Неравенство Белла

[Anton_Peplov]

Пытаюсь разобраться с неравенством (-ами) Белла по книге: Львовский. Отличная квантовая механика. Гл. 2. Квантовая запутанность. $\S$ 2.3. Квантовая нелокальность. п. 2.3.2 Неравенство Белла. Номера страниц не указываю, т.к. читаю книгу в epub и нумерация зависит от просмотрщика.

Я рад уже тому, что нашел на русском языке учебник, в котором подробно разобрана эта тема. Тем не менее мне сильно не нравятся обозначения Львовского, я в них путаюсь и подозреваю, что неправильно понимаю написанное в учебнике. Поэтому буду приводить скрины из книги, свое понимание и спрашивать, не напутал ли я чего-нибудь.

Вопрос № 1. Постановка задачи и формулировка неравенства Белла.

Вот что написано у Львовского (картинка кликабельна):

Вложение:

Lv-55.jpg

Вот как я это расшифровал:

Каждый из двух удалённых наблюдателей – и Алиса, и Боб – пользуются устройством, имеющим две кнопки, обозначенные $M$ и $N$, и экран, который может показывать либо “+1”, либо “-1”. Во время эксперимента Алиса и Боб не имеют возможности общаться друг с другом.

Источник, расположенный между Алисой и Бобом, посылает им пару частиц. Алиса и Боб получают эти частицы и вводят их каждый в своё устройство. Затем они, не коммуницируя между собой, выбирают случайную кнопку на устройстве и одновременно нажимают на неё. Каждое устройство показывает величину $ \pm 1$, связанную, возможно, с состоянием полученной частицы. Всю описанную операцию мы называем событием.

Оба наблюдателя ведут записи о нажатых ими кнопках и показанных числах. Для $i$-той частицы Алиса записывает либо $M_A$ - величину, которую она получила при нажатии кнопки $M$, либо $N_A$ - величину, которую она получила при нажатии кнопки $N$. Аналогично поступает и Боб. После получения данных о большом массиве событий обе стороны встречаются и производят анализ своих событий.

События, очевидно, разбиваются на четыре типа:

• Оба нажали $M$. Назовем это $MM$-событием.
• Оба нажали $N$. Назовем это $NN$-событием.
• Алиса нажала $M$, Боб - $N$. Назовем это $MN$-событием.
• Алиса нажала $N$, Боб - $M$. Назовем это $NM$-событием.

Введем величину $\langle M_A M_B \rangle_{MM}$ - произведение $M_A M_B$, усредненное по всем $MM$-событиям. Обозначим $P_{MM}(X)$ вероятность наблюдения события $X$ в $MM$-событии. Если $MM$-событий достаточно много, чтобы отождествить частоты с вероятностями, то

$$ \begin{array}{rcl} \langle M_A M_B \rangle_{MM} = P_{MM}(M_A = M_B = 1) + P_{MM}(M_A = M_B = -1) - \\ - P_{MM}(M_A = 1, M_B = -1) - P_{MM}(M_A = -1, M_B = 1) \end{array} $$

или, короче,

$$ \langle M_A M_B \rangle_{MM} = \sum_{M_A, M_B = 1}^{+1} P_{MM}(M_A, M_B) M_A M_B $$

Аналогично расписываются величины $\langle M_A N_B \rangle_{MN}$, $\langle N_A M_B \rangle_{NM}$ и $\langle N_A N_B \rangle_{NN}$

Смысл эксперимента заключается в оценке величины

$$ \langle S\rangle =\langle M_A M_B \rangle_{MM} - \langle M_A N_B \rangle_{MN} + \langle N_A M_B \rangle_{NM} + \langle N_A N_B \rangle_{NN} \eqno{(Bell.1)} $$

Белл показал, что для любого локального устройства выполняется неравенство Белла:

$$ \langle S\rangle \le 2 $$

Вопрос: тут уже есть ошибки или еще нет? В частности, правильно ли я понимаю, как вычисляется величина $\langle S\rangle$?

[Cos(x-pi/2)]

Ошибок вроде нет. Но как-то премудро изложено. Загадочные устройства, кнопки, Алиса, Боб - всеми этими деталями изначально создаётся ненужное ощущение таинственности. И вот эта фраза - "Белл показал, что..." - напрягает (меня во всяком случае, потому что я уже не помню, что именно написано у Белла, а читать его заново нет времени, да и не хочется).

Думаю, сначала лучше пытаться по-простому понять, как возникает обсуждаемое неравенство Белла, - на основе обычного классического представления о случайных величинах. Затем необходимо для сравнения посчитать аналогичный коррелятор в квантовой механике, например, для проекций спина пары электронов в синглетном спиновом состоянии. Пугаться этих слов не надо, это лёгкая учебная задачка. А Алису и Боба можно будет приплетать потом - для художественной выразительности, когда суть сюжета уже будет ясна.


На мой взгляд, всё самое основное в изложенном Вами сюжете можно пояснить просто; примерно вот так. Пусть есть четыре величины $M_A,N_A,M_B,N_B,$ каждая из которых случайным образом принимает только значения $1$ или $-1.$ Рассмотрим величину $S,$ составленную из них так же, как у Вас написано в формуле $Bell.1,$ но только пока ещё без знаков усреднения.

Замечаем, что:

$$S=M_A M_B-M_A N_B+N_A M_B+N_A N_B=$$

$$=M_A\,(M_B-N_B)\,+\,N_A\,(M_B+N_B)$$

Запишем возможные значения чисел в скобках, перебирая в обеих скобках в одном и том же порядке возможные значения $M_B$ и $N_B;$ например, перебираем в таком порядке: $1$ и $1,$ или $1$ и $-1,$ или $-1$ и $1,$ или $-1$ и $-1.$

Видим, что:

$$S\,=\,M_A\cdot (0,\text{ или }2,\text{ или }-2,\text{ или }0)\,+\,N_A\cdot (2,\text{ или }0,\text{ или }0,\text{ или }-2)$$

Т.е. когда число в одной из этих двух скобок не равно нулю, то в другой скобке оно равно нулю. Поэтому:

$$S=N_A\cdot 2,\text{ или }M_A\cdot 2,\text{ или }M_A\cdot (-2),\text{ или }N_A\cdot (-2)\,=\,\pm \,2$$

Таким образом, $S$ это случайная величина, принимающая только значения $-2$ или $2.$ Поэтому абсолютная величина её среднего значения не может быть больше $2:$

$$|\,\langle S\rangle\,| \le 2$$

Процесс усреднения величины $S$ можно понимать да, в том духе, как Вы и говорите. Т.е., например, сначала много-много раз измеряем пару величин $M_A$ и $M_B$ и записываем в протокол каждый раз значения произведения $M_A M_B.$ И в итоге находим среднее арифметическое $\langle M_A M_B\rangle$ этих значений. Затем аналогично много-много раз измеряем пару $M_A$ и $N_B$ и находим среднее арифметическое $\langle M_A N_B\rangle.$ И аналогично определяются средние арифметические значения $\langle N_A M_B\rangle,$ $\langle N_A N_B\rangle.$ После этого $\langle S\rangle$ вычисляется как

$$\langle S\rangle=\langle M_A M_B\rangle-\langle M_A N_B\rangle+\langle N_A M_B\rangle+\langle N_A N_B\rangle$$

[Anton_Peplov]

Уважаемый Cos(x-pi/2), спасибо за подробный ответ. Я обдумаю его пару дней, прежде чем задавать вопросы, чтобы эти вопросы не вышли совсем уж глупыми.

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

Уважаемый Anton_Peplov, ко мне лучше обращаться без "уважаемый" (не уважаемому мне спокойнее, ощущаю меньше ответственности за свои слова :) И, кстати, "глупые" вопросы это хорошо - на них и отвечать бывает легче, и желающих отвечать находится больше (если что, это шутка; предупредил, чтобы отвечающие не обиделись).

Мои краткие пояснения, конечно, не могут заменить собой книги и море статей на эту довольно тяжёлую тему. Чтобы Вам легче обдумывалось, добавлю к сказанному выше, что конкретика (так называемый "дьявол в деталях") содержится в пока ещё здесь не написанных выражениях для тех самых вероятностей, которые Вы обозначили как $P_{MM},$ $P_{MN},$ $P_{NM},$ $P_{NN}.$ Разный их выбор может давать разные ответы для $\langle S\rangle.$ Насколько представляю, неравенства Белла выводятся в гипотетических "теориях со скрытыми параметрами" (ТСП), и там всё зависит от свойств предлагаемых в них скрытых параметров и усреднения $\langle...\rangle.$

В стандартной квантовой механике (КМ) нет скрытых параметров, и неравенства Белла в КМ не выводятся. В задачке о спиновом синглете пары частиц со спином $1/2$ получаются вот какие вероятности. Пусть: $N_A$ и $N_B$ означают результаты измерения проекции одночастичного спина в единицах $\hbar/2$ на ось $z,$ $M_B$ - на ось, повёрнутую вокруг оси $y$ на угол $\theta,$ $M_A$ - на ось, повёрнутую вокруг оси $y$ на угол $2\theta.$

Тогда для $P_{NN}(N_A,N_B)$ выводятся значения:

$$P_{NN}(1,1)=P_{NN}(-1,-1)=0$$

$$P_{NN}(1,-1)=P_{NN}(-1,1)=\frac{1}{2}$$

Так что:

$$\langle N_AN_B\rangle=-1.$$

Для $P_{MN}(M_A,N_B):$

$$P_{MN}(1,1)=P_{MN}(-1,-1)=\frac{1}{2}\,\sin^2(\theta)$$

$$P_{MN}(-1,1)=P_{MN}(1,-1)=\frac{1}{2}\,\cos^2(\theta)$$

Так что:

$$\langle M_AN_B\rangle=\sin^2(\theta)-\cos^2(\theta)=1-2\cos^2(\theta).$$

Для $P_{NM}(N_A,M_B):$

$$P_{NM}(1,1)=P_{NM}(-1,-1)=\frac{1}{2}\,\sin^2(\theta/2)$$

$$P_{NM}(-1,1)=P_{NM}(1,-1)=\frac{1}{2}\,\cos^2(\theta/2)$$

Так что:

$$\langle N_AM_B\rangle=\sin^2(\theta/2)-\cos^2(\theta/2)=-\cos(\theta).$$

Для $P_{MM}(M_A,M_B):$

$$P_{MM}(1,1)=P_{MM}(-1,-1)=\frac{1}{2}\,\sin^2(\theta/2)$$

$$P_{MM}(-1,1)=P_{MM}(1,-1)=\frac{1}{2}\,\cos^2(\theta/2)$$

Так что:

$$\langle M_AM_B\rangle=\sin^2(\theta/2)-\cos^2(\theta/2)=-\cos(\theta).$$

Итого:

$$\langle S\rangle=\langle M_A M_B\rangle-\langle M_A N_B\rangle+\langle N_A M_B\rangle+\langle N_A N_B\rangle=-\cos(\theta) -(1-2\cos^2(\theta))-\cos(\theta)-1$$

То есть:

$$\langle S\rangle=-2-2\cos(\theta)\,(1-\cos(\theta))$$

Очевидно, что при $0<\theta<\pi/2$ получается $\cos(\theta)\,(1-\cos(\theta))>0$ и, следовательно, $|\,\langle S\rangle\,| > \,2.$ Т.е. в этом примере в КМ неравенство $|\,\langle S\rangle\,| \le 2$ не выполняется. Есть и другие примеры невыполнения неравенств Белла в КМ. Так и должно быть, ведь КМ это не ТСП.

(Изобретатели ТСП вынуждены глубоко вникать во всё такое, чтобы не начать придумывать какой-нибудь уже известный велосипед в этой области, и не наступить на грабли, по которым уже прошлись другие. А у меня отношение к подобной тематике простое: я не теоретик, пытающийся создавать ТСП, и поэтому не трачу время на разбор моря публикаций с неравенствами Белла, ТСП, и нестандартными интерпретациями КМ. Когда (и если) теоретики совместно с экспериментаторами откроют новую работоспособную теорию, более фундаментальную, чем КМ, то тогда её придётся изучать всем, и надо будет учиться преподавать её студентам; а пока и в стандартной КМ хватает интересных задач.)

[Anton_Peplov]

Cos(x-pi/2)
Я еще раз перечитал вот это Ваше изящное построение:

Cos(x-pi/2) в сообщении #1701058 писал(а):

На мой взгляд, всё самое основное в изложенном Вами сюжете можно пояснить просто; примерно вот так. Пусть есть четыре величины $M_A,N_A,M_B,N_B,$ каждая из которых случайным образом принимает только значения $1$ или $-1.$ <...> Таким образом, $S$ это случайная величина, принимающая только значения $-2$ или $2.$ Поэтому абсолютная величина её среднего значения не может быть больше $2$

Оно верно, если в результате каждого опыта каждая из четырех случайных величин $M_A,N_A,M_B,N_B$ принимает какое-либо значение: $1$ или $-1$. Это единственное условие, дальше чистая арифметика. Следовательно, будь это выводом неравенства Белла, это самое неравенство Белла выполнялось бы и в квантовой механике. Значит, есть подвох.

Вот в чем подвох. В схеме эксперимента, предложенной Львовским, существенно, что $M_A$ и $N_A$ не могут принять определенное значение одновременно. Алиса нажала либо кнопку $M$, либо кнопку $N$. Аналогично и Боб нажал только одну из двух кнопок. Поэтому мы не можем посчитать в результате каждого опыта величину

$$S=M_A M_B-M_A N_B+N_A M_B+N_A N_B$$

а потом усреднить значения $S$ по всем опытам.

Если Вы согласны с этим, то я продолжу "шпарить по книжке", потому что вопросы, которые мне действительно непонятны, еще впереди.

За пример нарушения неравенства Белла в квантовой механике отдельное спасибо.

[Cos(x-pi/2)]

Anton_Peplov
На всякий случай (чтобы обо мне не думали слишком хорошо :), насчёт авторства того "изящного построения" - оно не моё. Подобное простейшее рассуждение есть в разных, встречавшихся мне текстах.

"Подвох" (если это называть подвохом) там действительно есть; и очень хорошо, что Вы это видите. Но это там всё-таки не подвох (в смысле обман читателя), а некоторое сознательно сделанное предположение. Понять, в чём оно заключается, лучше всего не в контексте с поначалу для читателя совершенно загадочными устройствами Алисы и Боба и их случайными нажатиями неких кнопок, а сразу в нормальном описании квантовомеханического эксперимента, пусть упрощённого и мысленного. (А манера рассказывать про такие опыты в форме загадки возникла в те давние годы, когда Белл и другие авторы, особенно Мермин (N.D. Mermin), пытались популяризировать эту тему для широкой публики, типа: "граждане, удивляйтесь, мир-то оказался квантовым, смотрите, какую головоломку нам преподносит природа!" Эта традиция прижилась в статьях и книгах - она способствует привлечению внимания читателей.)

Раз Вы уже читаете учебник по КМ, то наверное наряду с "головоломным" описанием поймёте и обычное квантовомеханическое. Спин электрона может показаться мало наглядным понятием для начинающего читателя, поэтому возьмём более наглядное понятие - "линейная поляризация фотона".

Устройство у Алисы (у Боба оно аналогичное) анализирует поляризацию фотона по признаку: горизонтальная (H) или вертикальная (V). Наглядно эти два состояния поляризации фотона, $|H\rangle$ или $|V\rangle,$ можно представить себе просто как два обычных вектора на плоскости - два декартовых орта $\mathbf{e}_x,$ $\mathbf{e}_y.$ Для нас такая картина важна потому, что мы (с Вами) умеем повернуть орты в этой плоскости (на любой угол $\theta>0$ против часовой стрелки) и написать разложения повёрнутых ортов $\mathbf{e}'_x,$ $\mathbf{e}'_y$ по исходным ортам $\mathbf{e}_x,$ $\mathbf{e}_y.$ Так вот: символы повёрнутых состояний $|H'\rangle,$ $|V'\rangle$ связаны с $|H\rangle,$ $|V\rangle$ точно такими же равенствами. И с этими символами можно всё вычислять так же, как с обычными векторами. Например, скалярное произведение $\langle V|H\rangle=0,$ как и $\mathbf{e}_y\cdot \mathbf{e}_x=0.$

А знать всё это про повороты нужно потому, что направления поляризации жёстко заданы положением оптической системы внутри устройства. Далее для краткости буду называть устройство прибором. Фотон, влетающий в прибор Алисы, может не иметь определённой поляризации. Но он обязательно обнаружится одним из двух детекторов, расположенных на выходах двух каналов (H и V) оптической системы. Т.е. фотон обнаружится или в состоянии $|H\rangle,$ и тогда пусть в данном приборе на экране зажигается $+1,$ или - в состоянии $|V\rangle,$ и тогда в приборе на экране зажигается $-1.$

Если до того повернуть оптическую систему внутри прибора, то он будет работать аналогично, но только анализироваться будут повёрнутые направления поляризации: $+1$ зажигается, если фотон обнаруживается в состоянии $|H'\rangle,$ а $-1$ зажигается, если фотон обнаруживается в состоянии $|V'\rangle.$ Об этом - т.е. повёрнута ли и на какой угол $\theta$ анализирующая оптическая система, - говорят как о выборе измерительного базиса. Т.е. $|H\rangle,$ $|V\rangle$ это один базис, $|H'\rangle,$ $|V'\rangle$ с каким-то конкретным значением $\theta$ (таким, что новые направления ортов не совпадают со старыми) это другой базис, а ещё и с другим значением $\theta$ - это уже ещё один базис, и так далее.

Кнопка "M" на приборе Алисы просто задаёт один из двух базисов - одно из двух положений оптической системы внутри прибора; обозначим его, скажем, $|H\rangle_A,$ $|V\rangle_A.$ Кнопкой "N" оптическая система поворачивается в другое положение, так Алиса выбирает повёрнутый базис $|H'\rangle_A,$ $|V'\rangle_A.$

У Боба всё аналогично, но только базисы не обязательно такие же, как у Алисы; они могут быть повёрнутыми относительно Алисиных. Все эти базисы можно представлять себе как пары ортов в плоскости, перпендикулярной направлению прилёта фотонов в прибор.

Фотоны испускаются источником парами. Пусть поляризационное квантовое состояние $|\Psi\rangle$ пар фотонов до прилёта в приборы описывается формулой, для простоты, аналогичной электронному спиновому синглету. Т.е.

$$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\,|h\rangle_A\,|v\rangle_B-\frac{1}{\sqrt{2}}\,|v\rangle_A\,|h\rangle_B$$

где $|h\rangle,$ $|v \rangle $ это тоже орты. В этой записи для краткости опущен знак "тензорного произведения" $\otimes$ между символами ортов. Согласно знаменитому принципу суперпозиции в КМ эта запись означает, например, что первый фотон может с амплитудой вероятности $1/\sqrt{2}$ обнаруживаться в приборе А в состоянии $|h\rangle_A$ и при этом второй фотон будет обнаруживаться в приборе В в состоянии $|v\rangle_B,$ или наоборот - первый фотон может с амплитудой вероятности $(-1)/\sqrt{2}$ обнаруживаться в приборе А в состоянии $|v\rangle_A$ и при этом второй фотон будет обнаруживаться в приборе В в состоянии $|h\rangle_B.$ Вероятность равна квадрату модуля амплитуды вероятности. Который из двух фотонов первым обнаружится, не важно, а важно, что изначально у них нет определённой поляризации, но после обнаружения у одного фотона какой-то поляризации у второго будет ортогональное состояние поляризации.

Указанное состояние $|\Psi\rangle$ обладает примечательным свойством - оно инвариантно к поворотам на один и тот же угол одновременно обоих ортов $|h\rangle,$ $|v\rangle.$ Т.е. оно равно такому же выражению $|\Psi\rangle$, в котором вместо $|h\rangle,$ $|v\rangle$ будут $|h'\rangle,$ $|v'\rangle$ (это прямо проверяется с помощью формул поворота ортов). Поэтому мы можем полагать в выражении $|\Psi\rangle,$ что, например, $|h\rangle_A=|H\rangle_A$ и $|v\rangle_A=|V\rangle_A,$ и это есть уже тот базис, который Алиса выбрала кнопкой "М" или "N", а $|h\rangle_B=|H\rangle_B$ и $|v\rangle_B=|V\rangle_B$ мы выразим через повёрнутые $|H'\rangle_B$ и $|V'\rangle_B:$

$$|H\rangle_B=\cos\theta\,|H'\rangle_B-\sin\theta\,|V'\rangle_B$$

$$|V\rangle_B=\sin\theta\,|H'\rangle_B+\cos\theta\,|V'\rangle_B$$

где $\theta$ это угол, на который выбранный Бобом базис повёрнут относительно Алисиного базиса. Подставив это в $|\Psi\rangle,$ получаем

$$|\Psi\rangle=\frac{\sin\theta}{\sqrt{2}}\,|H\rangle_A\,|H'\rangle_B+\frac{\cos\theta}{\sqrt{2}}\,|H\rangle_A\,|V'\rangle_B-\frac{\cos\theta}{\sqrt{2}}\,|V\rangle_A\,|H'\rangle_B+\frac{\sin\theta}{\sqrt{2}}\,|V\rangle_A\,|V'\rangle_B$$

Согласно принципу суперпозиции здесь коэффициенты это амплитуды вероятностей событий, которые обозначены векторами состояний. Просматривая строчку с этим длинным равенством слева направо, видим, что:

$\frac{\sin\theta}{\sqrt{2}}$ это амплитуда вероятности события $H_A$ и $H'_B,$ т.е. появления результатов $\sigma_A=1,\,\sigma_B=1$ на экранах приборов Алисы и Боба;

$\frac{\cos\theta}{\sqrt{2}}$ это амплитуда вероятности события $H_A$ и $V'_B,$ т.е. появления $\sigma_A=1,\,\sigma_B=-1.$ И так далее. Значения вероятностей $P(\sigma_A, \sigma_B)$ равны квадратам модулей амплитуд вероятностей. Таким образом:

$$P(1,1)=P(-1.-1)=\frac{1}{2}\,\sin^2\theta$$

$$P(1,-1)=P(-1.1)=\frac{1}{2}\,\cos^2\theta$$

Следовательно, для среднего значения произведения $\sigma_A\sigma_B$ получаем:

$$\langle \sigma_A\sigma_B\rangle=\sin^2\theta-\cos^2\theta =-\cos 2\theta$$

В литературе встречается описание выборов базиса, например, такое, как показано на рисунке ниже. Значки "M" и "N" указывают направление "горизонтальной поляризации" оптической системы в приборах Алисы и Боба относительно оси $x$ в плоскости $x,y.$ Угол $\theta$ это угол поворота базиса Боба относительно базиса Алисы; для четырёх разных выборов базисов значения этого угла равны $\pi/8,$ $3\pi/8,$ $\pi/8,$ $\pi/8.$ Величины $\sigma_A,\,\sigma_B$ под знаками усреднения обозначены тоже буквами "M" и "N", соответственно выбору базиса:



Таким образом, в этом примере КМ-формализм даёт $\langle S \rangle =4\cdot\frac{(-1)}{\sqrt{2}}=-2\sqrt{2},$ т.е. $|\,\langle S \rangle\,|>2.$ (И эксперименты этот результат или, по крайней мере, что-то в этом духе, уверенно подтверждают.)


Теперь о неравенстве Белла. Его вывод не имеет ничего общего с КМ-формализмом. Насколько понимаю, при выводе неравенств Белла предполагается, что у частиц вообще все величины всегда имеют некоторые значения. Предполагается, что все эти значения зависят от неких скрытых параметров $\lambda,$ и воспринимаются нами как случайные величины. В этом принципиальное отличие от КМ: в КМ до акта измерения у фотона нет определённой поляризации, а в ТСП скрытые параметры содержат информацию, определяющую результаты всех возможных измерений над фотонами, даже если эти измерения никто не делает.

Т.е. в ТСП величины $M_A,N_A,M_B,N_B$ это именно случайные величины, они зависят от некоей совокупности скрытых параметров $\lambda$, всегда имеют какие-то значения, для них есть какое-то неизвестное нам распределение вероятности, что-то типа $P(M_A(\lambda),N_A(\lambda),M_B(\lambda),N_B(\lambda),\lambda),$ и по нему можно усреднить, как $\langle (...)\rangle=\int (...)\,d\lambda,$ любое выражение с этими случайными переменными, в том числе и то выражение для $S.$ Величина $\langle S\rangle$ оказывается определённой вне зависимости от того, измеряются ли сразу все четыре случайные величины или не все.

"Головоломное" описание опыта составлено так, чтобы оно выглядело похожим на квантовомеханическую постановку эксперимента. Алиса нажимает, допустим, кнопку "М" и экран показывает значение $M_A$ только этой случайной переменной. Но в ТСП при этом существует и значение $N_A,$ просто оно не выведено на экран гипотетического ТСП-прибора, который мог бы показывать сразу все величины (и хорошо бы ещё и скрытые параметры бы показывал :).

То, что Алиса и Боб должны нажимать кнопки в случайном порядке, - не играет роли для вычисления $\langle S\rangle,$ ни в ТСП, ни в КМ. В любом случае мы в итоге интересуемся статистикой результатов отдельно для разных комбинаций. Поэтому можно считать, что сначала измеряются только $M_A$ и $M_B,$ и по этим данным в итоге вычисляется среднее арифметическое $\langle M_AM_B\rangle.$ Затем - только $M_A$ и $N_B.$ И так далее, все четыре комбинации - поочерёдно. Примерно об этом я и написал в предыдущих сообщениях. В том числе сказал, что тот вывод неравенства Белла предложен там лишь для начала, как простейший, а дальше надо вникать в "дьявола в деталях" в расчётах вероятностей, и упомянул, что для вывода неравенств Белла нужна ТСП.

Anton_Peplov в сообщении #1701237 писал(а):

Если Вы согласны с этим, то я продолжу "шпарить по книжке", потому что вопросы, которые мне действительно непонятны, еще впереди.

Согласен в том, что да, надо дальше внимательно разбираться с более серьёзным выводом неравенств Белла, если продолжать интересоваться их обсуждением.

Конечно, читайте книгу. Без сомнения. И вопросы задавайте. Не могу сказать, что я большой спец в таких сюжетах (и ТСП с сопутствующей ей философией я недолюбливаю); наверное, не на всё смогу ответить. Но есть ведь и другие участники форума; может быть, и они подключатся.

(P.S. 11.09.2025. Исправил ошибку в строчке с длинным равенством: в двух последних слагаемых синус и косинус поменялись местами.)

[Anton_Peplov]

Cos(x-pi/2)

Огромное спасибо за то, что расписали нарушение неравенства Белла через поляризацию фотонов. С этим понятием я уже знаком, знаю стандартные базисы, понимаю схемы измерения. Позже я разберу в деталях Ваше построение и, возможно, задам вопросы ("Ваше" не в смысле что Вы его придумали, я понимаю, что это где-то было написано до Вас). Вообще огромное Вам спасибо за то, что так подробно и с формулами все расписываете. Ведь все это написать, набрать и проверить - ощутимый труд. Спасибо.

А пока я продолжу пересказывать книгу, тем более у меня там назрел первый настоящий вопрос.

Тот же Львовский, следующая страница (кликабельна).

Вложение:

Lv-56.jpg

Я разобрал этот текст до, но не включая упражнения 2.46. Вот что вышло. Трудный для меня момент я выделю жирным.

На значение $M_A$ в $MM$-событии в общем случае влияет частица, которая попадает в устройство Алисы. Параметр частицы Алисы, влияющий на значение $M_A$, обозначим $\lambda_A$. Аналогично, параметр частицы Боба, влияющий на значение $M_B$ в $MM$-событии, обозначим $\lambda_B$.

Допустим, что $\lambda_A, \lambda_B$ - дискретные случайные величины с возможными значениями $\lambda_{A_1} \dots \lambda_{A_n}$ и $\lambda_{B_1} \dots \lambda_{B_m}$, соответственно (существует вывод неравенства Белла и для непрерывных параметров). По теореме о полной вероятности имеем:

$$ P(M_A, M_B) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m P(\lambda_{A_i}, \lambda_{B_j}) P[(M_A, M_B)|(\lambda_{A_i}, \lambda_{B_j})] \eqno{(Bell.2)} $$

Параметры $\lambda_A$ и $\lambda_B$ могут быть связаны, т.к. частицы вылетают из одного источника. С точки зрения локальности, это единственная возможная связь между событиями $M_A$ и $M_B$. Эта единственность формализуется в виде условия:

$$ P[(M_A, M_B)|(\lambda_{A_i}, \lambda_{B_j})] = P(M_A|\lambda_{A_i}) P(M_B|\lambda_{B_j}) \eqno{(Bell.3)} $$

С учетом этого уравнение (Bell.2) можно переписать в виде:

$$ P(M_A, M_B) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m P(\lambda_{A_i}, \lambda_{B_j}) P(M_A|\lambda_{A_i}) P(M_B|\lambda_{B_j}) \eqno{(Bell.4)} $$

Вопрос. Меня мучают сомнения: действительно ли уравнение (Bell.3) равносильно условию, что события $M_A$ и $M_B$ могут быть связаны только через параметры $\lambda_A$ и $\lambda_B$ ? Не могу понять этого до конца. Вроде бы должно быть так, но... Можно это расписать как-нибудь "на пальцах"?

Может быть, стоит оформить этот кусочек как задачу для ПРР(М)? Тут чистая теория вероятностей, которую я понимаю хуже, чем стоило бы.

[lel0lel]

Anton_Peplov в сообщении #1701349 писал(а):

Параметры $\lambda_A$ и $\lambda_B$ могут быть связаны, т.к. частицы вылетают из одного источника. С точки зрения локальности, это единственная возможная связь между событиями $M_A$ и $M_B$. Эта единственность формализуется в виде условия:

По-моему, речь идёт о том, что зависимость между событиями у Алисы и Боба полностью определяется скрытыми параметрами, которые устанавливаются внутри источника. Если скрытые параметры положить фиксированными, удовлетворяющими возможной связи между ними, то при таких условиях события у Алисы и Боба независимые.

-- Пт сен 12, 2025 00:41:18 --

Anton_Peplov в сообщении #1701349 писал(а):

действительно ли уравнение (Bell.3) равносильно условию, что события $M_A$ и $M_B$ могут быть связаны только через параметры $\lambda_A$ и $\lambda_B$ ?

Вроде это одно из возможных определений независимых событий.

[EUgeneUS]

Anton_Peplov
Следом за Вами пытаюсь разобраться в этой теме. Но пока без "квантов", а исключительно в рамках теории вероятностей.

Anton_Peplov в сообщении #1701349 писал(а):

Может быть, стоит оформить этот кусочек как задачу для ПРР(М)? Тут чистая теория вероятностей, которую я понимаю хуже, чем стоило бы.

Для собственного понимания построил такую модель. Может быть будет полезна.
1. Виктор готовит 4-ре карточки, на каждой из которых пишет число: или $+1$, или $-1$. И раздаёт по две карточки Алису и Бобу, по одной в каждую руку.
2. Алиса (и Боб)
а) вскрывают по одной карточке.
б) умножают два получившихся числа.
в) и складывают произведение с одной из четырех сумм: в зависимости от того, в каких руках были вскрытые карточки (ЛЛ, ЛП, ПЛ, ПП).
г) для каждой суммы отдельно считается среднее.
д) три получившихся средних суммируется, одно вычитается, берется модуль и получается статистика $|<S>|$
3. Задача Алисы и Боба (они играют в кооперативе), чтобы $|<S>|$ не превысило $2$
4. Задача Боба - сделать так, чтобы превысило.

Алиса и Боб выбирают стратегию: каждый независимо подбрасывает честную монетку, и в зависимости от броска выбирает руку, в которой открыть карточку.

Если обе монетки честные, а у Виктора нет возможности подменить карточки после того как сделан выбор, но до открытия карточек, то шансов выиграть у него нет. Вне зависимости от того, как он готовит карточки. ИМХО, это почти очевидно.
FGJ, могут быть статистические выбросы больше $2$, но по ЗБЧ они нивелируются со сбором статистики.

[b4b5]

Алиса и Боб делают независимый выбор (бросают честные монеты) - это моделирует локальность и независимость в классическом смысле.
Виктор подготавливает карточки, которые можно считать скрытыми переменными, определяющими результаты.
Если Виктор не может подменить карточки после выбора, статистика результатов не должна нарушать неравенство Белла (то есть оценка статистики останется в пределах классических ограничений).
Наблюдаемое нарушение неравенства Белла говорит о невозможности "классической" модели скрытых локальных переменных — такой ситуации в нашем классическом сценарии быть не может.

[Cos(x-pi/2)]

Написал, как мне (Bell.2)-(Bell.4) видятся "на пальцах". Поскольку я не знаток теорвера на математическом уровне строгости, то для меня "на пальцах" означает: не пользоваться теоремами теорвера, а оценивать вероятность события, как дробь - отношение, сколько раз случилось интересующее событие, к очень большому числу всех случившихся событий (обычно так и оценивают вероятности из экспериментов). Сначала, себе для ясности, разбираю элементарную картину без скрытых параметров (СП), а затем чуть более сложную с СП:

(Без СП:)

Пусть есть мешок с частицами. На каждой частице написано одно число: $M=+1$ или $M=-1.$ Источник посылает из мешка частицы парами: одну частицу Алисе, другую Бобу. Всего в ходе опыта посылается $n\gg 1$ пар:

$$n^{++}+n^{+-}+n^{-+}+n^{--}=n$$

Здесь обозначено: $n^{++}$ - столько раз Алиса получила $M_A=+1$ и Боб получил $M_B=+1.$ Остальные обозначения аналогичны этому. Разделив обе стороны этого равенства на $n,$ увидим дроби, четыре штуки (их сумма равна единице). Это оценки для вероятностей $P(M_A,M_B).$ Буду такие дроби для краткости называть вероятностями. Через них оценивается коррелятор

$$\langle M_AM_B\rangle =\frac{n^{++}}{n}+\frac{n^{--}}{n}-\frac{n^{+-}}{n}-\frac{n^{-+}}{n}$$

Суммарные вероятности получаются делением на $n$ равенств

$$n^+_A=n^{++}+n^{+-},\qquad n^-_A=n^{-+}+n^{--}$$

$$n^+_B=n^{++}+n^{-+},\qquad n^-_B=n^{+-}+n^{--}$$

Через них оцениваются средние значения показаний приборов Алисы и Боба:

$$\langle M_A\rangle =(+1)\frac{n^+_A}{n}+(-1)\frac{n^-_A}{n}$$

$$\langle M_B\rangle =(+1)\frac{n^+_B}{n}+(-1)\frac{n^-_B}{n}$$

Пример без корреляции:

Если источник раздаёт частицы совершенно случайным образом, то для оценки можно считать, что среди числа $n^+_A$ случаев с $M_A=+1$ долю $n^+_B/n$ составляют случаи с $M_B=+1.$ Поэтому

$$n^{++}=n^+_A\,\frac{n^+_B}{n},\text{ и аналогично: }n^{+-}=n^+_A\,\frac{n^-_B}{n},\quad n^{-+}=n^-_A\,\frac{n^+_B}{n},\quad n^{--}=n^-_A\,\frac{n^-_B}{n},$$

Разделив на $n,$ получаем равенства с произведениями вероятностей независимых событий:

$$\frac{n^{++}}{n}=\frac{n^+_A}{n}\,\frac{n^+_B}{n},\quad \frac{n^{+-}}{n}=\frac{n^+_A}{n}\,\frac{n^-_B}{n},\quad \frac{n^{-+}}{n}=\frac{n^-_A}{n}\,\frac{n^+_B}{n},\quad \frac{n^{--}}{n}=\frac{n^-_A}{n}\,\frac{n^-_B}{n}$$

Подставив это в выражение для коррелятора, видим, что

$$\langle M_AM_B\rangle =\langle M_A\rangle\,\langle M_B\rangle$$

Такая факторизация коррелятора служит признаком того, что $M_A$ и $M_B$ - независимые случайные величины.


Пример c корреляцией:

Пусть источник раздаёт Алисе и Бобу частицы всегда с противоположным знаком. Плюс или минус - пусть будут равновероятными. Тогда:

$$n^{++}=n^{--}=0,\quad n^{+-}=n^{-+}=n/2$$

$$\frac{n^+_A}{n}=\frac{n^{+-}}{n}=\frac{n^-_B}{n}=\frac{1}{2}\,,\quad \frac{n^-_A}{n}=\frac{n^{-+}}{n}=\frac{n^+_B}{n}=\frac{1}{2}\,.$$

$$\langle M_A\rangle=0\,,\quad \langle M_B\rangle=0\,.$$

$$\langle M_AM_B\rangle=-1\,.$$

(Со скрытыми параметрами:)

Пусть $\lambda$ есть в общем случае многокомпонентный "вектор", с дискретными значениями компонент. Источник посылает Алисе и Бобу частицы со значением (многокомпонентным) $\lambda.$ Обоим - одинаковое $\lambda,$ но от раза к разу оно может случайным образом меняться. Пусть показания $M_A=\pm 1$ и $M_B=\pm 1$ приборов у Алисы и Боба являются некоторыми функциями от $\lambda.$

Функция $M_A(\lambda)$ пусть зависит только от части компонент "вектора" $\lambda,$ обозначу эту часть как $\lambda_A,$ а функция $M_B(\lambda)$ пусть зависит от остальной части, $\lambda_B.$ Но ниже я такую разбивку $\lambda$ на части явно не выписываю, для краткости.

Однозначных обратных функций здесь нет. Невозможно по значению $ M_A(\lambda) $ вычислить полностью $\lambda,$ и таким путём узнать $M_B. $ Т.е. зная $\lambda,$ можно предсказать $M_B(\lambda)$ и $M_A(\lambda),$ а зная только значение $M_A,$ нельзя предсказать значение $M_B.$ Также и наоборот: по $M_B$ нельзя узнать $M_A.$ Значит, можем полагать, что $M_A$ и $M_B$ - независимые величины. Они случайные из-за случайности $\lambda.$

Индексом $\lambda$ отметим числа, относящиеся к случаям с данным конкретным $\lambda.$ В ходе опыта параметр принимал данное значение $\lambda$ какое-то очень большое число раз $n_{\lambda}.$ При этом у Алисы $n^+_{A,\lambda}$ раз прибор показал $M_A=+1$ и $n^-_{A,\lambda}$ раз показал $M_A=-1.$ Аналогично и у Боба. Так что:

$$n_{\lambda}=n^+_{A,\lambda}+n^-_{A,\lambda}=n^+_{B,\lambda}+n^-_{B,\lambda}$$

Разделив это на $n_{\lambda}$ увидим здесь дроби, являющиеся оценками для нормированных вероятностей $P(M_A|\lambda)$ и $P(M_B|\lambda).$

Рассмотрим число $n^{++}_{\lambda}$ - столько раз при заданном $\lambda$ было одновременно $M_A=+1$ и $M_B=+1.$ Поскольку $M_A$ и $M_B$ независимы, это число раз можно оценить как долю $n^+_{B,\lambda}/n_{\lambda}$ от числа $n^+_{A,\lambda}:$

$$n^{++}_{\lambda}=n^+_{A,\lambda}\,\frac{n^+_{B,\lambda}}{n_{\lambda}}$$

Правую сторону этого равенства умножим и тут же разделим на $n_{\lambda}.$ Затем просуммируем такие равенства по $\lambda.$ И разделим обе стороны на полное число событий, т.е. на $n=\sum_{\lambda}n_{\lambda}:$

$$\frac{1}{n}\sum_{\lambda} n^{++}_{\lambda}\,=\,\sum_{\lambda}\frac{n^+_{A,\lambda}}{n_{\lambda}}\,\frac{n^+_{B,\lambda}}{n_{\lambda}}\,\frac{n_{\lambda}}{n}$$

Понимая здесь дроби как оценки вероятностей, заключаю, что получилось равенство

$$P(M_A=+1,M_B=+1)=\sum_{\lambda}P(M_A=+1|\lambda)\,P(M_B=+1|\lambda)\,P(\lambda)$$

Аналогично получается и для остальных комбинаций плюсов и минусов, т.е. пришли к равенству типа (Bell.4):

$$P(M_A,M_B)=\sum_{\lambda}P(M_A|\lambda)\,P(M_B|\lambda)\,P(\lambda)$$

Пример ТСП-модели с корреляцией. "Фотоны" со скрытыми параметрами:

Пусть источник посылает "фотоны" двух равновероятных сортов: с определённым вектором $\vec{h}$ или с ортогональным ему вектором $\vec{v}.$ Чертежи на предыдущем моём рисунке пронумеруем буквами слева направо как а), б), в), г); на формулы там теперь не смотрим вовсе.

Представим себе там вектор $\vec{h}$ как орт оси $x,$ чуть-чуть повёрнутый против часовой стрелки на очень малый угол. И, аналогично, $\vec{v}$ это орт оси $y,$ чуть-чуть повёрнутый на такой же малый угол против часовой стрелки. (Такой маленький поворотик позволит далее в модели приборов избежать хлопот с направлением $\pi/4).$

Корреляция пусть заключается в том, что если Алисе послан "фотон" $\vec{h},$ то Бобу - "фотон" $\vec{v}.$ И наоборот: когда Алисе послан $\vec{v},$ Бобу посылается $\vec{h}.$ Эти "векторы поляризации фотонов" играют роль скрытых параметров, управляющих работой приборов.

Модель приборов пусть будет вот какая. На упомянутых рисунках жирная линия изображает "ось" прибора. Пусть прибор доворачивает вектор поляризации фотона: либо укладывает его вдоль своей оси, и тогда показывает на экране $+1,$ либо ставит его перпендикулярно своей оси, и тогда показывает $-1.$ По правилу: если на рисунке угол между осью прибора и вектором фотона меньше или равен $\pi/4,$ то экран покажет $+1,$ а иначе экран покажет $-1.$

Подчеркну принципиальное отличие этой ТСП-модели от КМ. В КМ вектор состояния линейной поляризации фотона, например, $|h\rangle$ в общем случае не позволяет предсказать показание экрана, предсказывается только вероятность: с вероятностью $\cos^2\theta$ будет показание $+1,$ либо с вероятностью $\sin^2\theta$ будет показание $-1,$ где $\theta$ это угол между вектором состояния поляризации фотона и осью прибора. А в данной ТСП-модели "вектор поляризации фотона" даёт не вероятности, а инструкцию прибору: какое показание прибор должен выдать на экран.

Для случая а) находим, глядя на чертёж:

При $\vec{h}_A, \vec{v}_B$ (т.е. если к Алисе пришёл фотон $\vec{h},$ а к Бобу - $\vec{v})$ будет $M_A=+1,$ $M_B=-1.$ При $\vec{v}_A,\vec{h}_B$ будет $M_A=-1,$ $M_B=+1.$ Поскольку это равновероятные события, то

$$\langle M_A M_B\rangle=-1$$

Для случая б):

При $\vec{h}_A, \vec{v}_B$ будет $M_A=+1,$ $N_B=+1.$ При $\vec{v}_A,\vec{h}_B$ будет $M_A=-1,$ $N_B=-1.$

$$\langle M_A N_B\rangle=1$$

Для случая в):

При $\vec{h}_A, \vec{v}_B$ будет $N_A=+1,$ $M_B=-1.$ При $\vec{v}_A,\vec{h}_B$ будет $N_A=-1,$ $M_B=+1.$

$$\langle N_A M_B\rangle=-1$$

Для случая г):

При $\vec{h}_A, \vec{v}_B$ будет $N_A=+1,$ $N_B=+1.$ При $\vec{v}_A,\vec{h}_B$ будет $N_A=-1,$ $N_B=-1.$

$$\langle N_A N_B\rangle=1$$

В каждом из этих случаев усреднённые показания каждого прибора равны нулю. Корреляторы отличны от нуля. При этом, как видим, $\langle S\rangle = -2.$ Неравенство Белла $|\,\langle S\rangle\,|\le 2$ не нарушено.


Эту же модель можно изложить и в духе (Bell.4), но выглядит это тривиально. В любом из случаев a) - г) сумма по $\lambda$ содержит всего два слагаемых - одно для варианта $\vec{h}_A, \vec{v}_B,$ (условно обозначим его как $\lambda=+1),$ другое - для $\vec{v}_A,\vec{h}_B$ (условно: $\lambda=-1).$ Для обоих слагаемых $P(\lambda)=1/2.$

Пусть речь идёт, например, о случае а). Под знаком суммы по $\lambda$ наряду с сомножителем $P(\lambda)=1/2$ отличны от нуля только

$$P(M_A=+1|1)\,P(M_B=-1|1)=1,\quad\text{ или }\quad P(M_A=-1|-1)\,P(M_B=+1|-1)=1$$

Т.е. из всех $P(M_A,M_B)$ отличны от нуля только

$$P(+1,-1)=1/2\,,\qquad P(-1,+1)=1/2\,.$$

Поэтому и получается $\langle M_A M_B\rangle=-1.$ Аналогично рассматриваются случаи б) - г).

Можно и другие модели ТСП-приборов придумывать при том же источнике "фотонов", неравенство Белла при этом не нарушается. Например, пусть прибор показывает $+1,$ если угол между "вектором фотона" меньше $\pi/16,$ а иначе - показывает $-1.$ Тогда в случаях а) - г) получается

$$\langle M_A M_B\rangle=0,\quad \langle M_A N_B\rangle=0,\quad \langle N_A M_B\rangle=1,\quad \langle N_A N_B\rangle=1$$

Как видим, $\langle S\rangle = 2\,.$ Неравенство $|\,\langle S\rangle\,|\le 2$ не нарушено.

[EUgeneUS]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1701680 писал(а):

Написал, как мне (Bell.2)-(Bell.4) видятся "на пальцах". Поскольку я не знаток теорвера на математическом уровне строгости, то для меня "на пальцах" означает: не пользоваться теоремами теорвера, а оценивать вероятность события, как дробь - отношение, сколько раз случилось интересующее событие, к очень большому числу всех случившихся событий (обычно так и оценивают вероятности из экспериментов).

Подобными рассуждениями сформулирую эту мысль:

EUgeneUS в сообщении #1701649 писал(а):

Если обе монетки честные, а у Виктора нет возможности подменить карточки после того как сделан выбор, но до открытия карточек, то шансов выиграть у него нет. Вне зависимости от того, как он готовит карточки. ИМХО, это почти очевидно.
FGJ, могут быть статистические выбросы больше $2$, но по ЗБЧ они нивелируются со сбором статистики.

(Оффтоп)

Пусть
1. Есть четыре величины $V_0, V_1, V_2, V_3$, принимающие значения $\pm 1$. Это могут быть случайные величины, или это могут быть детерминированные (в том смысле, что вычисляются по каким-то правилам в зависимости от каких-то параметров). Они могут зависеть от чего угодно, кроме "монеток" Алисы и Боба.
Они должны обладать такими свойствами:
а) значения всех четырех величин, должны быть определены в каждом акте измерения, но до собственно измерения (то есть выбор Алисы и Боба не влияют на их значения).
Тогда можно говорить о четверке $(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})_i$ - значения этих величин в $i-м$ измерении.
б) Обозначим $n$ - общее количество измерений, $n_{(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})}$ - количество измерений, в которых выпала конкретная четверка $(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})$. Тогда должно выполняться:
либо $n_{(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})} = 0$ (для любого $N$)
либо $n_{(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})} \to \infty$, при $N \to \infty$)

Обращаю внимание, что значения $V_0, V_1, V_2, V_3$ могут зависеть и от номера эксперимента, и-или обладать памятью, то есть зависеть от предыдущих значений и результатов предыдущих измерений. Никаких подобных ограничений не накладываем
Главное, значения должны существовать для всех четырех во всех измерений, и они не зависят от выбора Алисы и Боба в данном измерении.

2. Есть ещё две случайные величины: $A$, $B$, равновероятно принимающие значения $M$ или $N$ - "монетки" Алисы и Боба. В зависимости от их значений в каждом измерении из четверки $(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})$ выбирается одна из четырех пар (правила выбора пар описаны ранее, повторять не буду).
"Монетки" - честные: величины $A$, $B$ ни о чего не зависят, (и на значения $(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})$ не влияют - в рамках одного эксперимента).

(продолжу позже)

[EUgeneUS]

продолжу "офф-то" из темы выше

(Оффтоп)

Bведем обозначения вида: $n(MN)$ - количество измерений, когда у Алисы выпало $N$, а у Боба выпало $N$.
Тогда, если а) "монетки честные" (вероятности не перекошены, и броски монеток независимы) и б) провели достаточно много измерений, чтобы применять ЗБЧ, то:

$$n(MM) =n(MN) = n(NM) = n(NN) = \frac{1}{4}n \eqno{(1)}$$

Bведем обозначения вида: $n(v_0,v_1,v_2,v_3|MN)$ - количество измерений, когда у Алисы выпало $N$, а у Боба выпало $N$, и выпала конкретная четверка $(v_0,v_1,v_2,v_3)$.
Тогда, если а) "монетки честные" (вероятности не перекошены, и броски монеток независимы (как друг от друга, так и от $V_i$)) и б) провели достаточно много измерений, чтобы применять ЗБЧ, то:
$n(v_0,v_1,v_2,v_3|MM) =n(v_0,v_1,v_2,v_3|MN) = n(v_0,v_1,v_2,v_3|NM) = n(v_0,v_1,v_2,v_3|NN) = \frac{1}{4}n(v_0,v_1,v_2,v_3) \eqno{(2)}$
Понятно, что равенства тут примерные, возможны флуктуации.

Теперь можем в лоб посчитать, например, $<M_A, M_B>$, как среднее по выборке.

$$<M_A, M_B> = \frac{1}{n(MM)}\sum\limits_{v_0,v_1,v_2,v_3}^{} n(v_0,v_1,v_2,v_3|MM) v_0 v_1 \eqno{(3)}$$

Суммирование производится по всем комбинациям $(v_0,v_1,v_2,v_3)$

Аналогично считаются $<M_A, N_B>, <N_A, M_B>, <N_A, N_B>$

Теперь можно посчитать $<S> = <M_A, M_B> - <M_A, N_B> + <N_A, M_B> +<N_A, N_B>$
После перегруппировки и применения (1) и (2) получается

$$<S> = \sum\limits_{v_0,v_1,v_2,v_3}^{} \frac{n(v_0,v_1,v_2,v_3)}{n}[v_0 v_1 - v_0 v_3 + v_2 v_1 + v_2 v_3] \eqno{(4)}$$

Выражение в квадратных скобках принимает значения $\pm 2$, а выражение целиком - это взвешенная сумма, модуль которого не может превышать максимальный модуль того, что в квадратных скобках.
Т.е. $|<S>| \le 2$. Ч.Т.Д.

-- 13.09.2025, 12:02 --

И небольшие комментарии.

(Оффтоп)

1. Подсчет статистики $<S>$ через средние по выборке, как в (3), возможен всегда, даже в "квантовом случае", когда принципиально измеряется только два значения из четырёх. Собственно, она так и считается в экспериментах.

2. Прямой подсчет статистики $<S>$ через (4) возможен, только если в каждом измерении измеряются все четыре величины. То есть это некоторая оценка, которая релевантна при предположениях озвученных выше.

3. Но относительно $V_0, V_1, V_2, V_3$ делались довольно таки слабые предположения:
а) значения всех четырех величин детерминированы (существуют) для всех измерений (даже если они и не измеряются и остаются неизвестными).
б) величины $V_0, V_1, V_2, V_3$ независимы от величин $A, B$ (не влияют на "монетки ""монетки" у Алисы и Боба, и не зависят от них).

[Cos(x-pi/2)]

EUgeneUS в сообщении #1701695 писал(а):

Подсчет статистики $<S>$ через средние по выборке, как в (3), возможен всегда, даже в "квантовом случае", когда принципиально измеряется только два значения из четырёх.

Непонятно, что означают Ваши слова "как в (3)" для квантового случая. Вы с предположением об одновременном существовании значений четырёх случайных переменных пришли к формуле (3) и вывели из неё неравенство Белла. Это верно. Но в КМ нет формулы (3), так как в КМ указанное предположение не является верным. Поэтому и неравенства Белла в КМ нет. Другими словами, неравенства Белла (их в гипотетических теориях со скрытыми параметрами несколько разных выведено) не выпрлняются; и эксперименты это подтверждают.

[EUgeneUS]

Cos(x-pi/2)
(3) - это просто подсчет статистики. Он существует в любом эксперименте, хоть квантовом, хоть не квантовом.
(4) - это действительно неравенство Белла. При выводе (4) из (3) использовались некие (сформулированные) предположения. И если (4) не выполняется (неравенство Белла нарушено), то неверны, нарушаются именно эти предположения, а не (3).

Чуть подробнее.
Введем обозначение $n(v_0, v_1, x, x|MM)$ - количество случаев, когда получена конкретная пара значений $v_0, v_1$, если у Алисы $M$ и у Боба $M$, вне зависимости от значений $v_2, v_3$.
Отмечу, что именно такие количества и набираются, суммируются, в эксперименте при измерениях: действительно, при $MM$ измеряем пару $v_0, v_1$.

Тогда можно записать (просуммировали по всем комбинациям $v_2, v_3$)

$$n(v_0, v_1, x, x|MM) = \sum\limits_{v_2, v_3}^{}n(v_0, v_1, v_2, v_3|MM)$$

Тогда (3) перепишется следующим образом:

$$<M_A, M_B> = \frac{1}{n(MM)}\sum\limits_{v_0,v_1}^{} n(v_0,v_1,x,x|MM) v_0 v_1 \eqno{(3.1)}$$

тут суммируем уже по всем комбинациям $v_0,v_1$, и это ровно то, что считается в эксперименте.

-- 13.09.2025, 17:40 --

Хотя более последовательно будет так:

1. Записать (3.1) - что считаем в эксперименте (любом).
2. Сделать предположение о существовании всей четверки при каждом измерении и перейти к (3).
3. Сделать предположение о "честных монетках" у Алисы и Боба и перейти к (4).

UPD: поправил нумерацию $v$.