Биекция мн. чисел вида (m/2^n), m,n-Z во мн.Q возрастающая?

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1695643 писал(а):

Хорошо, тогда $f(m,n)=\frac{m}{2^n}\cdot\frac{2^n}{n},\space \text{НОД}(m,n)=1$, $m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N$?

Что это вообще значит? Попытка задать какую-то функцию на $A$?
Тогда надо доказывать, что любое число из $A$ представляется в таком виде единственным способом. Что неправда, потому что $\frac{1}{2^1} = \frac{8}{2^3}$.

-- 28.07.2025, 15:47 --

Вообще, где-то перед этой задачей должен быть раздел про множества, декартовы произведения, бинарные и функциональные отношения и т.д., перечитайте его.

Вам, в итоге, нужно построить биекцию $A \to \mathbb Q$. Конечно можно попытаться где-то в промежутке использовать какие-то вспомогательные функции $\mathbb Z \times \mathbb Z \to A$ или что-то аналогичное, но вряд ли это сильно поможет. И их точно надо строго определить перед использованием.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1695645 писал(а):

Тогда надо доказывать, что любое число из $A$ представляется в таком виде единственным способом. Что неправда, потому что $\frac{1}{2^1} = \frac{8}{2^3}$.

Там никаких степеней (кроме 1) в знаменателе нет, оно же сокращается

$f(m,n)=\frac{m}{2^n}\cdot\frac{2^n}{n}=\frac{m}{n},\space \text{НОД}(m,n)=1$

В вашем примере, где слева в равенстве к качестве прообраза (аргумента) пара $m,n$ это $(1,1)$ а справа $(8,3)$, равенства между их образами нет, поскольку $f(1,1)\neq f(8,3)$, т.к. $\frac{1}{1}\neq \frac{8}{3}$

Можно так определять, чтобы более ясно было, что это функция из $A$.

$f(\frac{m}{2^n} \in A)=(\frac{m}{2^n})\cdot\frac{2^n}{n}=\frac{m}{n},\space \text{НОД}(m,n)=1$

Тут в любом случае сложная функция, и внутренняя - от двух переменных.

То есть берём каждое число из $A$, например $\dfrac{1}{2}$ или $\dfrac{8}{8}=1$ из Вашего сообщения, и множим каждое такое число из $A$ на дробь.
Только дробь эта зависит от того, на какое число её множим. То есть не одну и ту же дробь на каждое из $A$ умножаем, а в зависимости от того что за элемент из $A$.
Ну а элемент из $A$ определяется, в свою очередь, по условию задачи, парой целых $(m,n)$, следовательно и множитель, в конечном итоге от $(m,n)$ зависит и вся биекция.

[dgwuqtj]

cxzbsdhwert
Так чему равно $f(\frac 1 2)$? С одной стороны, $f(\frac 1 2) = \frac 1 {2^1} \cdot \frac{2^1} 1 = 1$. С другой, $f(\frac 1 2) = \frac 4 {2^3} \frac{2^3} 3 = \frac 4 3$.

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1695647 писал(а):

Там никаких степеней (кроме 1) в знаменателе нет, оно же сокращается

Ну и что? У вас требование на взаимную простоту $m$ и $n$, а не на несократимость.

Еще раз. Если вы хотите определить функцию на $A$, то ее нужно записать так, чтобы каждому элементу $A$ сопоставлялось ровно одно значение.

cxzbsdhwert в сообщении #1695647 писал(а):

$f(m,n)=\frac{m}{2^n}\cdot\frac{2^n}{n}=\frac{m}{n},\space \text{НОД}(m,n)=1$

cxzbsdhwert в сообщении #1695647 писал(а):

$f(\frac{m}{2^n} \in A)=(\frac{m}{2^n})\cdot\frac{2^n}{n}=\frac{m}{n},\space \text{НОД}(m,n)=1$

Нельзя одновременно писать и то, и другое. На чем $f$ определена - на $A$ или на $\mathbb Z \times \mathbb Z$?

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1695653 писал(а):

Ну и что? У вас требование на взаимную простоту $m$ и $n$, а не на несократимость.

В выражении вида $\frac{m}{n}$, которое представляет предъявленную мной биекцию, взаимная простота $m$ и $n$ означает несократимость дроби.

mihaild в сообщении #1695653 писал(а):

На чём $f$ определена?

На $A$, а $A$, в свою очередь - множество образов $g(m,n)=\frac{m}{2^n}$. Имеем сложную функцию (композицию, суперпозицию, разные есть названия) $f(g(m,n))$.

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1695654 писал(а):

взаимная простота $m$ и $n$ означает несократимость дроби

Взаимная простота $m$ и $n$ совершенно не влечет несократимость $\frac{m}{2^n}$.

cxzbsdhwert в сообщении #1695654 писал(а):

На $A$

Тогда нельзя писать $f(m, n)$.
Можно писать $f(g(m, n))$, но не для любой функции $h: \mathbb Z \times \mathbb Z \to \mathbb Q$, запись $f(g(m, n)) = h(m, n)$ корректно задает $f: A \to \mathbb Q$. Потому что для корректного задания должно быть выполнено $g(m, n) = g(m', n') \rightarrow h(m, n) = h(m', n')$. А, например, в ваших вариантах это не выполнено.

[cxzbsdhwert]

dgwuqtj в сообщении #1695651 писал(а):

cxzbsdhwert
Так чему равно $f(\frac 1 2)$? С одной стороны, $f(\frac 1 2) = \frac 1 {2^1} \cdot \frac{2^1} 1 = 1$. С другой, $f(\frac 1 2) = \frac 4 {2^3} \frac{2^3} 3 = \frac 4 3$.

Как я уже написал, множитель на который умножается прообраз (аргумент), однозначно зависит, от того, чем является прообраз, но прообраз, в свою очередь, в виду неинъективности параметризации, задающей $A$ неоднозначно зависит от пары $(m,n)$.

Поэтому когда Вы спрашиваете у меня на какой множитель следует умножить $\frac{1}{2}$, я спрашиваю у Вас в ответ - а какую пару чисел $(m,n)$ Вы использовали для получения Вашей дроби.
То есть на вопрос "Так чему равно $f(\frac 1 2)$?" ответ такой: "А какому $\frac{m}{2^n}$ равно $\frac{1}{2}$?".
Вот как только Вы мне даёте пару $(m,n)$ выражающую Вашу дробь, я Вам однозначно её сопоставляю в $\mathbb Q$.

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1695658 писал(а):

я спрашиваю у Вас в ответ - а какую пару чисел $(m,n)$ Вы использовали для получения Вашей дроби

На что я вам отвечу - перечитайте определение понятия функции.
Откуда вы взяли задачу?

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1695657 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1695654 писал(а):

взаимная простота $m$ и $n$ означает несократимость дроби

Взаимная простота $m$ и $n$ совершенно не влечет несократимость $\frac{m}{2^n}$.

Обратите пожалуйста внимание на первую часть предложения, которое Вы цитируете. Я писал о несократимости $\frac m n$, которая является биекцией, которую я предъявил.

mihaild в сообщении #1695657 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1695654 писал(а):

На $A$

Тогда нельзя писать $f(m, n)$.

Я думаю это вопрос договорённости, можно хоть так, хоть так. Согласно Википедии, область определения сложной функции - это область определения "внутренней" функции, то есть в нашем случае $f: \mathbb Z \times \mathbb Z \rightarrow A \rightarrow \mathbb Q$

mihaild в сообщении #1695657 писал(а):

Можно писать $f(g(m, n))$, но не для любой функции $h: \mathbb Z \times \mathbb Z \to \mathbb Q$, запись $f(g(m, n)) = h(m, n)$ корректно задает $f: A \to \mathbb Q$. Потому что для корректного задания должно быть выполнено $g(m, n) = g(m', n') \rightarrow h(m, n) = h(m', n')$. А, например, в ваших вариантах это не выполнено.

Не совсем понял, что конкретно не выполнено?

-- 28.07.2025, 16:47 --

mihaild в сообщении #1695659 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1695658 писал(а):

я спрашиваю у Вас в ответ - а какую пару чисел $(m,n)$ Вы использовали для получения Вашей дроби

На что я вам отвечу - перечитайте определение понятия функции.
Откуда вы взяли задачу?

Давайте не загадками. Что не так? Функция - отображение, которое каждому элементу области определения ставит в соответствие один и только один элемент области значений.

Задача отсюда

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1695662 писал(а):

Я писал о несократимости $\frac m n$, которая является биекцией, которую я предъявил

Ну так $1/1$ и $8/3$ обе несократимы.

cxzbsdhwert в сообщении #1695662 писал(а):

Согласно Википедии, область определения сложной функции - это область определения "внутренней" функции,

Так тут речь не о сложной функции, а о внешней функции в композиции. Вы же пишете, что $f$ определена на $A$.

cxzbsdhwert в сообщении #1695662 писал(а):

Не совсем понял, что конкретно не выполнено?

Импликация, которая написана в предпоследнем процитированном сообщении.

cxzbsdhwert в сообщении #1695662 писал(а):

Давайте не загадками. Что не так?

Я уже несколько раз разными словами написал, что не так.

cxzbsdhwert в сообщении #1695662 писал(а):

Функция - отображение, которое каждому элементу области определения ставит в соответствие элементы области значений

Курсы матана, конечно, бывают странными, но я бы всё же ожидал наличие там формального определения. Его точно не было?
В любом случае, область определения функции - это $A$. $f$ должна ставить в соответствие рациональное число элементу $A$. От "способа получения" этого элемента, ВВП Гондураса и погоды на Марсе ответ зависеть не должен.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1695657 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1695654 писал(а):

взаимная простота $m$ и $n$ означает несократимость дроби

Взаимная простота $m$ и $n$ совершенно не влечет несократимость $\frac{m}{2^n}$.

cxzbsdhwert в сообщении #1695654 писал(а):

На $A$

Тогда нельзя писать $f(m, n)$.
Можно писать $f(g(m, n))$, но не для любой функции $h: \mathbb Z \times \mathbb Z \to \mathbb Q$, запись $f(g(m, n)) = h(m, n)$ корректно задает $f: A \to \mathbb Q$. Потому что для корректного задания должно быть выполнено $g(m, n) = g(m', n') \rightarrow h(m, n) = h(m', n')$. А, например, в ваших вариантах это не выполнено.

Обратите пожалуйста внимание на эту часть моего сообщения Выше

Цитата:

То есть берём каждое число из $A$, например $\dfrac{1}{2}$ или $\dfrac{8}{8}=1$ из Вашего сообщения, и множим каждое такое число из $A$ на дробь.
Только дробь эта зависит от того, на какое число её множим. То есть не одну и ту же дробь на каждое из $A$ умножаем, а в зависимости от того что за элемент из $A$.
Ну а элемент из $A$ определяется, в свою очередь, по условию задачи, парой целых $(m,n)$, следовательно и множитель, в конечном итоге от $(m,n)$ зависит и вся биекция.

То есть я предъявил биекцию из пар целых $(m,n)$ в $\mathbb Q$ и утверждаю, что этой биекцией можно взаимнооднозначно сопоставить каждому числу вида $\{m}{2^n}$ число из $\mathbb Q$.
Вы даёте число вида $\{m}{2^n}$, то есть сообщаете какие каждый раз разные пары $m$ и $n$ использовали для такого числа, и функция возвращает Вам каждый раз разные $q \in \mathh Q$, с возрастанием.

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1695667 писал(а):

То есть я предъявил биекцию из пар целых $(m,n)$ в $\mathbb Q$ и утверждаю, что этой биекцией можно взаимнооднозначно сопоставить каждому числу вида $\{m}{2^n}$ число из $\mathbb Q$.
Вы даёте число вида $\{m}{2^n}$, то есть сообщаете какие каждый раз разные пары $m$ и $n$ использовали для такого числа, и функция возвращает Вам каждый раз разные $q \in \mathh Q$, с возрастанием.

Нет. "Сопоставить каждому числу такого вида рациональное число" - значит, что я приношу вам число такого вида (а не конкретное представление), а вы в ответ даете рациональное число.
Поскольку $1/2$, $8/2^3$, "положительный корень уравнения $2x^2 + x - 1$" - это всё разные способы задать одно и то же число такого вида, вы должны им всем сопоставить одно и то же число из $\mathbb Q$.
Сообщать, какие пары я использовал, я не обязан. Я обязан лишь обеспечить, чтобы хотя бы какой-то парой это число получить было можно.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1695665 писал(а):

Ну так $1/1$ и $8/3$ обе несократимы.

Верно, это результат, который Вы получите по моей функции. А Вы предъявили сократимую дробь 8\8 (2 в третьей у Вас в знаменателе было), не учитывая что эта дробь домнажается по функции на 8\3, образуя, как Вы сами написали несократимую дробь. Поэтому ограничение на НОД $m,n$ неизбежно влечёт за собой ограничение на НОД числителя и знаменателя.

mihaild в сообщении #1695665 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1695662 писал(а):

Согласно Википедии, область определения сложной функции - это область определения "внутренней" функции,

Так тут речь не о сложной функции, а о внешней функции в композиции. Вы же пишете, что $f$ определена на $A$.

По-моему, нестрого, внешняя функция и есть тем, что называется композицией.

mihaild в сообщении #1695665 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1695662 писал(а):

Не совсем понял, что конкретно не выполнено?

Импликация, которая написана в предпоследнем процитированном сообщении.

Можно пример с конкретными значениями, что-где не выполняется?.

mihaild в сообщении #1695665 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1695662 писал(а):

Функция - отображение, которое каждому элементу области определения ставит в соответствие элементы области значений

Курсы матана, конечно, бывают странными, но я бы всё же ожидал наличие там формального определения. Его точно не было?
В любом случае, область определения функции - это $A$. $f$ должна ставить в соответствие рациональное число элементу $A$. От "способа получения" этого элемента, ВВП Гондураса и погоды на Марсе ответ зависеть не должен.

Я там уточнил потом - каждому прообразу один и только один ообраз - отличие функции от произвольного отображения. По-моему это точное определение.

[dgwuqtj]

cxzbsdhwert в сообщении #1695671 писал(а):

Я там уточнил потом - каждому прообразу один и только один ообраз - отличие функции от произвольного отображения.

Давайте теперь определение отображения. Потому что обычно отображение и функция — это синонимы.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1695670 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1695667 писал(а):

То есть я предъявил биекцию из пар целых $(m,n)$ в $\mathbb Q$ и утверждаю, что этой биекцией можно взаимнооднозначно сопоставить каждому числу вида $\{m}{2^n}$ число из $\mathbb Q$.
Вы даёте число вида $\{m}{2^n}$, то есть сообщаете какие каждый раз разные пары $m$ и $n$ использовали для такого числа, и функция возвращает Вам каждый раз разные $q \in \mathh Q$, с возрастанием.

Нет. "Сопоставить каждому числу такого вида рациональное число" - значит, что я приношу вам число такого вида (а не конкретное представление), а вы в ответ даете рациональное число.
Поскольку $1/2$, $8/2^3$, "положительный корень уравнения $2x^2 + x - 1$" - это всё разные способы задать одно и то же число такого вида, вы должны им всем сопоставить одно и то же число из $\mathbb Q$.
Сообщать, какие пары я использовал, я не обязан. Я обязан лишь обеспечить, чтобы хотя бы какой-то парой это число получить было можно.

А Вы и не сообщаете, какое представление Вы используете, это всё в кавычках было написано.
Функция сопоставляет каждое число заданного вида в рациональное. Она это должна делать по задаче.
Только у каждого числа есть бесконечно представлений. И вот в зависимости от того, что это за представление одного и того же числа, функция это число сопоставляет в разные рациональные.
Ещё раз: на основании разных представлений одного и того же числа функция одно и тоже число, сопоставляет в разные рациональные.

-- 28.07.2025, 17:24 --

dgwuqtj в сообщении #1695672 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1695671 писал(а):

Я там уточнил потом - каждому прообразу один и только один ообраз - отличие функции от произвольного отображения.

Давайте теперь определение отображения. Потому что обычно отображение и функция — это синонимы.

Правило, по которому элементы одного множества - называемого область значения отображения, ставятся в соответствие элементам другого множества - называемого областью определения отображения.