Как получить дифференциальный оператор из ОДУ

[Andrei P]

Итак, имеется однородная система ДУ в нормальной форме 12-того порядка.
$ \frac{{\mathrm{d} \,\mathbf{Y} }} {{\mathrm{d} \,s}} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{Y} = 0;$

$\mathbf{Y}$ --- вектор независимых переменных.

Как из нее получить дифференциальный оператор?
Или матрица $\mathbf{A} $ и есть дифференциальный оператор?

Хочу получить сопряженный оператор и проверить на самосопряженность.

[dsge]

1. Дифференциальный оператор, как любой оператор, это линейное отображение одного линейного пространства в другое.
2. Если он дифференциальный, то берет производную. Значит простраство должно быть функциональным.
3. Если речь пошла про самосопряженность, то пространство должно быть Гильбертовым.
4. Дифференциальное уравнение на то и дифференциальное, что содержит дифференциальный оператор(ы).

[Andrei P]

dsge в сообщении #1695274 писал(а):

1. Дифференциальный оператор, как любой оператор, это линейное отображение одного линейного пространства в другое.
2. Если он дифференциальный, то берет производную. Значит простраство должно быть функциональным.
3. Если речь пошла про самосопряженность, то пространство должно быть Гильбертовым.
4. Дифференциальное уравнение на то и дифференциальное, что содержит дифференциальный оператор(ы).

Я инженер. Если можно, попроще.
Матрица $\mathbf{A} $ и будет оператором?
Для ОДУ, например, второго порядка всё понятно, а для системы ДУ?
Это система ДУ из механики. И мне, елки-палки, уже человек 10 докторов физматнаук и даже один членкор не могут дать ответ.
1. Может ли у самосопряженной задачи быть несимметричная и не антисимметричная основная матрица системы в нормальной форме?
2. Может ли для самосопряженной краевой задачи частота сначала расти с ростом волнового числа, потом убывать, потом снова расти?

Просто, если возможно, на пальцах, как получить линейный дифференциальный оператор, потом построить сопряженный к нему и проверить на самосопряженность.
Пространство, если угодно Галилеево с точки зрения механики и этому соответствует эвклидово пространство в терминах математики.

[Утундрий]

Andrei P в сообщении #1695280 писал(а):

мне, елки-палки, уже человек 10 докторов физматнаук и даже один членкор не могут дать ответ.

А кто, согласно поверью, может задать такой вопрос, на который и сто мудрецов не ответят?

[dgwuqtj]

Andrei P
Я от дифуров далёк, так что не могу сказать, вам нужен оператор $\frac d{ds}$, $\frac d{ds} + A$, или ещё какой-то. Смотря какую теорему надо потом применять. Вы бы ссылку привели или формулировку этой самой теоремы.

Andrei P в сообщении #1695280 писал(а):

Пространство, если угодно Галилеево с точки зрения механики и этому соответствует эвклидово пространство в терминах математики.

Пространство функций ни одним из них быть не может. И галилеево пространство (которое пространство-время для физиков) не евклидово, разумеется.

[dsge]

Andrei P в сообщении #1695280 писал(а):

Просто, если возможно, на пальцах, как получить линейный дифференциальный оператор, потом построить сопряженный к нему и проверить на самосопряженность.

$(Lu,v)=(u,L^*v)$, $L=L^*?$.
Если бы вы объяснили зачем вам все это, то было проще объяснять. Самосопряженные дифференциальные операторы обычно появляются в краевых задачах, как операторы четного порядка, второго, например. Для таких операторов все собственные числа действительны, собственные фунции ортогональны, это бывает полезно, например для редукции бесконечномерной задачи к конечномерной.

[Andrei P]

dsge в сообщении #1695303 писал(а):

Andrei P в сообщении #1695280 писал(а):

Просто, если возможно, на пальцах, как получить линейный дифференциальный оператор, потом построить сопряженный к нему и проверить на самосопряженность.

$(Lu,v)=(u,L^*v)$, $L=L^*?$.
Если бы вы объяснили зачем вам все это, то было проще объяснять. Самосопряженные дифференциальные операторы обычно появляются в краевых задачах, как операторы четного порядка, второго, например. Для таких операторов все собственные числа действительны, собственные фунции ортогональны, это бывает полезно, например для редукции бесконечномерной задачи к конечномерной.

У меня краевая двухточечная задача на собственные значения. Это задача на колебания винтовых цилиндрических пружин. Имеется аналитическое решение для специально подобранных краевых условий. Для жесткой заделки решение аналитико-численное (характеристическое уравнение и граничное уравнение одновременно обращаются в тождество).
Есть некоторые основания считать, что задача несамосопряженная: матрица несимметрична, частоты растут и убывают с ростом волнового числа, при близком совпадении формы колебаний мод с различных участков дисперсионной кривой взаимно модулируют (косвенно собственные функции неортогональны).

Написал статью во вражеский журнал. Пишу, что задача несамосопряженная. Но нужно обосновать хотя бы для себя.

Собственные значения действительны, но есть класс несамосопряженных задач, в котором собственные значения действительны.

[Combat Zone]

Andrei P в сообщении #1695304 писал(а):

Собственные значения

Собственные значения какого оператора, из какого в какое пространство он действует?
Я понимаю, что вам захочется сказать, что вы об этом и спрашиваете. Но нет. Это вы решаете. Вы можете только неверно определиться или с пространством, или с оператором, но если выбор верен - он на ваше усмотрение. Судя по тому, что вы знаете, какие собственные значения, вы определились. Итак?

[dsge]

Andrei P в сообщении #1695304 писал(а):

У меня краевая двухточечная задача на собственные значения.

Как это соотносится с этим

Andrei P в сообщении #1695267 писал(а):

Итак, имеется однородная система ДУ в нормальной форме 12-того порядка.
$\frac{{\mathrm{d} \mathbf{Y} }} {{\mathrm{d} s}} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{Y} = 0$

s здесь не время?
Дифференциальный оператор - это не только $\frac{{\mathrm{d} }} {{\mathrm{d} \,s}}$, но и плюс граничные условия. От этого существенно зависит будет дифференциальный оператор самосопряженным или нет. Для системы диф.уравнеий 1-го порядка, в принципе, можно задать часть уравнений на левом конце интервала, а часть на правом, и будет это как бы 2-х точечная задача. Но, что вы имели ввиду? Или вы привели уравнения 2-го порядка к системе уравнений 1-го порядка? Может лучше вернуться к уравнениям 2-го порядка, для них несамосопряженность легче доказывать.

[Andrei P]

Combat Zone в сообщении #1695307 писал(а):

Andrei P в сообщении #1695304 писал(а):

Собственные значения

Собственные значения какого оператора, из какого в какое пространство он действует?
Я понимаю, что вам захочется сказать, что вы об этом и спрашиваете. Но нет. Это вы решаете. Вы можете только неверно определиться или с пространством, или с оператором, но если выбор верен - он на ваше усмотрение. Судя по тому, что вы знаете, какие собственные значения, вы определились. Итак?

Собственные значения краевой задачи, которые являются квадратом собственной частоты.
Система ДУ однородная, обыкновенная (после разделения переменных).
Краевые условия однородные --- жесткая заделка, соответственно, перемещения и углы поворота по концам равны нулю.
Вектор $\mathbf{Y}$ имеет размерность 12. Перемещения и углы поворота входят в $\mathbf{Y}$.

Матрица $\mathbf{A}= \left ( \arraycolsep=2pt\begin{array}{cccccccccccc} 0 & - c_1 Q_{\rho _0 } & 0& 0& 0 & aw^2 & r_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & q_3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - r_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - q_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & - c_{1} & 0 & 0 & q_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - r_0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -c_{3} & - q_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & r_0 & 0\\ - r_0 & 0 & - c_3 Q_{\xi _0 } & 0 & 0 & 0 & 0 & q_0 & c_2 Q_{\rho _0 } & 0 & aw^2 & 0\\ 0 & c_1 Q_{\xi _0 } & 0 & 0 & 0 & 0 & - q_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & aw^2 \\ 0 & r_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & r_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - c_{2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - r_0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & q_0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - q_0 & 0 \\ \end{array} \right ) $

Пространство не знаю какое, но в классической механике используется пространство Галлилея (сохраняются расстояния и углы), а так это $R3$.

Я не имею математического образования, я не проходил в институте ДУЧП, ТФКП (хотя преподавал) и функанализ. Я инженер-механик. Поэтому хотелось бы примерно на этом уровне.

[Combat Zone]

Andrei P в сообщении #1695311 писал(а):

Собственные значения краевой задачи, которые являются квадратом собственной частоты.

Какой краевой задачи, формулируйте задачу полностью. У вас пока только уравнение. Квадраты частот будут у задачи Штурма-Лиувилля для уравнения второго порядка. Ваше уравнение к нему не сводится (или наоборот, не из него возникло).

[Andrei P]

dsge в сообщении #1695310 писал(а):

s здесь не время?
Дифференциальный оператор - это не только $\frac{{\mathrm{d} }} {{\mathrm{d} \,s}}$, но и плюс граничные условия. От этого существенно зависит будет дифференциальный оператор самосопряженным или нет. Для системы диф.уравнеий 1-го порядка, в принципе, можно задать часть уравнений на левом конце интервала, а часть на правом, и будет это как бы 2-х точечная задача. Но, что вы имели ввиду? Или вы привели уравнения 2-го порядка к системе уравнений 1-го порядка? Может лучше вернуться к уравнениям 2-го порядка, для них несамосопряженность легче доказывать.

Изначально это было ДУ в частных производных, естественно. Задача допускает разделение переменных. Соответственно, есть часть, зависящая от времени (фактически, уравнение мат маятника, т.е. рассматриваем малые колебания) и координатная часть.
Та формула, это пространственная часть. Соответственно, $s$ --- дуговая координата вдоль винтовой линии пружины. Система координат Френе, она же естественная.
Вариант граничных условий -- жесткая заделка. ГУ симметричные и однородные, перемещения и углы (они входят в $ \mathbf{Y}$) равны нулю.
В системе 12 уравнений, задано 12 ГУ (граничных условий).

Если интересно. могу приаттачить файл с исходным уравнением и почти всеми выкладками.

[dsge]

Andrei P в сообщении #1695327 писал(а):

Та формула, это пространственная часть.

Почему система 1-го порядка?

Самосопряженность дифференциальных операторов обычно доказывают так:

1. Действуют дифференциальным оператором на функцию из области его определение, затем что получилось скалярно умножают на пробную функцию оттуда же, получается интеграл.
2. С помощью интегрирования по частям или формулы Грина-Остроградского-Гаусса перекидывают производные на пробную функцию.
3. При "хороших" граничных условиях внеинтегальный член обнуляется. Если дифференциальный оператор 2-го порядка и самосопряженный, то после двух таких действий он же будет действовать на пробную функцию.
4. Для дифференциальных операторов 1-го орядка, типа $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{ds}}$, самосопряженность не получится, поскольку при одном интегрировании по частям перед интегралом будет минус, т.е. сопряженный оператор будет равен минус исходному. Также, если краевые условия нехорошие, появится внеинтегральные члены, и самосопряженности тоже не получится.
5. В вашем случае возможно будет $((\frac d{ds} + A)u,v) = (u,((\frac d{ds})^* + A^*)v)$, где $u,v$ - векторозначные функции, удовлетворяющие граничным условиям. $(\frac d{ds})^*$ можно найти по указанному выше алгоритму.

[Andrei P]

dsge в сообщении #1695338 писал(а):

Andrei P в сообщении #1695327 писал(а):

Та формула, это пространственная часть.

Почему система 1-го порядка?

Самосопряженность дифференциальных операторов обычно доказывают так:

1. Действуют дифференциальным оператором на функцию из области его определение, затем что получилось скалярно умножают на пробную функцию оттуда же, получается интеграл.
2. С помощью интегрирования по частям или формулы Грина-Остроградского-Гаусса перекидывают производные на пробную функцию.
3. При "хороших" граничных условиях внеинтегальный член обнуляется. Если дифференциальный оператор 2-го порядка и самосопряженный, то после двух таких действий он же будет действовать на пробную функцию.
4. Для дифференциальных операторов 1-го орядка, типа $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{ds}}$, самосопряженность не получится, поскольку при одном интегрировании по частям перед интегралом будет минус, т.е. сопряженный оператор будет равен минус исходному. Также, если краевые условия нехорошие, появится внеинтегральные члены, и самосопряженности тоже не получится.
5. В вашем случае возможно будет $((\frac d{ds} + A)u,v) = (u,((\frac d{ds})^* + A^*)v)$, где $u,v$ - векторозначные функции, удовлетворяющие граничным условиям. $(\frac d{ds})^*$ можно найти по указанному выше алгоритму.

Система 12 порядка. Может есть какой-нибудь метод в матричной форме?

[Combat Zone]

Andrei P в сообщении #1695327 писал(а):

В системе 12 уравнений, задано 12 ГУ (граничных условий).

Вот я и спрашиваю, какие граничные условия. Не надо пытаться в двух словах описать задачу,

Andrei P в сообщении #1695327 писал(а):

Если интересно. могу приаттачить файл с исходным уравнением и почти всеми выкладками.

нет, не настолько интересно. Однако у вас уже есть какая-то формализация. Вникать, верная она или нет, я не хочу, вы уже формализованную задачу напишите полностью. Не только уравнение, но и граничне условия.