Уравнение с кубическими радикалами

[nimepe]

Booker48 в сообщении #1695199 писал(а):

nimepe в сообщении #1695187 писал(а):

Twidobik, делайте замену переменной и элементарно находите все корни-никакой проверки не надо.

Забавно. ТС сам привёл пример, в котором аналогичный приём приводит в появлению лишних корней. Вы полагаетесь на интуицию, что ли?

$x=0$ -в том примере не может быть корнем уравнения.

[Booker48]

nimepe в сообщении #1695204 писал(а):

$x=0$ -в том примере не может быть корнем уравнения.

А $x = \pm \sqrt{1 + \frac{3 \sqrt 3}{2}}$ в этом - может? Как вы это определяете?

[Rak so dna]

Twidobik в сообщении #1695172 писал(а):

По идее, раз мы сделали неравносильный переход, то должны корни подставить и проверить, что в нашем случае практически невозможно.

Необязательно. Вам достаточно проверить, что уравнение кроме $(-1;~0;~1)$ имеет ещё хотя бы один корень (это будет означать, что оно имеет ровно пять корней — все те, что вы и нашли). Это можно сделать, показав, что $f\left(\frac{3}{2}\right)>0$ и $f\left(\infty\right)<0$, где $f(x)=\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1}-x\sqrt[3]{2}$.

Но, конечно же, задачу лучше решать так:

Null в сообщении #1695185 писал(а):

$a^3+b^3+3abc-c^3=(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ac)$