Подбрасывание монеты до 2-х орлов, сомнения в правильности

[mihaild]

umokin в сообщении #1701889 писал(а):

Не понимаю о какой системе речь

Система линейных уравнений.

mihaild в сообщении #1701620 писал(а):

пусть $x$ - ожидаемое число бросков в начале = ожидаемое число оставшихся бросков, если последней выпала решка, $y$ - ожидаемое оставшееся число бросков если последним выпал орел

Вот мы сейчас в начале, ожидание числа бросков до двух орлов, с одной стороны, $x$. С другой стороны - мы сейчас бросим монетку, и выпадет либо орел, либо решка. Распишите мат. ожидание через ожидания в этих вариантах.

[umokin]

О том, что такое система ЛУ я имею некоторое представление, а вот как расписывать матожидание - не понимаю, ну, например, у нас есть величина х-ожидаемое количество бросков до двух орлов, мы бросили монетку, выпала решка - это ожидаемое количество не изменилось, выпал орел - оно как-то уменьшилось. Все, что я могу сказать об этом.

[mihaild]

Это научно называется "условное мат. ожидание", но в данном случае всё довольно интуитивно понятно. Если у нас есть два варианта развития события, с вероятностями $p$ и $1 - p$, и в первом случае среднее равно $A$, а во втором $B$, то просто среднее равно $xA + yB$.

umokin в сообщении #1701906 писал(а):

выпал орел - оно как-то уменьшилось

Не "как-то", мы же обозначили это новое ожидание за $y$.
Пользуясь утверждением выше, выразите $x$ через $x$ и $y$, расписав два варианта - если у нас первым выпал орел и если решка.
Аналогично выразите $y$ через $x$ и $y$.

[umokin]

mihaild в сообщении #1701908 писал(а):

Это научно называется "условное мат. ожидание", но в данном случае всё довольно интуитивно понятно. Если у нас есть два варианта развития события, с вероятностями $p$ и $1 - p$, и в первом случае среднее равно $A$, а во втором $B$, то просто среднее равно $xA + yB$.

umokin в сообщении #1701906 писал(а):

выпал орел - оно как-то уменьшилось

Не "как-то", мы же обозначили это новое ожидание за $y$.
Пользуясь утверждением выше, выразите $x$ через $x$ и $y$, расписав два варианта - если у нас первым выпал орел и если решка.
Аналогично выразите $y$ через $x$ и $y$.

Спасибо за столь подробное объяснение, но я не очень понимаю как это сделать, но попробую:
Есть $x$ - ожидаемое количество бросков до двух орлов:
выпала решка $x=х$, выпал орел $x=x-(x-y)$, правильно?

[b4b5]

(два варианта)

А так, наверное, только сложнее для понимания (наверное не стоило отправлять на форум)... чем непосредственно решить. )
$r=0$, $ E_0 = 0 $
$r=1$, $ E_1 = 2^{(1+1)} - 2 = 2 $
Предположим для $r$ число шагов $ E_r = 2^{(r+1)} - 2 $
Докажем для $ r+1 $ ...

Другой вариант.
$E_r = \frac{1}{2} (1 + E_{r+1}) + \frac{1}{2} (1 + E_0)$
Выпал орёл, переход в состояние $r+1$.
Выпала решка, возврат в состояние $0$.

[mihaild]

umokin в сообщении #1701915 писал(а):

выпала решка $x=х$, выпал орел $x=x-(x-y)$, правильно?

Нет. Слева $x$. Справа - ожидания при разных вариантах развития событий (выпал орел или решка), взвешенные на вероятности.
Пусть первым броском выпал орел. Какое при этом условии ожидания числа бросков до двух орлов (включая уже совершенный первый бросок)?
Пусть первым броском выпала решка. Аналогичный вопрос.

[umokin]

mihaild в сообщении #1701921 писал(а):

umokin в сообщении #1701915 писал(а):

выпала решка $x=х$, выпал орел $x=x-(x-y)$, правильно?

Нет. Слева $x$. Справа - ожидания при разных вариантах развития событий (выпал орел или решка), взвешенные на вероятности.
Пусть первым броском выпал орел. Какое при этом условии ожидания числа бросков до двух орлов (включая уже совершенный первый бросок)?
Пусть первым броском выпала решка. Аналогичный вопрос.

Затрудняюсь ответить и даже взвесить ожидания на вероятности, не понимаю, что под этим подразумевается, вероятности орла $p=\frac{1}{2}$, вероятность решки $1-p=\frac{1}{2}$, это понятно. Также понятно, что x - ожидаемое число бросков вначале, а y- ожидаемое число бросков если выпал орел.

[mihaild]

Пока что без взвешивания. Просто среднее в разных сценариях (выразить через $x$ и $y$, не написать число).
Пусть первым броском выпала решка. Как связано ожидание общего числа бросков в этом случае с $x$?

[umokin]

mihaild в сообщении #1701931 писал(а):

Пусть первым броском выпала решка. Как связано ожидание общего числа бросков в этом случае с $x$?

Мы вроде бы определили, что x - это и есть ожидаемое число бросков вначале (или, что то же самое если выпала решка). Выпала решка- ожидаемое число бросков не изменилось. Правильно?

[mihaild]

umokin в сообщении #1701933 писал(а):

Выпала решка- ожидаемое число бросков не изменилось

Ожидаемое число бросков считаем с начала эксперимента, а не оставшееся.
Допустим, что ожидаемое число бросков изначально равно $10$ (мы этого еще не знаем, но допустим). Усли мне вначале выпало 20 решек, то явно не следует ожидать, что я закончу эксперимент за 10 бросков, включая 20 уже сделанных.

[umokin]

mihaild в сообщении #1701938 писал(а):

umokin в сообщении #1701933 писал(а):

Выпала решка- ожидаемое число бросков не изменилось

Ожидаемое число бросков считаем с начала эксперимента, а не оставшееся.
Допустим, что ожидаемое число бросков изначально равно $10$ (мы этого еще не знаем, но допустим). Усли мне вначале выпало 20 решек, то явно не следует ожидать, что я закончу эксперимент за 10 бросков, включая 20 уже сделанных.

Значит ожидаемое число бросков увеличилось на 20? или если выпала одна решка, то на 1? т.е. $x=x+1$?

[mihaild]

umokin в сообщении #1701939 писал(а):

Значит ожидаемое число бросков увеличилось на 20? или если выпала одна решка, то на 1?

Да.

umokin в сообщении #1701939 писал(а):

т.е. $x=x+1$?

А это, конечно, неправда. Потому что мы же посчитали только один сценарий из возможных.
Итак, если первой выпала решка, то ожидаемое число бросков $x + 1$. А если первым выпал орёл?
После того, как ответите, следующий вопрос. Мы получили, что $x$ с вероятностью $1/2$ равно $x + 1$, а с вероятностью $1/2$ тому числу, которое найдёте (тут, на самом деле, некоторая нестрогость, потому что $x$ это просто число, оно не может быть равно чему-то с какой-то вероятностью, но, думаю, на интуитивном уровне должно быть понятно). Чему равно $x$ в среднем?

[umokin]

mihaild в сообщении #1701943 писал(а):

А если первым выпал орёл?

$x-1$? Но это гадание на кофейной гуще. Правильнее ответить как есть: "Не вижу откуда это можно понять."

[mihaild]

umokin в сообщении #1701955 писал(а):

$x-1$?

Напоминаю обозначения.

mihaild в сообщении #1701620 писал(а):

пусть $x$ - ожидаемое число бросков в начале = ожидаемое число оставшихся бросков, если последней выпала решка, $y$ - ожидаемое оставшееся число бросков если последним выпал орел

[umokin]

mihaild в сообщении #1701957 писал(а):

Напоминаю обозначения.

Извините, но мне кажется, что вот это:

mihaild в сообщении #1701938 писал(а):

Ожидаемое число бросков считаем с начала эксперимента, а не оставшееся.

противоречит вот этому:

mihaild в сообщении #1701620 писал(а):

пусть $x$ - ожидаемое число бросков в начале = ожидаемое число оставшихся бросков, если последней выпала решка,