Как получить дифференциальный оператор из ОДУ

[dsge]

Andrei P в сообщении #1695364 писал(а):

Система 12 порядка.

Почему 12 уравнений 1-го порядка, а не 6 уравнений, скажем, второго?

[Combat Zone]

Andrei P Дайте еще поугадываю. Когда вы говорите про собственные значения (действительные и различные) - вы имеете в виду собственные значения матрицы?

[Andrei P]

Combat Zone в сообщении #1695372 писал(а):

Andrei P в сообщении #1695327 писал(а):

В системе 12 уравнений, задано 12 ГУ (граничных условий).

Вот я и спрашиваю, какие граничные условия. Не надо пытаться в двух словах описать задачу,

Andrei P в сообщении #1695327 писал(а):

Если интересно. могу приаттачить файл с исходным уравнением и почти всеми выкладками.

нет, не настолько интересно. Однако у вас уже есть какая-то формализация. Вникать, верная она или нет, я не хочу, вы уже формализованную задачу напишите полностью. Не только уравнение, но и граничне условия.

$ \frac{{\mathrm{d} \,\mathbf{Y} }} {{\mathrm{d} \,s}} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{Y} = 0;$

$\mathbf{A}= \left ( \arraycolsep=2pt\begin{array}{cccccccccccc} 0 & - c_1 Q_{\rho _0 } & 0& 0& 0 & aw^2 & r_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & q_3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - r_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - q_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & - c_{1} & 0 & 0 & q_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - r_0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -c_{3} & - q_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & r_0 & 0\\ - r_0 & 0 & - c_3 Q_{\xi _0 } & 0 & 0 & 0 & 0 & q_0 & c_2 Q_{\rho _0 } & 0 & aw^2 & 0\\ 0 & c_1 Q_{\xi _0 } & 0 & 0 & 0 & 0 & - q_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & aw^2 \\ 0 & r_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & r_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - c_{2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - r_0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & q_0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - q_0 & 0 \\ \end{array} \right )$

$\begin{gathered} Y_1 = Q_\xi ;\;Y_2 =Q_\chi ;\;Y_3 = M_\rho ;\;Y_4 = \theta ; \\[5pt] Y_5 = \gamma ;\;Y_6 = V;\;Y_7 = Q_\chi ;\;Y_8 = Q_\rho ; \\[5pt] Y_9 = M_\xi ;\;Y_{10} = \varphi ;\,Y_{11} = U;\;Y_{12} = W, \\ \hfill \\ \end{gathered}$


$Q$ и $M$ -- внутренние силовые факторы (силы и моменты), остальное перемещения и углы поворота.

Для жесткой заделки начало координат помещаем в середину пружины. $s_0$ -- полная длина пружины в дуговой координате.
Граничные условия при жесткой заделке:

$\begin{aligned} V(-s_0/2) & = & V (s_0/2) & = & U(-s_0/2) & = & U(s_0/2) & = 0 \\ W(-s_0/2) & = & W(s_0/2) & = & \varphi (-s_0/2) & = & \varphi (s_0/2) & = 0 \\ \gamma (-s_0/2) & = & \gamma (s_0/2) & = & \theta (-s_0/2) & = & \theta (s_0/2) & = 0. \end{aligned}$

-- Пт июл 25, 2025 17:10:30 --

dsge в сообщении #1695376 писал(а):

Andrei P в сообщении #1695364 писал(а):

Система 12 порядка.

Почему 12 уравнений 1-го порядка, а не 6 уравнений, скажем, второго?

Модель винтового тонкого бруса...
Уравнения движения:
$ \begin{aligned} \frac{\partial Q^{*}_{\chi}}{\partial s} {+} q^{*} Q^{*}_{\rho } {-} r^{*}Q^{*}_{\xi} = a_1 \frac{ \partial ^{\,2} U}{\partial t^{\,2}}; \qquad & \frac{\partial M^{*}_{\chi }}{\partial s} {-} Q^{*}_{\xi } {-} r^{*} M^{*}_{\xi }+q^{*} M^{*}_{\rho } = a_4 \frac{\partial ^{\,2}\theta }{\partial t^{\,2}}; \\ \frac{\partial Q^{*}_{\xi}}{\partial s} {+} r^{*} Q^{*}_{\chi } {-} p^{*}Q^{*}_{\rho} = a_2 \frac{ \partial ^{\,2} V}{\partial t^{\,2}}; \qquad & \frac{\partial M^{*}_{\xi }}{\partial s} {+} Q^{*}_{\chi } {+} r^{*} M^{*}_{\chi }-p^{*} M^{*}_{\rho } = a_5 \frac{\partial ^{\,2} \varphi }{\partial t^{\,2}};\\ \frac{\partial Q^{*}_{\rho}}{\partial s} {-} q^{*} Q^{*}_{\chi } {+} p^{*}Q^{*}_{\xi} = a_3 \frac{ \partial ^{\,2} W}{\partial t^{\,2}}; \qquad & \frac{\partial M^{*}_{\rho }}{\partial s} {-} q^{*} M^{*}_{\chi } {+} p^{*} M^{*}_{\xi } = a_6 \frac{\partial ^{\,2} \gamma }{\partial t^{\,2}}; \end{aligned}$

Геометрические уравнения:
$\label{Geom1} \begin{aligned} & \theta = -( \frac{\partial V}{\partial s} + r_0 \, U - p_{\,0} \, W); & \qquad & \varphi = \frac {\partial U}{\partial s} - r_0 \, V + q_{\,0} \, W; \\[2pt] &0 = \frac{\partial W}{\partial s} - q_{\,0} \, U + p_{\,0} \, V; &\qquad & \delta p = \frac{ \partial \theta }{\partial s} - r_0 \, \varphi + q_{\,0} \, \gamma; \\[2pt] & \delta q = \frac{\partial \varphi }{\partial s} + r_0 \, \theta - p_{\,0} \, \gamma; & \qquad & \delta r = \frac {\partial \gamma }{\partial s} - q_{\,0} \,\theta + p_{\,0} \,\varphi. \end{aligned}$

Ну и физические уравнения для связи уравнений движения и геометрических, фактически, это подмножество закона Гука. Они потом входят в систему уравнений, не увеличивая размерности системы.

[Red_Herring]

Похоже, что обсуждение движется в никуда. Я постараюсь объяснить.
1. Формальный ОДО $P=i\frac{d }{ds}+A$. Формальный потому, что область не обсуждается.
2. Сопряженный формальный ОДО: $P^*=i \frac{d }{ds}+A^*$
Я вставил множитель $i$, чтобы оператор можно было сделать самосопряженным.
Теперь начнем анализ:
3. Mаксимальный оператор: это формальный, но с областью $D(P_{max})=H^1([a,b]) = \{u, \frac{du}{ds} \in L^2([a,b])\}$}.
4. Минимальный: это формальный, но с областью $D(P_{min})=H_0^1([a,b]) = \{u, \frac{du}{ds} \in L^2([a,b]), u(a)=u(b)=0\}$}.
Заметим, что
$(P_{max} u, v) = (u, P_{min}^*v)$
и наоборот; здесь каждый оператор может применяться только к функциям из своей области. Предположим, что формальный оператор симметричен: $P^* =P$.
Тогда $P_{min}$ симметричен $(P_{min} u, v) = (u, P_{min} v)$, но не самосопяжен, поскольку равенство это имеет место не только для $v \in D(P_{min})$. Чтобы сделать оператор самосопряженным надо выбрать граничные условия так чтобы
$(P u, v) = (u, P v)$ для всех $u, v \in D(P)$, причем если для какого-то $v$ это верно для всех $u\in D(P)$, то тогда $v \in D(P)$. Тогда автоматически если функции это вектор функции размерности $d$, то должно быть $d$ граничных условий; если при этом каждое условие либо на левом, либо на правом конце, то на каждом конце д.б. $d/2$ условий.

Пример
$d=2$, $A = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$ и условия $u(a)=u(b)=0$.

А вот если граничные условия путают концы, то это не так; пример $d=1$, $ A=1$ условия $u(a)=u(b)$.

В заключение: если даны два оператора, область первого меньше области второго, и на области первого они совпадают, то второй называется расширением первого. И по существу, мы обсуждали задачу: дан минимальный оператор, который симметричен, и мы хотим найти его самосопряженное расширение. В гораздо более общей постановке, чем сейчас, такое расширение может и не существовать.

[Andrei P]

Red_Herring в сообщении #1695413 писал(а):

Похоже, что обсуждение движется в никуда. Я постараюсь объяснить.
1. Формальный ОДО $P=i\frac{d }{ds}+A$. Формальный потому, что область не обсуждается.
2. Сопряженный формальный ОДО: $P^*=i \frac{d }{ds}+A^*$
Я вставил множитель $i$, чтобы оператор можно было сделать самосопряженным.
Теперь начнем анализ:
3. Mаксимальный оператор: это формальный, но с областью $D(P_{max})=H^1([a,b]) = \{u, \frac{du}{ds} \in L^2([a,b])\}$}.
4. Минимальный: это формальный, но с областью $D(P_{min})=H_0^1([a,b]) = \{u, \frac{du}{ds} \in L^2([a,b]), u(a)=u(b)=0\}$}.
Заметим, что
$(P_{max} u, v) = (u, P_{min}^*v)$
и наоборот; здесь каждый оператор может применяться только к функциям из своей области. Предположим, что формальный оператор симметричен: $P^* =P$.
Тогда $P_{min}$ симметричен $(P_{min} u, v) = (u, P_{min} v)$, но не самосопяжен, поскольку равенство это имеет место не только для $v \in D(P_{min})$. Чтобы сделать оператор самосопряженным надо выбрать граничные условия так чтобы
$(P u, v) = (u, P v)$ для всех $u, v \in D(P)$, причем если для какого-то $v$ это верно для всех $u\in D(P)$, то тогда $v \in D(P)$. Тогда автоматически если функции это вектор функции размерности $d$, то должно быть $d$ граничных условий; если при этом каждое условие либо на левом, либо на правом конце, то на каждом конце д.б. $d/2$ условий.

Пример
$d=2$, $A = \begin{matrix} 0 &1 \\ 1 &0 \end{matrix}$ и условия $u(a)=u(b)=0$.

А вот если граничные условия путают концы, то это не так; пример $d=1$, $ A=1$ условия $u(a)=u(b)$.

В заключение: если даны два оператора, область первого меньше области второго, и на области первого они совпадают, то второй называется расширением первого. И по существу, мы обсуждали задачу: дан минимальный оператор, который симметричен, и мы хотим найти его самосопряженное расширение. В гораздо более общей постановке, чем сейчас, такое расширение может и не существовать.

Мне кажется, для меня, еще больше запуталось дело.
Я написал уравнение и граничные условия (ГУ).
Можно ли просто выписать для конкретного ДУ оператор, сразу расширенный, выписать сопряженный ему и проверить на сопряженность (кстати, как?).
Можно выписать по ДУ и ГУ дифференциальный оператор и проверить его на сопряженность с теми же ГУ.

Я хотел бы знать, является ли моя задача несамосопряженной.
Как проверить на самосопряженность "в лоб", $u$ и $v$ сопряженные собственные функции в стиле Наймарка? У Коллатца несколько по другому определяется самосопряженность.

[Red_Herring]

1. Я не знаю, и не хочу знать, что там у Наймарка или Колатца. Причина очень простая: есть общие определения.
С какого фонаря $u,v$ собственные функции? Это произвольные (вектор–столбцы)-функции. Их скалярное произведение
$(u,v)=\int_a^b v^\dag u\, ds$, $v^\dag$ для всех матриц это эрмитово сопряжение. Я специально использую разные значки для ОДО и матриц. Можете записать свою систему в указанном виде и проверить что $A^\dag=A$? Если это так, то продолжим, если нет, то самосопряженности точно н будет.
Я поставил множитель $i$ потому что при переброске производной на другой множитель (iинтегрированием по частям) появляется знак $-$, и компенсируется он этим множителем, т.к. при переброске его он превращается в $-i$.

[Andrei P]

Red_Herring в сообщении #1695436 писал(а):

1. Я не знаю, и не хочу знать, что там у Наймарка или Колатца. Причина очень простая: есть общие определения.
С какого фонаря $u,v$ собственные функции? Это произвольные (вектор–столбцы)-функции. Их скалярное произведение
$(u,v)=\int_a^b v^\dag u\, ds$, $v^\dag$ для всех матриц это эрмитово сопряжение. Я специально использую разные значки для ОДО и матриц. Можете записать свою систему в указанном виде и проверить что $A^\dag=A$? Если это так, то продолжим, если нет, то самосопряженности точно н будет.
Я поставил множитель $i$ потому что при переброске производной на другой множитель (iинтегрированием по частям) появляется знак $-$, и компенсируется он этим множителем, т.к. при переброске его он превращается в $-i$.

$A^\dag$ -- это транспонированная матрица?
Если транспонированная, то это не выполняется. Матрица $A$ --- несимметрична.
Я и задавал вопрос, может ли система с несимметричной матрицей коэффициентов быть самосопряженной!

[Someone]

Andrei P в сообщении #1695481 писал(а):

$A^\dag$ -- это транспонированная матрица?

Эрмитово сопряженная (транспонированная и комплексно сопряжённая).

[Утундрий]

Самый главный вопрос: на кой ч@рт вообще рассуждать о самосопряжённости? Лучше бы выяснили к какому типу относится задача. Ибо она столь талантливо поставлена, что не понять, зависит ли матрица от компонент вектора неизвестных.

[Red_Herring]

Andrei P в сообщении #1695481 писал(а):

Я и задавал вопрос, может ли система с несимметричной матрицей коэффициентов быть самосопряженной!

Нет, не может.

Но не все потеряно: Если существует положительная эрмитова матрица $J$, такая что $JA$ эрмитова. Тогда в пространстве с нормой $\|u\|=(J u, u)^{\frac{1}{2}}$ самосопряженность будет при подходщих граничных условиях.

[Red_Herring]

Если думать об исходной задаче, то начинать надо с начала, т.е. не с необозримой системы уравнений, а с гамильтониана (если он есть).

[Andrei P]

Утундрий в сообщении #1695489 писал(а):

Самый главный вопрос: на кой ч@рт вообще рассуждать о самосопряжённости? Лучше бы выяснили к какому типу относится задача. Ибо она столь талантливо поставлена, что не понять, зависит ли матрица от компонент вектора неизвестных.

Я в статье пишу, что она несамосопряженная. Но есть мнение, что она-таки, самосопряженная.
Есть аргументы как за самосопряженность, так и против.

За:
1. Задача консервативная.
2. Один специалист (Григорьев А.Л., к сожалению умер в 2020), доказал, что часть задачи самосопряженная. Но у него отчутчстыует один член в системе уравнений, плюс он разделил систему на две части, между которыми есть слабая связь (на группы условно продольных и условно поперечных колебаний) и пренебрег этой связью.
3. Собственные значения действительны. Но есть класс несамосопряженных задач с действительными собственными значениями.

Против:
1. Матрица несимметрична.
2. Собственные значения с ростом волнового числа сначала растут, потом убывают, потом снова растут. Что не соответствует самосопряженному случаю.
3. При близком совпадении частот мод с разных участков дисперсионной кривой имеется взаимная модуляция форм колебаний. Что, на мой взгляд, нарушает ортогональность собственных функций (механики при расчетах на отклик системы часто раскладывают решение в ряд по собственным формам, т.е. используют суперпозицию).

Элементы матрицы от вектора неизвестных не зависят.

ЗЫ: Мне лучше, чтобы задача была несамосопряженной и я считаю её несамосопряженной.

[Red_Herring]

Andrei P в сообщении #1695517 писал(а):

За:
1. Задача консервативная.
2. Один специалист (Григорьев А.Л., к сожалению умер в 2020), доказал, что часть задачи самосопряженная. Но у него отчутчстыует один член в системе уравнений, плюс он разделил систему на две части, между которыми есть слабая связь (на группы условно продольных и условно поперечных колебаний) и пренебрег этой связью.
3. Собственные значения действительны. Но есть класс несамосопряженных задач с действительными собственными значениями.

1. Ну так приведите задачу с самого начала: т.е. гамильтониан
2. Возмущение может испортить самосопряженность.
3. Пример: просто матрица $A= J^{-1}B$ где $J , B$ эрмитовы и одна из них к тому же положительная.