminentVictorians
lel0lel
Спасибо!

[skobar]

Да, пришел поручик Ржевский и все опошлил :)
Можно ещё отметить, что задачка имеет отношение к гармоническому анализу. По сути, это стандартное разложение пространства $L^{2} (\mathbb{R})$ в прямую сумму двух ортогональных подпространств, каждое из которых инвариантно относительно преобразования Фурье.