Неравенство Белла

[Cos(x-pi/2)]

Написал, как мне (Bell.2)-(Bell.4) видятся "на пальцах". Поскольку я не знаток теорвера на математическом уровне строгости, то для меня "на пальцах" означает: не пользоваться теоремами теорвера, а оценивать вероятность события, как дробь - отношение, сколько раз случилось интересующее событие, к очень большому числу всех случившихся событий (обычно так и оценивают вероятности из экспериментов). Сначала, себе для ясности, разбираю элементарную картину без скрытых параметров (СП), а затем чуть более сложную с СП:

(Без СП:)

Пусть есть мешок с частицами. На каждой частице написано одно число: $M=+1$ или $M=-1.$ Источник посылает из мешка частицы парами: одну частицу Алисе, другую Бобу. Всего в ходе опыта посылается $n\gg 1$ пар:

$$n^{++}+n^{+-}+n^{-+}+n^{--}=n$$

Здесь обозначено: $n^{++}$ - столько раз Алиса получила $M_A=+1$ и Боб получил $M_B=+1.$ Остальные обозначения аналогичны этому. Разделив обе стороны этого равенства на $n,$ увидим дроби, четыре штуки (их сумма равна единице). Это оценки для вероятностей $P(M_A,M_B).$ Буду такие дроби для краткости называть вероятностями. Через них оценивается коррелятор

$$\langle M_AM_B\rangle =\frac{n^{++}}{n}+\frac{n^{--}}{n}-\frac{n^{+-}}{n}-\frac{n^{-+}}{n}$$

Суммарные вероятности получаются делением на $n$ равенств

$$n^+_A=n^{++}+n^{+-},\qquad n^-_A=n^{-+}+n^{--}$$

$$n^+_B=n^{++}+n^{-+},\qquad n^-_B=n^{+-}+n^{--}$$

Через них оцениваются средние значения показаний приборов Алисы и Боба:

$$\langle M_A\rangle =(+1)\frac{n^+_A}{n}+(-1)\frac{n^-_A}{n}$$

$$\langle M_B\rangle =(+1)\frac{n^+_B}{n}+(-1)\frac{n^-_B}{n}$$

Пример без корреляции:

Если источник раздаёт частицы совершенно случайным образом, то для оценки можно считать, что среди числа $n^+_A$ случаев с $M_A=+1$ долю $n^+_B/n$ составляют случаи с $M_B=+1.$ Поэтому

$$n^{++}=n^+_A\,\frac{n^+_B}{n},\text{ и аналогично: }n^{+-}=n^+_A\,\frac{n^-_B}{n},\quad n^{-+}=n^-_A\,\frac{n^+_B}{n},\quad n^{--}=n^-_A\,\frac{n^-_B}{n},$$

Разделив на $n,$ получаем равенства с произведениями вероятностей независимых событий:

$$\frac{n^{++}}{n}=\frac{n^+_A}{n}\,\frac{n^+_B}{n},\quad \frac{n^{+-}}{n}=\frac{n^+_A}{n}\,\frac{n^-_B}{n},\quad \frac{n^{-+}}{n}=\frac{n^-_A}{n}\,\frac{n^+_B}{n},\quad \frac{n^{--}}{n}=\frac{n^-_A}{n}\,\frac{n^-_B}{n}$$

Подставив это в выражение для коррелятора, видим, что

$$\langle M_AM_B\rangle =\langle M_A\rangle\,\langle M_B\rangle$$

Такая факторизация коррелятора служит признаком того, что $M_A$ и $M_B$ - независимые случайные величины.


Пример c корреляцией:

Пусть источник раздаёт Алисе и Бобу частицы всегда с противоположным знаком. Плюс или минус - пусть будут равновероятными. Тогда:

$$n^{++}=n^{--}=0,\quad n^{+-}=n^{-+}=n/2$$

$$\frac{n^+_A}{n}=\frac{n^{+-}}{n}=\frac{n^-_B}{n}=\frac{1}{2}\,,\quad \frac{n^-_A}{n}=\frac{n^{-+}}{n}=\frac{n^+_B}{n}=\frac{1}{2}\,.$$

$$\langle M_A\rangle=0\,,\quad \langle M_B\rangle=0\,.$$

$$\langle M_AM_B\rangle=-1\,.$$

(Со скрытыми параметрами:)

Пусть $\lambda$ есть в общем случае многокомпонентный "вектор", с дискретными значениями компонент. Источник посылает Алисе и Бобу частицы со значением (многокомпонентным) $\lambda.$ Обоим - одинаковое $\lambda,$ но от раза к разу оно может случайным образом меняться. Пусть показания $M_A=\pm 1$ и $M_B=\pm 1$ приборов у Алисы и Боба являются некоторыми функциями от $\lambda.$

Функция $M_A(\lambda)$ пусть зависит только от части компонент "вектора" $\lambda,$ обозначу эту часть как $\lambda_A,$ а функция $M_B(\lambda)$ пусть зависит от остальной части, $\lambda_B.$ Но ниже я такую разбивку $\lambda$ на части явно не выписываю, для краткости.

Однозначных обратных функций здесь нет. Невозможно по значению $ M_A(\lambda) $ вычислить полностью $\lambda,$ и таким путём узнать $M_B. $ Т.е. зная $\lambda,$ можно предсказать $M_B(\lambda)$ и $M_A(\lambda),$ а зная только значение $M_A,$ нельзя предсказать значение $M_B.$ Также и наоборот: по $M_B$ нельзя узнать $M_A.$ Значит, можем полагать, что $M_A$ и $M_B$ - независимые величины. Они случайные из-за случайности $\lambda.$

Индексом $\lambda$ отметим числа, относящиеся к случаям с данным конкретным $\lambda.$ В ходе опыта параметр принимал данное значение $\lambda$ какое-то очень большое число раз $n_{\lambda}.$ При этом у Алисы $n^+_{A,\lambda}$ раз прибор показал $M_A=+1$ и $n^-_{A,\lambda}$ раз показал $M_A=-1.$ Аналогично и у Боба. Так что:

$$n_{\lambda}=n^+_{A,\lambda}+n^-_{A,\lambda}=n^+_{B,\lambda}+n^-_{B,\lambda}$$

Разделив это на $n_{\lambda}$ увидим здесь дроби, являющиеся оценками для нормированных вероятностей $P(M_A|\lambda)$ и $P(M_B|\lambda).$

Рассмотрим число $n^{++}_{\lambda}$ - столько раз при заданном $\lambda$ было одновременно $M_A=+1$ и $M_B=+1.$ Поскольку $M_A$ и $M_B$ независимы, это число раз можно оценить как долю $n^+_{B,\lambda}/n_{\lambda}$ от числа $n^+_{A,\lambda}:$

$$n^{++}_{\lambda}=n^+_{A,\lambda}\,\frac{n^+_{B,\lambda}}{n_{\lambda}}$$

Правую сторону этого равенства умножим и тут же разделим на $n_{\lambda}.$ Затем просуммируем такие равенства по $\lambda.$ И разделим обе стороны на полное число событий, т.е. на $n=\sum_{\lambda}n_{\lambda}:$

$$\frac{1}{n}\sum_{\lambda} n^{++}_{\lambda}\,=\,\sum_{\lambda}\frac{n^+_{A,\lambda}}{n_{\lambda}}\,\frac{n^+_{B,\lambda}}{n_{\lambda}}\,\frac{n_{\lambda}}{n}$$

Понимая здесь дроби как оценки вероятностей, заключаю, что получилось равенство

$$P(M_A=+1,M_B=+1)=\sum_{\lambda}P(M_A=+1|\lambda)\,P(M_B=+1|\lambda)\,P(\lambda)$$

Аналогично получается и для остальных комбинаций плюсов и минусов, т.е. пришли к равенству типа (Bell.4):

$$P(M_A,M_B)=\sum_{\lambda}P(M_A|\lambda)\,P(M_B|\lambda)\,P(\lambda)$$

Пример ТСП-модели с корреляцией. "Фотоны" со скрытыми параметрами:

Пусть источник посылает "фотоны" двух равновероятных сортов: с определённым вектором $\vec{h}$ или с ортогональным ему вектором $\vec{v}.$ Чертежи на предыдущем моём рисунке пронумеруем буквами слева направо как а), б), в), г); на формулы там теперь не смотрим вовсе.

Представим себе там вектор $\vec{h}$ как орт оси $x,$ чуть-чуть повёрнутый против часовой стрелки на очень малый угол. И, аналогично, $\vec{v}$ это орт оси $y,$ чуть-чуть повёрнутый на такой же малый угол против часовой стрелки. (Такой маленький поворотик позволит далее в модели приборов избежать хлопот с направлением $\pi/4).$

Корреляция пусть заключается в том, что если Алисе послан "фотон" $\vec{h},$ то Бобу - "фотон" $\vec{v}.$ И наоборот: когда Алисе послан $\vec{v},$ Бобу посылается $\vec{h}.$ Эти "векторы поляризации фотонов" играют роль скрытых параметров, управляющих работой приборов.

Модель приборов пусть будет вот какая. На упомянутых рисунках жирная линия изображает "ось" прибора. Пусть прибор доворачивает вектор поляризации фотона: либо укладывает его вдоль своей оси, и тогда показывает на экране $+1,$ либо ставит его перпендикулярно своей оси, и тогда показывает $-1.$ По правилу: если на рисунке угол между осью прибора и вектором фотона меньше или равен $\pi/4,$ то экран покажет $+1,$ а иначе экран покажет $-1.$

Подчеркну принципиальное отличие этой ТСП-модели от КМ. В КМ вектор состояния линейной поляризации фотона, например, $|h\rangle$ в общем случае не позволяет предсказать показание экрана, предсказывается только вероятность: с вероятностью $\cos^2\theta$ будет показание $+1,$ либо с вероятностью $\sin^2\theta$ будет показание $-1,$ где $\theta$ это угол между вектором состояния поляризации фотона и осью прибора. А в данной ТСП-модели "вектор поляризации фотона" даёт не вероятности, а инструкцию прибору: какое показание прибор должен выдать на экран.

Для случая а) находим, глядя на чертёж:

При $\vec{h}_A, \vec{v}_B$ (т.е. если к Алисе пришёл фотон $\vec{h},$ а к Бобу - $\vec{v})$ будет $M_A=+1,$ $M_B=-1.$ При $\vec{v}_A,\vec{h}_B$ будет $M_A=-1,$ $M_B=+1.$ Поскольку это равновероятные события, то

$$\langle M_A M_B\rangle=-1$$

Для случая б):

При $\vec{h}_A, \vec{v}_B$ будет $M_A=+1,$ $N_B=+1.$ При $\vec{v}_A,\vec{h}_B$ будет $M_A=-1,$ $N_B=-1.$

$$\langle M_A N_B\rangle=1$$

Для случая в):

При $\vec{h}_A, \vec{v}_B$ будет $N_A=+1,$ $M_B=-1.$ При $\vec{v}_A,\vec{h}_B$ будет $N_A=-1,$ $M_B=+1.$

$$\langle N_A M_B\rangle=-1$$

Для случая г):

При $\vec{h}_A, \vec{v}_B$ будет $N_A=+1,$ $N_B=+1.$ При $\vec{v}_A,\vec{h}_B$ будет $N_A=-1,$ $N_B=-1.$

$$\langle N_A N_B\rangle=1$$

В каждом из этих случаев усреднённые показания каждого прибора равны нулю. Корреляторы отличны от нуля. При этом, как видим, $\langle S\rangle = -2.$ Неравенство Белла $|\,\langle S\rangle\,|\le 2$ не нарушено.


Эту же модель можно изложить и в духе (Bell.4), но выглядит это тривиально. В любом из случаев a) - г) сумма по $\lambda$ содержит всего два слагаемых - одно для варианта $\vec{h}_A, \vec{v}_B,$ (условно обозначим его как $\lambda=+1),$ другое - для $\vec{v}_A,\vec{h}_B$ (условно: $\lambda=-1).$ Для обоих слагаемых $P(\lambda)=1/2.$

Пусть речь идёт, например, о случае а). Под знаком суммы по $\lambda$ наряду с сомножителем $P(\lambda)=1/2$ отличны от нуля только

$$P(M_A=+1|1)\,P(M_B=-1|1)=1,\quad\text{ или }\quad P(M_A=-1|-1)\,P(M_B=+1|-1)=1$$

Т.е. из всех $P(M_A,M_B)$ отличны от нуля только

$$P(+1,-1)=1/2\,,\qquad P(-1,+1)=1/2\,.$$

Поэтому и получается $\langle M_A M_B\rangle=-1.$ Аналогично рассматриваются случаи б) - г).

Можно и другие модели ТСП-приборов придумывать при том же источнике "фотонов", неравенство Белла при этом не нарушается. Например, пусть прибор показывает $+1,$ если угол между "вектором фотона" меньше $\pi/16,$ а иначе - показывает $-1.$ Тогда в случаях а) - г) получается

$$\langle M_A M_B\rangle=0,\quad \langle M_A N_B\rangle=0,\quad \langle N_A M_B\rangle=1,\quad \langle N_A N_B\rangle=1$$

Как видим, $\langle S\rangle = 2\,.$ Неравенство $|\,\langle S\rangle\,|\le 2$ не нарушено.

[EUgeneUS]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1701680 писал(а):

Написал, как мне (Bell.2)-(Bell.4) видятся "на пальцах". Поскольку я не знаток теорвера на математическом уровне строгости, то для меня "на пальцах" означает: не пользоваться теоремами теорвера, а оценивать вероятность события, как дробь - отношение, сколько раз случилось интересующее событие, к очень большому числу всех случившихся событий (обычно так и оценивают вероятности из экспериментов).

Подобными рассуждениями сформулирую эту мысль:

EUgeneUS в сообщении #1701649 писал(а):

Если обе монетки честные, а у Виктора нет возможности подменить карточки после того как сделан выбор, но до открытия карточек, то шансов выиграть у него нет. Вне зависимости от того, как он готовит карточки. ИМХО, это почти очевидно.
FGJ, могут быть статистические выбросы больше $2$, но по ЗБЧ они нивелируются со сбором статистики.

(Оффтоп)

Пусть
1. Есть четыре величины $V_0, V_1, V_2, V_3$, принимающие значения $\pm 1$. Это могут быть случайные величины, или это могут быть детерминированные (в том смысле, что вычисляются по каким-то правилам в зависимости от каких-то параметров). Они могут зависеть от чего угодно, кроме "монеток" Алисы и Боба.
Они должны обладать такими свойствами:
а) значения всех четырех величин, должны быть определены в каждом акте измерения, но до собственно измерения (то есть выбор Алисы и Боба не влияют на их значения).
Тогда можно говорить о четверке $(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})_i$ - значения этих величин в $i-м$ измерении.
б) Обозначим $n$ - общее количество измерений, $n_{(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})}$ - количество измерений, в которых выпала конкретная четверка $(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})$. Тогда должно выполняться:
либо $n_{(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})} = 0$ (для любого $N$)
либо $n_{(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})} \to \infty$, при $N \to \infty$)

Обращаю внимание, что значения $V_0, V_1, V_2, V_3$ могут зависеть и от номера эксперимента, и-или обладать памятью, то есть зависеть от предыдущих значений и результатов предыдущих измерений. Никаких подобных ограничений не накладываем
Главное, значения должны существовать для всех четырех во всех измерений, и они не зависят от выбора Алисы и Боба в данном измерении.

2. Есть ещё две случайные величины: $A$, $B$, равновероятно принимающие значения $M$ или $N$ - "монетки" Алисы и Боба. В зависимости от их значений в каждом измерении из четверки $(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})$ выбирается одна из четырех пар (правила выбора пар описаны ранее, повторять не буду).
"Монетки" - честные: величины $A$, $B$ ни о чего не зависят, (и на значения $(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})$ не влияют - в рамках одного эксперимента).

(продолжу позже)

[EUgeneUS]

продолжу "офф-то" из темы выше

(Оффтоп)

Bведем обозначения вида: $n(MN)$ - количество измерений, когда у Алисы выпало $N$, а у Боба выпало $N$.
Тогда, если а) "монетки честные" (вероятности не перекошены, и броски монеток независимы) и б) провели достаточно много измерений, чтобы применять ЗБЧ, то:

$$n(MM) =n(MN) = n(NM) = n(NN) = \frac{1}{4}n \eqno{(1)}$$

Bведем обозначения вида: $n(v_0,v_1,v_2,v_3|MN)$ - количество измерений, когда у Алисы выпало $N$, а у Боба выпало $N$, и выпала конкретная четверка $(v_0,v_1,v_2,v_3)$.
Тогда, если а) "монетки честные" (вероятности не перекошены, и броски монеток независимы (как друг от друга, так и от $V_i$)) и б) провели достаточно много измерений, чтобы применять ЗБЧ, то:
$n(v_0,v_1,v_2,v_3|MM) =n(v_0,v_1,v_2,v_3|MN) = n(v_0,v_1,v_2,v_3|NM) = n(v_0,v_1,v_2,v_3|NN) = \frac{1}{4}n(v_0,v_1,v_2,v_3) \eqno{(2)}$
Понятно, что равенства тут примерные, возможны флуктуации.

Теперь можем в лоб посчитать, например, $<M_A, M_B>$, как среднее по выборке.

$$<M_A, M_B> = \frac{1}{n(MM)}\sum\limits_{v_0,v_1,v_2,v_3}^{} n(v_0,v_1,v_2,v_3|MM) v_0 v_1 \eqno{(3)}$$

Суммирование производится по всем комбинациям $(v_0,v_1,v_2,v_3)$

Аналогично считаются $<M_A, N_B>, <N_A, M_B>, <N_A, N_B>$

Теперь можно посчитать $<S> = <M_A, M_B> - <M_A, N_B> + <N_A, M_B> +<N_A, N_B>$
После перегруппировки и применения (1) и (2) получается

$$<S> = \sum\limits_{v_0,v_1,v_2,v_3}^{} \frac{n(v_0,v_1,v_2,v_3)}{n}[v_0 v_1 - v_0 v_3 + v_2 v_1 + v_2 v_3] \eqno{(4)}$$

Выражение в квадратных скобках принимает значения $\pm 2$, а выражение целиком - это взвешенная сумма, модуль которого не может превышать максимальный модуль того, что в квадратных скобках.
Т.е. $|<S>| \le 2$. Ч.Т.Д.

-- 13.09.2025, 12:02 --

И небольшие комментарии.

(Оффтоп)

1. Подсчет статистики $<S>$ через средние по выборке, как в (3), возможен всегда, даже в "квантовом случае", когда принципиально измеряется только два значения из четырёх. Собственно, она так и считается в экспериментах.

2. Прямой подсчет статистики $<S>$ через (4) возможен, только если в каждом измерении измеряются все четыре величины. То есть это некоторая оценка, которая релевантна при предположениях озвученных выше.

3. Но относительно $V_0, V_1, V_2, V_3$ делались довольно таки слабые предположения:
а) значения всех четырех величин детерминированы (существуют) для всех измерений (даже если они и не измеряются и остаются неизвестными).
б) величины $V_0, V_1, V_2, V_3$ независимы от величин $A, B$ (не влияют на "монетки ""монетки" у Алисы и Боба, и не зависят от них).

[Cos(x-pi/2)]

EUgeneUS в сообщении #1701695 писал(а):

Подсчет статистики $<S>$ через средние по выборке, как в (3), возможен всегда, даже в "квантовом случае", когда принципиально измеряется только два значения из четырёх.

Непонятно, что означают Ваши слова "как в (3)" для квантового случая. Вы с предположением об одновременном существовании значений четырёх случайных переменных пришли к формуле (3) и вывели из неё неравенство Белла. Это верно. Но в КМ нет формулы (3), так как в КМ указанное предположение не является верным. Поэтому и неравенства Белла в КМ нет. Другими словами, неравенства Белла (их в гипотетических теориях со скрытыми параметрами несколько разных выведено) не выпрлняются; и эксперименты это подтверждают.

[EUgeneUS]

Cos(x-pi/2)
(3) - это просто подсчет статистики. Он существует в любом эксперименте, хоть квантовом, хоть не квантовом.
(4) - это действительно неравенство Белла. При выводе (4) из (3) использовались некие (сформулированные) предположения. И если (4) не выполняется (неравенство Белла нарушено), то неверны, нарушаются именно эти предположения, а не (3).

Чуть подробнее.
Введем обозначение $n(v_0, v_1, x, x|MM)$ - количество случаев, когда получена конкретная пара значений $v_0, v_1$, если у Алисы $M$ и у Боба $M$, вне зависимости от значений $v_2, v_3$.
Отмечу, что именно такие количества и набираются, суммируются, в эксперименте при измерениях: действительно, при $MM$ измеряем пару $v_0, v_1$.

Тогда можно записать (просуммировали по всем комбинациям $v_2, v_3$)

$$n(v_0, v_1, x, x|MM) = \sum\limits_{v_2, v_3}^{}n(v_0, v_1, v_2, v_3|MM)$$

Тогда (3) перепишется следующим образом:

$$<M_A, M_B> = \frac{1}{n(MM)}\sum\limits_{v_0,v_1}^{} n(v_0,v_1,x,x|MM) v_0 v_1 \eqno{(3.1)}$$

тут суммируем уже по всем комбинациям $v_0,v_1$, и это ровно то, что считается в эксперименте.

-- 13.09.2025, 17:40 --

Хотя более последовательно будет так:

1. Записать (3.1) - что считаем в эксперименте (любом).
2. Сделать предположение о существовании всей четверки при каждом измерении и перейти к (3).
3. Сделать предположение о "честных монетках" у Алисы и Боба и перейти к (4).

UPD: поправил нумерацию $v$.

[chislo_avogadro]

Вот приводится доказательство неравенства посредством рассуждения на двух пальцах. Интересно, насколько оно покажется убедительным.

[Anton_Peplov]

lel0lel в сообщении #1701554 писал(а):

По-моему, речь идёт о том, что зависимость между событиями у Алисы и Боба полностью определяется скрытыми параметрами, которые устанавливаются внутри источника. Если скрытые параметры положить фиксированными, удовлетворяющими возможной связи между ними, то при таких условиях события у Алисы и Боба независимые.

Мне нравится эта мысль. Но я еще покопаюсь в учебниках теорвера, чтобы понять, можно ли говорить о событиях, независимых при определенных условиях, и если да, то элементами какой сигма-алгебры являются эти события. Я нарочно пытаюсь свести все к самой строгой математике, чтобы убедиться, что нигде нет лукавства.

Cos(x-pi/2), EUgeneUS. Спасибо. Я обязательно все внимательно прочитаю и задам вопросы, но не прямо сейчас.

[OlegML]

Здравствуйте.
Тоже достаточно долго разбирался в теме, но кажется разобрался.
За путанными рассуждениями по моему скрывается простое утверждение. Если я не прав, надеюсь меня поправят.
Под скрытыми параметрами подразумевается определенная ориентация поляризации (пусть речь идет о фотонах).
То есть наличие скрытых параметров = фотон имеет определенную поляризацию (ориентацию в пространстве). Фотоны регистрируются детекторами с выделенным направлением поляризации.
Если поляризация фотонов в пространстве определенна, результат регистрации зависит от угла между регистратором и поляризацией (пусть для 1го $\alpha$, для второго $\beta$).
Результат регистрации обоих фотонов зависит от обоих углов и выражается неравенствами Белла. Эксперименты показывают, что они нарушаются.
Считается, что согласно квантовой механике результат регистрации обоих фотонов зависит исключительно от угла между регистраторами $\alpha+\beta$. Если сумма меньше половины прямого угла результат измерения одинаков, в противном случае разный. Конечно речь идет о статистических результатах. Кажется эксперименты это тоже не подтверждают.
Извиняюсь, если что-то подобное уже было в теме, нет времени все прочитывать.