Уравнение с кубическими радикалами

[Twidobik]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Будьте добры, подскажите, пожалуйста. Имеется такое вот уравнение (ВМК, устный, 2005):
$\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1}=x\sqrt[3]{2}$
Мы можем возвести обе части уравнения в куб и это будет равносильно.
$x-1+3\sqrt[3]{x-1}\sqrt[3]{x+1}(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1})+x+1=2x^3$.
Теперь можно заменить выражение в скобках на $x\sqrt[3]{2}$, но это действие не является равносильным, ведь это не тождество. Приведя подобные, получаем
$3x\sqrt[3]{2(x^2-1)}=2x(x^2-1)$
Далее замена переменной и всё решается.

Но в конечном итоге из пяти корней два имеют вид вложенных радикалов. По идее, раз мы сделали неравносильный переход, то должны корни подставить и проверить, что в нашем случае практически невозможно.
Я что-то упускаю?

Спасибо!

[mihaild]

Twidobik в сообщении #1695172 писал(а):

Теперь можно заменить выражение в скобках на $x\sqrt[3]{2}$

Это что-то очень странное. А почему бы сразу на $0$ не заменить?
Новое уравнение, вообще говоря, не имеет никакого отношения к предыдущему.

[Twidobik]

mihaild, такой приём решения кубических уравнений описан во многих книгах. Быть может, я здесь некорректно его использовал.
Вот, например, в книге А.Х. Шахмейстера так решается следующее уравнение:
$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}$
После возведения обеих частей в куб в книге написано: "В условии сказано, что $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}$, поэтому заменим $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}$ на $\sqrt[3]{x-1}$"
Далее уравнение решается, найденные корни проверяются и написано следующее: "$x=0$ не является корнем уравнения. Почему? Разве мы делали неравносильные преобразования? Да, так как при решении уравнения заменили левую часть уравнения на неравную ей тождественно правую часть (нам дано уравнение, а не тождество). В таких случаях проверка обязательна!"

[dgwuqtj]

В промежутке $x \geq 1$ левая часть будет вогнутой, так что не больше двух корней. И их ровно два: $1$ и какой-то ещё, потому что левая часть при больших $x$ меньше правой, а при $x$ чуть больше единицы наоборот.

Если нужны все вещественные $x$, то пользуйтесь нечётностью.

[mihaild]

Twidobik
А, простите, я не заметил, что там подставляется не абы что, а исходное уравнение. Тогда да, всё честно, новое уравнение - следствие исходного. Все корни исходного автоматически являются корнями нового, но, в общем случае, не наоборот.

[Twidobik]

dgwuqtj, mihaild, благодарю! То есть в данном случае кроме нахождения корней необходимо дополнительными рассуждениями доказать, что их ровно 5 и нами не были получены лишние корни, поскольку прямой подстановкой этого не проверить.

[Null]

$a^3+b^3+3abc-c^3=(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ac)$

[nimepe]

Twidobik, делайте замену переменной и элементарно находите все корни-никакой проверки не надо.

-- 23.07.2025, 19:22 --

Null и какой школьник вспомнит вашу формулу?Автор темы решает все правильно.

[Null]

nimepe в сообщении #1695187 писал(а):

Автор темы решает все правильно.

Автор пишет, что решение не полное. Это позволит доказать что 1ое преобразование равносильность - умножили на положительное число.

[wrest]

Лично мне кажется, что раз экзамен устный, то надо сходу угадать бросающиеся в глаза три корня $\{-1;0;1\}$ и показать что других нет. То, что их нет слева и справа - очевидно (в устном смысле) поскольку $x$ растет быстрее чем корень из него. Остается показать что нет корней и в промежутках $(-1;0)$ и $(0;1)$

[dgwuqtj]

wrest
Так там как раз есть корни!

nimepe
Что за замена? И формула довольно стандартная (если сменить знак у $c$), всякие матшкольники с ней знакомы.

[wrest]

dgwuqtj в сообщении #1695190 писал(а):

Так там как раз есть корни!

А, черт, точно. Корней 5. Тогда это не устно...

[Null]

dgwuqtj в сообщении #1695190 писал(а):

Так там как раз есть корни!

Нетривиальные корни $x = \pm \sqrt{1 + \frac{3 \sqrt 3}{2}}$ по модулю больше 1.

[nimepe]

dgwuqtj с вами спорить не намерен .Как знают формулы
школьники , отлично знаю-готовлю к поступлению.

[Booker48]

nimepe в сообщении #1695187 писал(а):

Twidobik, делайте замену переменной и элементарно находите все корни-никакой проверки не надо.

Забавно. ТС сам привёл пример, в котором аналогичный приём приводит в появлению лишних корней. Вы полагаетесь на интуицию, что ли?