Подбрасывание монеты до 2-х орлов, сомнения в правильности

[umokin]

Здравствуйте,
Каково среднее количество бросков монеты до выпадения 2-х орлов.
Решил задачу и у меня получилось в ответе 4 броска. Ноо я очень сомневаюсь в правильности своих рассуждений, поэтому прошу помощи:

Будем расматривать серии бросков из $1,2,3,...,n$ подбрасываний и вероятности выпадения в конце каждой серии:
$n=1$ - вероятность выпадения двух орлов $P(1)= 0$.

$n=2$ - вероятность выпадения двух орлов $P(2)= \frac{1}{4}$

00
01
10
11

$n=3$ - вероятность выпадения двух орлов $P(3)= \frac{1}{6}$

000
001
010
011
100
101
110
111

Видно, что комбинации 110 и 111 невозможны, т.к. вырадение 2-х орлов случится до совершения последнего хода, поэтому возможных комбинаций всего 6 и из них 1 благоприятная.

$n=4$ - вероятность выпадения двух орлов $P(4)= \frac{2}{10}$

0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111

Здесь уже 6 невозможных комбинаций выпадения из всего 16, т.е. 10 возможных из которых 2 соответствуют условию.
Ну и продолжая в том же духе устанавливаем, что $P(n)=\frac{F(n)}{F(n)+F(n+3)}$, где F(n) - n-ное число Фибоначчи. Это можно вывести строго.
Соответственно вероятность выпадения двух орлов до n бросков будет формироваться из суммы вероятностей этого события на i-том броске помноженного на вероятности не произойти на всех предыдущих.

Среднее количество бросков при котором выпадет два орла будет при таком n, при котором вероятность выпадения двух орлов будет равна $\frac{1}{2}$, т.е. сумма достигнет значения $\frac{1}{2}$ или, если записать это формулой, то \sum_{i=1}^n P(i)\cdot(1-P(i-1))\cdot(1-P(i-2))\cdot(1-P(i-i+1))=\frac{1}{2}$

Подставляя численные значения получаем, что это условие выполняется при $n=4$ т.е. $0+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\frac{3}{4}+\frac{2}{10}\frac{3}{4}\frac{5}{6}=\frac{1}{2}$

Так вот, все делалось на интуиции и есть большие сомнения в правильности моих рассуждений, в связи с чем прошу указать на ошибки и подсказать, что за величину я нашел? Будет ли это средней величиной количества бросков до выпадения 2-х орлов?

Спасибо!

[mihaild]

umokin в сообщении #1701618 писал(а):

$n=3$ - вероятность выпадения двух орлов $P(3)= \frac{1}{6}$

Нет, это вероятность того, что 2 орла подряд получились на третьем броске при условии что на втором броске двух орлов подряд не получилось.
(Знаменатель вероятности того, что игра окончится на 3м броске, или не позже 3-го броска, обязан быть степенью двойки.)

Подобные задачи решаются так: пусть $x$ - ожидаемое число бросков в начале = ожидаемое число оставшихся бросков, если последней выпала решка, $y$ - ожидаемое оставшееся число бросков если последним выпал орел. Легко выписывается система на $x, y$.

[serg_yy]

Рекомендую для начала решить вспомогательную задачу: сколько в среднем нужно бросков монеты до выпадения орла?

[umokin]

mihaild в сообщении #1701620 писал(а):

Нет, это вероятность того, что 2 орла подряд получились на третьем броске при условии что на втором броске двух орлов подряд не получилось.

Спасибо!

umokin в сообщении #1701618 писал(а):

Будем расматривать серии бросков из $1,2,3,...,n$ подбрасываний и вероятности выпадения в конце каждой серии:

Да, я получается дважды учел, что два орла не выпали на предыдущих сериях?

Тогда $n$ при котором выполняется условие: \sum_{i=1}^n P(i)=\frac{1}{2}$, где $P(i)$- вероятность выпадения двух орлов в конце серии
из $i$ подбрасываний монеты и невыпадения их в других местах серии, будет средним количеством бросков при котором выполняется условие? Т.е. это будет решением?

Но тогда эта сумма на 3-м броске имеет значение 0,41(6), а на четвертом 0,61(6), т.е. ближе к 0.5 будет n=3, т.е. это среднее значение количествп бросков монеты до 2-х орлов будет не целым числом.

И должно получиться что-то около 3,4237288? (расчитал в пропорции по отклонению каждого из значений) Как правильно расчитать это среднее из этих 2-х значений? Я очень далек от математики, поэтому прошу не судить строго мои дилетантские рассуждения.

Спасибо.

-- 12.09.2025, 15:53 --

serg_yy в сообщении #1701621 писал(а):

Рекомендую для начала решить вспомогательную задачу: сколько в среднем нужно бросков монеты до выпадения орла?

1?

[mihaild]

umokin в сообщении #1701624 писал(а):

из $i$ подбрасываний монеты и невыпадения их в других местах серии, будет средним количеством бросков при котором выполняется условие?

Нет, это будет медианным количеством бросков. Которое не обязано быть как-то связано со средним. И такое $n$ вообще не обязано существовать.

umokin в сообщении #1701624 писал(а):

Как правильно расчитать это среднее из этих 2-х значений?

Никак.

Я Вам написал стандартный простой способ решения таких задач - он Вам понятен? Можете выписать получающуюся систему?

umokin в сообщении #1701624 писал(а):

1?

Это включая сам бросок с орлом или не включая?
И почему так?

[umokin]

mihaild в сообщении #1701625 писал(а):

Это включая сам бросок с орлом или не включая?
И почему так?

Среднее значение величина статистическая или вероятностная, поэтому она ни включает, ни не включает бросок с каким-то результатом.
Почему 1? Потому, что при одном броске вероятность выпадения орла 0.5. Соответственно вероятность того, что орел не выпадет на первом броске и выпадет на каком-то из последующих и испытание прекратится, также равна 0.5. Т.е. в среднем при одном броске мы как получим орла так и не получим его.

В свете вышесказанного понимаю, что мое определение и рассуждения ошибочны, поэтому беру паузу чтобы все обдумать и попробовать ответить на остальные вопросы.

[mihaild]

umokin в сообщении #1701626 писал(а):

Среднее значение величина статистическая или вероятностная, поэтому она ни включает, ни не включает бросок с каким-то результатом

Среднее значение - это среднее значение какой-то величины. В данном случае - числа бросков до выпадения орла. Прежде чем говорить о среднем, нужно четко сказать, какая в точности величина имеется в виду.

[umokin]

mihaild в сообщении #1701627 писал(а):

umokin в сообщении #1701626 писал(а):

Среднее значение величина статистическая или вероятностная, поэтому она ни включает, ни не включает бросок с каким-то результатом

Среднее значение - это среднее значение какой-то величины. В данном случае - числа бросков до выпадения орла.

Если все так просто, то среднее значение этой величины $\frac{\infty}{2}$, но насколько понимаю, это значение должно искаться с учетом вероятностей или чего-то еще?

mihaild в сообщении #1701627 писал(а):

Прежде чем говорить о среднем, нужно четко сказать, какая в точности величина имеется в виду.

Безусловно, вот это я и пытаюсь понять, какая величина это должна быть, как она определяется. Мое определение, как понял - неверное.

[serg_yy]

umokin в сообщении #1701626 писал(а):

Почему 1? Потому, что при одном броске вероятность выпадения орла 0.5. Соответственно вероятность того, что орел не выпадет на первом броске и выпадет на каком-то из последующих и испытание прекратится, также равна 0.5. Т.е. в среднем при одном броске мы как получим орла так и не получим его.

С математической точки зрения Вы написали какую-то ерунду. Из написанного невозможно сделать вывод о среднем числе необходимых бросков.
Ответ 1, разумеется, ошибочен. Ответ 1 возможен только если при первом же броске гарантированно выпадает орёл (например бросается особая монета, у которой орлы с обеих сторон).

[mihaild]

umokin в сообщении #1701628 писал(а):

Если все так просто, то среднее значение этой величины $\frac{\infty}{2}$, но насколько понимаю, это значение должно искаться с учетом вероятностей или чего-то еще?

Случайная величина - это некоторое значение, которое мы можем посчитать по результатам эксперимента (элементарному исходу).
Для задачи "бросаем монетку до первого орла" элементарный исход - последовательность результатов бросков монетки, в которой последний бросок - орел, а все кроме последнего - решки. Вероятность исхода "$n$ решек, потом орел" - понятно $2^{-n-1}$ (в общем случае задать вероятности на самих элементарных исходах недостаточно, нужно говорить об их множествах, но пока что сойдет).
Но теперь нужно сказать, что такое "число бросков до первого орла" - какое конкретно число мы приписываем каждому исходу. И тут есть два варианта - можно бросок, на котором выпал орел, включать, а можно не включать. Это будет просто две разных задачи. И вопрос, какую из них Вы пытаетесь решать.

[gris]

Теоретический разговор приутих, и позволю себе влезть со своим пятачком Медным .
in 1000000 tests pair of eagles appears on i step
[000000, 249316, 125006, 125135, 093807,
078590, 062749, 050833, 040703, 033407,
026680, 021604]... times
average step 6.001984
Вектор представляет число появлений пары орлов на бросках с первого до 12-го, что представляет собой дробную часть вероятности. Меня поразило, что орлам всё равно появиться на третьем или четвёртом броске. Впрочем, я мог и напутать. Вотъ: без моих комментариев.

{N=1 000 000;
M=100;
v=vector(M);
for(n=1,N,
  a=random(2);
  for(i=2,5000,
    b=random(2);
    if(b&&a,if(i<M,v[i]++,v[M]++);break,a=b); 
  );
);
printf("in %d tests pair of eagles appears on i step %06d... times\n",N,v[1..12]);
av=0; for( i=1,M,av+=v[i]*i/N);
printf("average step %.6f\n",av);
}

Чонетак?

[mihaild]

gris в сообщении #1701634 писал(а):

Меня поразило, что орлам всё равно появиться на третьем или четвёртом броске.

Довольно несложно выписать все последовательности где для получения двух орлов нужно ровно 3 или ровно 4 броска.

[b4b5]

$ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \dots + E(X_r) = r \cdot \frac{1}{p} = \frac{r}{p} $

-- 12.09.2025, 20:06 --

Можно и так.
Орёл появляется в среднем за $2$ броска.
Чтобы получить $r$ орлов — нужно в среднем $2r$ бросков.